Dział 10. Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Statystyka opisowa: teoria i zadania maturalne

Średnia arytmetyczna i ważona, mediana, dominanta, wariancja i odchylenie standardowe: oraz odczytywanie danych z tabel i diagramów.

Teoria

Miary położenia

średnia arytmetyczna: $\bar x=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$ ,
średnia ważona: $\bar x=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}$ (np. oceny z wagami, dane z tabeli liczebności),
mediana: wartość środkowa danych uporządkowanych: dla $n$ nieparzystego środkowy wyraz, dla parzystego: średnia dwóch środkowych,
dominanta (moda): wartość występująca najczęściej (może być ich kilka).

Przykład: oceny

3, 5, 4, 4, 5

Średnia: $\bar x=\frac{3+5+4+4+5}{5}=\frac{21}{5}=4{,}2$ .
Mediana: po posortowaniu $3,4,\mathbf{4},5,5$ środkowa liczba to $4$ .
Dominanta: $4$ i $5$ występują po dwa razy, więc są dwie dominanty.

\bar x=4{,}2

, mediana

4

, dominanty

4

5

Mediana bez sortowania

Dane: $2,8,3,5,9,1$ . Środkowe na liście to $3$ i $5$ , ale to przypadek.
Po posortowaniu: $1,2,\mathbf{3},\mathbf{5},8,9$ , więc mediana to $\frac{3+5}2=4$ .
Zawsze najpierw sortuj!

Miary rozproszenia

Wariancja: średnia kwadratów odchyleń od średniej; odchylenie standardowe: jej pierwiastek:

\sigma^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\ldots+(x_n-\bar x)^2}{n},\qquad\sigma=\sqrt{\sigma^2}.

Wariancję można też liczyć jako $\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2$ (średnia kwadratów minus kwadrat średniej).

Przykład: dane

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Średnia: $\bar x=\frac{40}{8}=5$ .
Odległości od średniej: $-3,-1,-1,-1,0,0,2,4$ . Kwadraty: $9,1,1,1,0,0,4,16$ , suma $32$ .
$\sigma^2=\frac{32}{8}=4,\qquad\sigma=\sqrt4=2$

\sigma=2

Co mówi odchylenie

Małe $\sigma$ : dane skupione blisko średniej (np. wyniki wyrównanej klasy). Duże $\sigma$ : dane rozrzucone. Odchylenie ma tę samą jednostkę co dane.

Dane w tabeli liczebności

liczba rodzeństwa	0	1	2	3
liczba uczniów	4	10	5	1

Przykład: średnia, mediana i dominanta z tej tabeli

Średnia ważona, wagi to liczby uczniów:
$\bar x=\frac{0\cdot4+1\cdot10+2\cdot5+3\cdot1}{20}=\frac{23}{20}=1{,}15$
Mediana: danych jest $20$ , środkowe to $10.$ i $11.$ wartość. Obie to $1$ , więc mediana $=1$ .
Dominanta: najwięcej uczniów ( $10$ ) ma $1$ rodzeństwo, więc dominanta $=1$ .

\bar x=1{,}15

, mediana

1

, dominanta

1

Diagram słupkowy: najwyższy słupek to dominanta (1).

Średnia po zmianie danych

Suma danych = średnia × liczba danych. Gdy dopisujesz, usuwasz lub poprawiasz liczbę, zmieniaj sumę, a potem dziel przez nową liczbę danych.

Przykład: średnia pięciu liczb to

6

. Dopisujemy liczbę

12

Suma pięciu liczb: $5\cdot6=30$ .
Po dopisaniu: suma $30+12=42$ , liczb jest $6$ .
$\bar x=\frac{42}{6}=7$

7

Na maturze

Zadania zamknięte: średnia, mediana, dominanta z listy lub diagramu, brakująca liczba przy znanej średniej. Zadanie otwarte: odchylenie standardowe lub średnia z tabeli liczebności.

Wzory

Średnia arytmetyczna

\bar x=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

Suma danych przez ich liczbę.

Średnia ważona

\bar x=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}

Każda wartość liczy się z wagą (np. liczebnością).

Mediana

Me=x_{\frac{n+1}{2}}\ \ \text{lub}\ \ \frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}

Dla danych uporządkowanych: $n$ nieparzyste / parzyste.

Wariancja

\sigma^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\ldots+(x_n-\bar x)^2}{n}

Średnia kwadratów odchyleń od średniej.

Odchylenie standardowe

\sigma=\sqrt{\sigma^2}

Typowa odległość danych od średniej.

Wariancja: wzór skrócony

\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2

Średnia kwadratów minus kwadrat średniej.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz średnią i odchylenie standardowe danych: $2,4,4,4,5,5,7,9$ .

$\bar x=\frac{40}{8}=5$ .
Kwadraty odchyleń: $9,1,1,1,0,0,4,16$ ; suma $32$ .
$\sigma^2=\frac{32}{8}=4$ , $\sigma=2$ .

Dane

2,4,4,4,5,5,7,9

jako kropki: średnia

\bar x=5

(linia), a w odległości

\sigma=2

od niej (zielony odcinek

\langle3,7\rangle

) leży większość wyników.

\bar x=5

\sigma=2

Przykład 2

Średnia arytmetyczna $20$ wyników pomiarów jest równa $15$ . Okazało się, że jeden wynik zapisano błędnie jako $12$ zamiast $32$ . Oblicz poprawną średnią.

Suma błędnych danych: $20\cdot15=300$ . Poprawna suma: $300-12+32=320$ .
Poprawna średnia: $\frac{320}{20}=16$ .

16

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb $3,5,7,9$ jest równa

$5$
$6$
$7$
$24$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

\bar x=\frac{3+5+7+9}{4}=\frac{24}{4}=6.

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Mediana danych $2,8,3,5,9,1$ jest równa

$4$
$5$
$3$
$4{,}5$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Mediana to środkowa liczba po ustawieniu danych od najmniejszej do największej:

1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 9.

Danych jest $6$ , czyli parzyście dużo, więc środkowe są dwie: $3$ i $5$ . Mediana to ich średnia:

\frac{3+5}{2}=4.

Pułapka: bez posortowania wyszłaby zła liczba.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Dominantą danych $2,3,3,5,5,5,7$ jest

$3$
$7$
$5$
$\frac{30}{7}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Liczymy: $2$ raz, $3$ dwa razy, $5$ trzy razy, $7$ raz.

Najczęściej, trzy razy, występuje $5$ .

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Uczeń otrzymał ocenę $5$ z wagą $3$ , ocenę $4$ z wagą $2$ i ocenę $3$ z wagą $1$ . Średnia ważona jego ocen (w zaokrągleniu do części setnych) to

$4{,}00$
$4{,}50$
$4{,}17$
$4{,}33$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Średnia ważona: każdą ocenę mnożymy przez jej wagę, dodajemy i dzielimy przez sumę wag.

\frac{5\cdot3+4\cdot2+3\cdot1}{3+2+1}=\frac{15+8+3}{6}=\frac{26}{6}\approx4{,}33.

Pułapka: dzielimy przez sumę wag ( $6$ ), a nie przez liczbę ocen ( $3$ ).

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb $4$ , $x$ , $10$ jest równa $7$ . Zatem

$x=7$
$x=6$
$x=21$
$x=8$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Średnia trzech liczb to $7$ , więc ich suma to $3\cdot7=21$ :

4+x+10=21.

Stąd

x=21-14=7.

Odpowiedź A

Zadanie 6 (2 pkt)

Średnia arytmetyczna pięciu liczb jest równa $8$ . Po dopisaniu szóstej liczby średnia wzrosła do $9$ . Jaką liczbę dopisano?

Odpowiedź: $14$

Rozwiązanie

Z średniej odzyskujemy sumę: suma = średnia razy liczba elementów.

Przed dopisaniem: $5\cdot8=40$ . Po dopisaniu: $6\cdot9=54$ .

Dopisana liczba to różnica sum:

54-40=14.

14

Zadanie 7 (2 pkt)

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe liczb $1,2,3,4,5$ .

Odpowiedź: $\sigma^2=2$ , $\sigma=\sqrt2$

Rozwiązanie

Kwadraty odchyleń: $4,1,0,1,4$ , suma $10$ . $\sigma^2=2$ , $\sigma=\sqrt2$ .

\sigma^2=2

\sigma=\sqrt2

Zadanie 8 (2 pkt)

W tabeli podano liczbę rodzeństwa uczniów pewnej klasy:

liczba rodzeństwa	0	1	2	3
liczba uczniów	4	10	5	1

Oblicz średnią, medianę i dominantę.

Odpowiedź: średnia $1{,}15$ ; mediana $1$ ; dominanta $1$

Rozwiązanie

Średnia: $\frac{0+10+10+3}{20}=1{,}15$ . Mediana: $10.$ i $11.$ wartość: obie równe $1$ (pozycje $5$ – $14$ to jedynki). Dominanta: $1$ .

1{,}15

;

1

;

1

Zadanie 9 (2 pkt)

Średnia arytmetyczna $20$ wyników jest równa $15$ . Jeden wynik zapisano błędnie jako $12$ zamiast $32$ . Oblicz poprawną średnią.

Odpowiedź: $16$

Rozwiązanie

$\frac{300-12+32}{20}=\frac{320}{20}=16$ .

16

Zadanie 10 (1 pkt)

Do zestawu danych dopisano liczbę równą średniej arytmetycznej tego zestawu. Wtedy

średnia wzrośnie
średnia się nie zmieni, a odchylenie standardowe zmaleje (lub pozostanie $0$ )
średnia i odchylenie nie zmienią się
odchylenie standardowe wzrośnie

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Suma rośnie o $\bar x$ , liczba danych o $1$ : średnia ta sama. Suma kwadratów odchyleń bez zmian, ale dzielimy przez większe $n$ : wariancja maleje (chyba że była $0$ ).

Odpowiedź B

Zadanie 11 (3 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb $a$ , $b$ , $c$ jest równa $5$ , a ich wariancja jest równa $2$ . Oblicz $a^2+b^2+c^2$ .

Odpowiedź: $81$

Rozwiązanie

$\overline{x^2}=2+25=27$ , więc $a^2+b^2+c^2=3\cdot27=81$ .

81

Inne tematy: Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i schemat Bernoulliego