Wzory maturalne z matematyki

Wszystkie wzory potrzebne na maturze, z każdego działu: te z karty wzorów CKE i te, które trzeba znać na pamięć.

Liczby rzeczywiste

Zbiory liczbowe, działania i podzielność

Dzielenie z resztą

a=b⋅q+r,0≤r<ba=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b

Liczba parzysta i nieparzysta

2k2k+1,k∈Z2k \qquad 2k+1,\quad k\in\mathbb{Z}

Kolejne liczby całkowite

n, n+1, n+2, …n,\ n+1,\ n+2,\ \dots

NWD i NWW

NWD(a,b)⋅NWW(a,b)=a⋅b\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b

Ułamek okresowy

0,(a)=a9,0,(ab)=ab990{,}(a)=\frac{a}{9},\quad 0{,}(ab)=\frac{ab}{99}

Liczba wymierna

pq,p∈Z, q∈Z∖{0}\frac{p}{q},\quad p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}

Wyłączanie wspólnego czynnika

m⋅a+m⋅b=m(a+b)m\cdot a+m\cdot b=m(a+b)

Potęgi i pierwiastki

Iloczyn potęg o tej samej podstawie (w karcie CKE)

am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}

Iloraz potęg o tej samej podstawie (w karcie CKE)

aman=am−n\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Potęga potęgi (w karcie CKE)

(am)n=am⋅n\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Potęga iloczynu i ilorazu (w karcie CKE)

(ab)n=anbn,(ab)n=anbn(ab)^n=a^nb^n,\qquad\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

Potęga o wykładniku ujemnym (w karcie CKE)

a−n=1an,(ab)−n=(ba)na^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}

Potęga o wykładniku wymiernym (w karcie CKE)

amn=amn(a>0)a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0)

Iloczyn i iloraz pierwiastków

an⋅bn=abn,anbn=abn\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}

Pierwiastek z kwadratu (w karcie CKE)

a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

Usuwanie niewymierności (sprzężenie)

ca−b=c(a+b)a−b2\frac{c}{\sqrt a-b}=\frac{c(\sqrt a+b)}{a-b^2}

Notacja wykładnicza

x=a⋅10k,1≤a<10, k∈Zx=a\cdot10^k,\quad 1\le a<10,\ k\in\mathbb{Z}

Logarytmy

Definicja logarytmu (w karcie CKE)

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b

Logarytm z 1 i z podstawy

log⁡a1=0,log⁡aa=1\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1

Podstawa do potęgi logarytmu (w karcie CKE)

alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b

Logarytm iloczynu (w karcie CKE)

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Logarytm ilorazu (w karcie CKE)

log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y

Logarytm potęgi (w karcie CKE)

log⁡axk=klog⁡ax\log_a x^k=k\log_a x

Zamiana podstawy (w karcie CKE)

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Odwrotność logarytmu (w karcie CKE)

log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\frac{1}{\log_b a}

Procenty, przybliżenia i procent składany

p procent liczby a

p100⋅a\frac{p}{100}\cdot a

Jakim procentem a jest b

ba⋅100%\frac{b}{a}\cdot100\%

Zmiana o p procent

a(1+p100)a(1−p100)a\left(1+\frac{p}{100}\right)\qquad a\left(1-\frac{p}{100}\right)

Procent składany (kapitalizacja roczna) (w karcie CKE)

Kn=K(1+p100)nK_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n

Kapitalizacja m razy w roku

Kn=K(1+p100 m)mnK_n=K\left(1+\frac{p}{100\,m}\right)^{m n}

Błąd bezwzględny

Δ=∣x−xˉ∣\Delta=|x-\bar{x}|

Błąd względny

δ=∣x−xˉ∣∣x∣⋅100%\delta=\frac{|x-\bar{x}|}{|x|}\cdot100\%

Punkty procentowe

p2%−p1%=(p2−p1) p.p.p_2\%-p_1\%=(p_2-p_1)\ \text{p.p.}

Przedziały i wartość bezwzględna

Definicja wartości bezwzględnej (w karcie CKE)

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}

Odległość na osi (w karcie CKE)

d(x,a)=∣x−a∣d(x,a)=|x-a|

Równanie z modułem

∣x−a∣=r  ⟺  x=a−r ∨ x=a+r(r>0)|x-a|=r\iff x=a-r\ \lor\ x=a+r\quad(r>0)

Nierówność „mniejsze” (w karcie CKE)

∣x−a∣<r  ⟺  x∈(a−r, a+r)|x-a|<r\iff x\in(a-r,\,a+r)

Nierówność „większe” (w karcie CKE)

∣x−a∣>r  ⟺  x∈(−∞,a−r)∪(a+r,+∞)|x-a|>r\iff x\in(-\infty,a-r)\cup(a+r,+\infty)

Własności modułu (w karcie CKE)

∣ab∣=∣a∣∣b∣,∣ab∣=∣a∣∣b∣,a2=∣a∣|ab|=|a||b|,\quad\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|},\quad\sqrt{a^2}=|a|

Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia i dowody algebraiczne

Kwadrat sumy (w karcie CKE)

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Kwadrat różnicy (w karcie CKE)

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Różnica kwadratów (w karcie CKE)

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Sześcian sumy (w karcie CKE)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Sześcian różnicy (w karcie CKE)

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Suma sześcianów (w karcie CKE)

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Różnica sześcianów (w karcie CKE)

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Suma kwadratów przez sumę i iloczyn

a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2=(a+b)^2-2ab

Nieujemność kwadratu

(a−b)2≥0 ⇒ a2+b2≥2ab(a-b)^2\ge0\ \Rightarrow\ a^2+b^2\ge2ab

Różnica n-tych potęg (w karcie CKE)

an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+…+bn−1)a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+b^{n-1}\right)

Wielomiany

Postać ogólna wielomianu

W(x)=anxn+…+a1x+a0, an≠0W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0,\ a_n\neq0

Wartości szczególne

W(0)=a0,W(1)=∑aiW(0)=a_0,\qquad W(1)=\sum a_i

Stopień iloczynu

deg⁡(W⋅P)=deg⁡W+deg⁡P\deg(W\cdot P)=\deg W+\deg P

Rozkład przez grupowanie

ax3+bx2+cx+d=x2(ax+b)+k(ax+b)ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+k(ax+b)

Rozkład trójmianu (w karcie CKE)

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Dzielenie z resztą

W(x)=P(x)⋅Q(x)+R(x), deg⁡R<deg⁡PW(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x),\ \deg R<\deg P

Twierdzenie o reszcie

R=W(a) (dzielenie przez x−a)R=W(a)\ \text{(dzielenie przez } x-a)

Twierdzenie Bezouta

W(a)=0  ⟺  (x−a)∣W(x)W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)

Pierwiastki wymierne

pq: p∣a0, q∣an\frac pq:\ p\mid a_0,\ q\mid a_n

Wyrażenia wymierne

Dziedzina wyrażenia wymiernego

W(x)P(x):D={x∈R: P(x)≠0}\frac{W(x)}{P(x)}:\quad D=\{x\in\mathbb{R}:\ P(x)\neq0\}

Skracanie

A⋅CB⋅C=AB(C≠0)\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac AB\quad(C\neq0)

Dodawanie ułamków

AB+CD=AD+BCBD\frac AB+\frac CD=\frac{AD+BC}{BD}

Mnożenie ułamków

AB⋅CD=ACBD\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}

Dzielenie ułamków

AB:CD=AB⋅DC\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC

Równania i nierówności

Równania i nierówności liniowe

Rozwiązanie równania liniowego

ax=b, a≠0 ⇒ x=baax=b,\ a\neq0\ \Rightarrow\ x=\frac ba

Równanie tożsamościowe i sprzeczne

0⋅x=0  (x∈R),0⋅x=b≠0  (∅)0\cdot x=0\ \ (x\in\mathbb{R}),\qquad 0\cdot x=b\neq0\ \ (\varnothing)

Zmiana zwrotu nierówności

−x>a  ⟺  x<−a-x>a\iff x<-a

Proporcja

ab=cd  ⟺  ad=bc(b,d≠0)\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\quad(b,d\neq0)

Układy równań

Układ dwóch równań liniowych

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Układ sprzeczny

a1a2=b1b2≠c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}

Układ nieoznaczony

a1a2=b1b2=c1c2\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}

Układ oznaczony

a1a2≠b1b2\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}

Równania i nierówności kwadratowe

Wyróżnik trójmianu (w karcie CKE)

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

Pierwiastki (Δ > 0) (w karcie CKE)

x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Pierwiastek podwójny (Δ = 0) (w karcie CKE)

x0=−b2ax_0=\frac{-b}{2a}

Postać iloczynowa (w karcie CKE)

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Równanie niepełne (c = 0)

ax2+bx=0  ⟺  x(ax+b)=0ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0

Nierówność, a > 0, Δ > 0

a(x−x1)(x−x2)>0  ⟺  x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)a(x-x_1)(x-x_2)>0\iff x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)

Wzory Viète'a i równania kwadratowe z parametrem

Suma pierwiastków (w karcie CKE)

x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac ba

Iloczyn pierwiastków (w karcie CKE)

x1⋅x2=cax_1\cdot x_2=\frac ca

Suma kwadratów pierwiastków

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Suma odwrotności

1x1+1x2=x1+x2x1x2\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}

Kwadrat różnicy pierwiastków

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=Δa2(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{\Delta}{a^2}

Suma sześcianów pierwiastków

x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)

Pierwiastki dodatnie / ujemne

Δ>0, x1x2>0, x1+x2≷0\Delta>0,\ x_1x_2>0,\ x_1+x_2\gtrless0

Równania i nierówności wielomianowe

Iloczyn równy zero

A⋅B⋅C=0  ⟺  A=0∨B=0∨C=0A\cdot B\cdot C=0\iff A=0\lor B=0\lor C=0

Grupowanie wyrazów

x3+ax2+bx+ab=(x+a)(x2+b)x^3+ax^2+bx+ab=(x+a)(x^2+b)

Zmiana znaku przy pierwiastku

(x−a)k: k nieparzyste⇒zmiana znaku(x-a)^k:\ k\ \text{nieparzyste}\Rightarrow\text{zmiana znaku}

Znak dla dużych x

sgn W(x)=sgn an dla x→+∞\text{sgn}\,W(x)=\text{sgn}\,a_n\ \text{dla}\ x\to+\infty

Równania i nierówności wymierne

Równanie ułamkowe równe zero

V(x)W(x)=0  ⟺  V(x)=0∧W(x)≠0\frac{V(x)}{W(x)}=0\iff V(x)=0\land W(x)\neq0

Iloraz a iloczyn (znak)

VW>0  ⟺  V⋅W>0\frac VW>0\iff V\cdot W>0

Droga, prędkość, czas

s=v⋅t,t=svs=v\cdot t,\qquad t=\frac sv

Wydajność pracy

1t1+1t2=1t\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac1t

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Opuszczanie modułu (w karcie CKE)

∣A∣={A,A≥0−A,A<0|A|=\begin{cases}A, & A\ge0\\-A, & A<0\end{cases}

Równanie |A| = B

∣A∣=B  ⟺  B≥0∧(A=B∨A=−B)|A|=B\iff B\ge0\land(A=B\lor A=-B)

Moduł w module

∣∣A∣−c∣=r  ⟺  ∣A∣=c+r∨∣A∣=c−r\big||A|-c\big|=r\iff|A|=c+r\lor|A|=c-r

Porównanie modułów

∣A∣<∣B∣  ⟺  A2<B2|A|<|B|\iff A^2<B^2

Suma odległości

∣x−a∣+∣x−b∣≥∣a−b∣|x-a|+|x-b|\ge|a-b|

Funkcje

Pojęcie funkcji i jej własności

Wartość funkcji

f(a) (wstaw x=a do wzoru)f(a)\ \text{(wstaw } x=a \text{ do wzoru)}

Miejsce zerowe

f(x0)=0f(x_0)=0

Punkt przecięcia z osią OY

(0, f(0))(0,\ f(0))

Dziedzina naturalna

1W(x): W(x)≠0,W(x): W(x)≥0\frac{1}{W(x)}:\ W(x)\neq0,\quad\sqrt{W(x)}:\ W(x)\ge0

Funkcja rosnąca (definicja)

x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Złożenie funkcji

(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)

Przekształcenia wykresów funkcji

Przesunięcie o wektor

y=f(x−a)+b↔v⃗=[a,b]y=f(x-a)+b\quad\leftrightarrow\quad\vec v=[a,b]

Symetria względem osi OX

y=−f(x)y=-f(x)

Symetria względem osi OY

y=f(−x)y=f(-x)

Symetria względem (0, 0)

y=−f(−x)y=-f(-x)

Wykres |f(x)|

y=∣f(x)∣y=|f(x)|

Wykres f(|x|)

y=f(∣x∣)y=f(|x|)

Skalowanie

y=k f(x),y=f(kx)y=k\,f(x),\qquad y=f(kx)

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa (w karcie CKE)

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Miejsce zerowe

x0=−ba(a≠0)x_0=-\frac ba\quad(a\neq0)

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów (w karcie CKE)

a=y2−y1x2−x1a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Kąt nachylenia (w karcie CKE)

a=tg⁡αa=\operatorname{tg}\alpha

Proste równoległe (w karcie CKE)

a1=a2a_1=a_2

Proste prostopadłe (w karcie CKE)

a1⋅a2=−1a_1\cdot a_2=-1

Monotoniczność

a>0↗,a<0↘,a=0 stałaa>0\nearrow,\quad a<0\searrow,\quad a=0\ \text{stała}

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna (w karcie CKE)

f(x)=ax2+bx+c, a≠0f(x)=ax^2+bx+c,\ a\neq0

Postać kanoniczna (w karcie CKE)

f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q

Postać iloczynowa (w karcie CKE)

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Współrzędne wierzchołka (w karcie CKE)

p=−b2a,q=−Δ4ap=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}

Oś symetrii

x=p=x1+x22x=p=\frac{x_1+x_2}{2}

Zbiór wartości

a>0: ⟨q,+∞),a<0: (−∞,q⟩a>0:\ \langle q,+\infty),\qquad a<0:\ (-\infty,q\rangle

Wartość ekstremalna w przedziale

max⁡/min⁡ z {f(m), f(n), f(p) gdy p∈⟨m,n⟩}\max/\min\ \text{z}\ \{f(m),\,f(n),\,f(p)\ \text{gdy}\ p\in\langle m,n\rangle\}

Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna

Proporcjonalność odwrotna

y=ax  ⟺  x⋅y=ay=\frac ax\iff x\cdot y=a

Współczynnik z punktu

a=x0⋅y0a=x_0\cdot y_0

Dziedzina i zbiór wartości

D=ZW=R∖{0}D=ZW=\mathbb{R}\setminus\{0\}

Funkcja homograficzna

f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza

f(x)=ax, a>0, a≠1f(x)=a^x,\ a>0,\ a\neq1

Wzrost / zanik wykładniczy

N(t)=N0⋅atN(t)=N_0\cdot a^t

Rozpad połowiczny

m(t)=m0(12)t/Tm(t)=m_0\left(\tfrac12\right)^{t/T}

Funkcja logarytmiczna

f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x

Równanie wykładnicze

af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

Nierówność wykładnicza

af(x)>ag(x)  ⟺  {f>g,a>1f<g,0<a<1a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff\begin{cases}f>g,& a>1\\ f<g,& 0<a<1\end{cases}

Ciągi

Ciągi: pojęcia podstawowe

Wyraz o numerze n

an=f(n),n∈N+a_n=f(n),\quad n\in\mathbb{N}_+

Wyraz następny

an+1: n→n+1a_{n+1}:\ n\to n+1

Wzór rekurencyjny

a1=c,an+1=g(an)a_1=c,\quad a_{n+1}=g(a_n)

Monotoniczność

an+1−an>0 ⇒ rosnącya_{n+1}-a_n>0\ \Rightarrow\ \text{rosnący}

Ciąg arytmetyczny

Różnica ciągu

r=an+1−anr=a_{n+1}-a_n

n-ty wyraz (w karcie CKE)

an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r

Związek dwóch wyrazów

an=ak+(n−k)ra_n=a_k+(n-k)r

Suma n wyrazów (w karcie CKE)

Sn=a1+an2⋅nS_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Suma (wersja z r) (w karcie CKE)

Sn=2a1+(n−1)r2⋅nS_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n

Warunek na trzy wyrazy (w karcie CKE)

2b=a+c2b=a+c

Ciąg geometryczny i procent składany

Iloraz ciągu

q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}

n-ty wyraz (w karcie CKE)

an=a1⋅qn−1a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Suma n wyrazów (w karcie CKE)

Sn=a1⋅1−qn1−q, q≠1S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q},\ q\neq1

Warunek na trzy wyrazy (w karcie CKE)

b2=a⋅cb^2=a\cdot c

Lokata z kapitalizacją

Kn=K(1+p100m)mnK_n=K\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}

Granice ciągów i szereg geometryczny

Granice podstawowe

lim⁡n→∞1n=0,lim⁡n→∞qn=0 (∣q∣<1)\lim_{n\to\infty}\frac1n=0,\qquad\lim_{n\to\infty}q^n=0\ (|q|<1)

Ciąg wymierny

lim⁡aknk+…bknk+…=akbk\lim\frac{a_kn^k+\ldots}{b_kn^k+\ldots}=\frac{a_k}{b_k}

Mnożenie przez sprzężenie

A−B=A−BA+B\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}

Suma szeregu geometrycznego (w karcie CKE)

S=a11−q,∣q∣<1S=\frac{a_1}{1-q},\quad |q|<1

Trygonometria

Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Sinus kąta ostrego (w karcie CKE)

sin⁡α=ac\sin\alpha=\frac{a}{c}

Cosinus kąta ostrego (w karcie CKE)

cos⁡α=bc\cos\alpha=\frac{b}{c}

Tangens kąta ostrego (w karcie CKE)

tg⁡α=ab=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Jedynka trygonometryczna (w karcie CKE)

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Kąty dopełniające (w karcie CKE)

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α,cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha

Boki z przeciwprostokątnej (w karcie CKE)

a=csin⁡α,b=ccos⁡αa=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha

Kąty od 0° do 180° i tożsamości trygonometryczne

Definicja w układzie współrzędnych (w karcie CKE)

sin⁡α=yr, cos⁡α=xr, tg⁡α=yx\sin\alpha=\frac yr,\ \cos\alpha=\frac xr,\ \operatorname{tg}\alpha=\frac yx

Wzory redukcyjne (180° − α) (w karcie CKE)

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

Tangens kąta rozwartego (w karcie CKE)

tg⁡(180∘−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha

Jedynka trygonometryczna (w karcie CKE)

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Tangens przez sinus i cosinus (w karcie CKE)

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Pole trójkąta (w karcie CKE)

P=12absin⁡γP=\frac12ab\sin\gamma

Miara łukowa, dowolny kąt i wykresy funkcji trygonometrycznych

Zamiana stopni na radiany

180∘=π rad,xrad=πx∘180∘180^\circ=\pi\ \text{rad},\quad x_{\text{rad}}=\frac{\pi x^\circ}{180^\circ}

Funkcje na okręgu jednostkowym (w karcie CKE)

sin⁡α=y,cos⁡α=x,tg⁡α=yx\sin\alpha=y,\quad\cos\alpha=x,\quad\operatorname{tg}\alpha=\frac yx

Okresowość (w karcie CKE)

sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x,tg⁡(x+kπ)=tg⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x,\quad\operatorname{tg}(x+k\pi)=\operatorname{tg}x

Parzystość

cos⁡(−x)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=\cos x,\quad\sin(-x)=-\sin x

Redukcja π ± α (w karcie CKE)

sin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π+α)=−cos⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

Okres i zbiór wartości

asin⁡(kx)+b: T=2π∣k∣, ZW=⟨b−∣a∣,b+∣a∣⟩a\sin(kx)+b:\ T=\frac{2\pi}{|k|},\ ZW=\langle b-|a|,b+|a|\rangle

Wzory trygonometryczne, równania i nierówności

Sinus sumy i różnicy (w karcie CKE)

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

Cosinus sumy i różnicy (w karcie CKE)

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

Sinus kąta podwojonego (w karcie CKE)

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

Cosinus kąta podwojonego (w karcie CKE)

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha

Suma sinusów (w karcie CKE)

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2

Równanie sin x = a

x=x0+2kπ ∨ x=π−x0+2kπx=x_0+2k\pi\ \lor\ x=\pi-x_0+2k\pi

Równanie cos x = a

x=±x0+2kπx=\pm x_0+2k\pi

Równanie tg x = a

x=x0+kπx=x_0+k\pi

Planimetria

Kąty i trójkąty

Suma kątów trójkąta

α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Twierdzenie Pitagorasa (w karcie CKE)

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Nierówność trójkąta

a<b+ca<b+c

Trójkąt równoboczny (w karcie CKE)

h=a32,P=a234h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Pole trójkąta (podstawa i wysokość) (w karcie CKE)

P=12a⋅haP=\frac12a\cdot h_a

Wzór Herona (w karcie CKE)

P=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}2

Środkowe

∣AS∣:∣SM∣=2:1|AS|:|SM|=2:1

Rodzaj trójkąta z boków

c2≶a2+b2c^2\lessgtr a^2+b^2

Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur

Twierdzenie Talesa (w karcie CKE)

∣OA∣∣AB∣=∣OA′∣∣A′B′∣\frac{|OA|}{|AB|}=\frac{|OA'|}{|A'B'|}

Odcinek równoległy w trójkącie

∣DE∣∣AB∣=∣CD∣∣CA∣\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|CA|}

Skala: odcinki i obwody

Obw′=k⋅Obw\text{Obw}'=k\cdot\text{Obw}

Skala: pola

P′=k2⋅PP'=k^2\cdot P

Wysokość na przeciwprostokątną (w karcie CKE)

h2=p⋅qh^2=p\cdot q

Czworokąty i wielokąty

Pole prostokąta i kwadratu

P=ab,P□=a2=d22P=ab,\qquad P_{\square}=a^2=\frac{d^2}{2}

Pole równoległoboku (w karcie CKE)

P=a⋅h=absin⁡αP=a\cdot h=ab\sin\alpha

Pole rombu i deltoidu (w karcie CKE)

P=e⋅f2P=\frac{e\cdot f}{2}

Pole trapezu (w karcie CKE)

P=(a+b)⋅h2P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}

Suma kątów wielokąta

(n−2)⋅180∘(n-2)\cdot180^\circ

Liczba przekątnych

n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}

Sześciokąt foremny

P=3a232P=\frac{3a^2\sqrt3}{2}

Okrąg i koło, kąty w okręgu

Długość okręgu i pole koła (w karcie CKE)

L=2πr,P=πr2L=2\pi r,\qquad P=\pi r^2

Długość łuku (w karcie CKE)

l=α360∘⋅2πrl=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r

Pole wycinka (w karcie CKE)

Pw=α360∘⋅πr2P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2

Kąt wpisany i środkowy (w karcie CKE)

αwpis=12αsˊrodk\alpha_{\text{wpis}}=\frac12\alpha_{\text{środk}}

Odcinek stycznej

∣PA∣2=∣PO∣2−r2|PA|^2=|PO|^2-r^2

Czworokąt wpisany (w karcie CKE)

α+γ=β+δ=180∘\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ

Czworokąt opisany (w karcie CKE)

a+c=b+da+c=b+d

Twierdzenia sinusów i cosinusów, okrąg wpisany i opisany

Twierdzenie sinusów (w karcie CKE)

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

Twierdzenie cosinusów (w karcie CKE)

c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Kąt z trzech boków

cos⁡γ=a2+b2−c22ab\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Promień okręgu opisanego (w karcie CKE)

R=abc4PR=\frac{abc}{4P}

Promień okręgu wpisanego (w karcie CKE)

r=2Pa+b+cr=\frac{2P}{a+b+c}

Twierdzenie o dwusiecznej

∣AD∣∣DB∣=∣AC∣∣BC∣\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}

Geometria analityczna

Punkty, odcinki i proste w układzie współrzędnych

Długość odcinka (w karcie CKE)

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Środek odcinka (w karcie CKE)

S=(xA+xB2,yA+yB2)S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)

Współczynnik kierunkowy prostej AB (w karcie CKE)

a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Równanie ogólne prostej (w karcie CKE)

Ax+By+C=0Ax+By+C=0

Proste równoległe i prostopadłe (w karcie CKE)

a1=a2,a1⋅a2=−1a_1=a_2,\qquad a_1\cdot a_2=-1

Odległość punktu od prostej (w karcie CKE)

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Pole trójkąta z wierzchołków (w karcie CKE)

P=12∣(xB−xA)(yC−yA)−(yB−yA)(xC−xA)∣P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|

Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu (w karcie CKE)

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Postać ogólna (w karcie CKE)

x2+y2−2ax−2by+c=0, r2=a2+b2−cx^2+y^2-2ax-2by+c=0,\ r^2=a^2+b^2-c

Prosta a okrąg

d<r,d=r,d>rd<r,\quad d=r,\quad d>r

Promień okręgu stycznego do prostej

r=∣Aa+Bb+C∣A2+B2r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Dwa okręgi

d=r1+r2 (styczne zewn.),d=∣r1−r2∣ (styczne wewn.)d=r_1+r_2\ \text{(styczne zewn.)},\quad d=|r_1-r_2|\ \text{(styczne wewn.)}

Wektory i przekształcenia płaszczyzny

Współrzędne wektora (w karcie CKE)

AB→=[xB−xA, yB−yA]\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]

Długość wektora (w karcie CKE)

∣v⃗∣=v12+v22|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

Działania na wektorach (w karcie CKE)

u⃗+v⃗=[u1+v1,u2+v2],ku⃗=[ku1,ku2]\vec u+\vec v=[u_1+v_1,u_2+v_2],\quad k\vec u=[ku_1,ku_2]

Wektory równoległe

u1v2−u2v1=0u_1v_2-u_2v_1=0

Środek ciężkości trójkąta (w karcie CKE)

S=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)S=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3,\frac{y_A+y_B+y_C}3\right)

Jednokładność względem (0, 0)

(x,y)↦(kx, ky)(x,y)\mapsto(kx,\ ky)

Stereometria

Graniastosłupy

Objętość graniastosłupa (w karcie CKE)

V=Pp⋅HV=P_p\cdot H

Pole powierzchni całkowitej

Pc=2Pp+PbP_c=2P_p+P_b

Przekątna sześcianu

d=a3d=a\sqrt3

Przekątna prostopadłościanu

d=a2+b2+c2d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Powierzchnia boczna (graniastosłup prosty) (w karcie CKE)

Pb=Obwp⋅HP_b=\text{Obw}_p\cdot H

Liczba krawędzi i ścian

3n krawędzi, 2n wierzchołkoˊw, n+2 sˊcian3n\ \text{krawędzi},\ 2n\ \text{wierzchołków},\ n+2\ \text{ścian}

Ostrosłupy

Objętość ostrosłupa (w karcie CKE)

V=13Pp⋅HV=\frac13P_p\cdot H

Wysokość ściany bocznej (czworokątny)

h2=H2+(a2)2h^2=H^2+\left(\frac a2\right)^2

Krawędź boczna (czworokątny)

b2=H2+a22b^2=H^2+\frac{a^2}{2}

Pole powierzchni bocznej (prawidłowy)

Pb=n⋅12a⋅hP_b=n\cdot\frac12a\cdot h

Czworościan foremny

H=a63,V=a3212H=\frac{a\sqrt6}{3},\qquad V=\frac{a^3\sqrt2}{12}

Liczba krawędzi i ścian

2n krawędzi, n+1 wierzchołkoˊw i sˊcian2n\ \text{krawędzi},\ n+1\ \text{wierzchołków i ścian}

Walec, stożek i kula

Walec (w karcie CKE)

V=πr2H,Pc=2πr2+2πrHV=\pi r^2H,\qquad P_c=2\pi r^2+2\pi rH

Stożek (w karcie CKE)

V=13πr2H,Pc=πr2+πrlV=\frac13\pi r^2H,\qquad P_c=\pi r^2+\pi rl

Kula (w karcie CKE)

V=43πr3,P=4πr2V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2

Tworząca stożka

l2=r2+H2l^2=r^2+H^2

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka

α=rl⋅360∘\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ

Kąty w bryłach, przekroje i bryły podobne

Kąt przekątnej prostopadłościanu

tg⁡α=Hdp\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}

Kąt krawędzi bocznej ostrosłupa

tg⁡α=HR\operatorname{tg}\alpha=\frac HR

Kąt ściany bocznej z podstawą

tg⁡β=Hr\operatorname{tg}\beta=\frac Hr

Kąt tworzącej stożka

cos⁡α=rl,sin⁡α=Hl\cos\alpha=\frac rl,\qquad\sin\alpha=\frac Hl

Objętości brył podobnych

V′=k3VV'=k^3V

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Kombinatoryka: jak liczyć możliwości

Reguła mnożenia

n1⋅n2⋅…⋅nkn_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k

Permutacje (w karcie CKE)

Pn=n!P_n=n!

Wariacje bez powtórzeń (w karcie CKE)

Vnk=n!(n−k)!V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

Wariacje z powtórzeniami (w karcie CKE)

Wnk=nkW_n^k=n^k

Kombinacje (w karcie CKE)

Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Własności symbolu Newtona (w karcie CKE)

(nk)=(nn−k),(n0)=1,(n1)=n\binom nk=\binom n{n-k},\quad\binom n0=1,\quad\binom n1=n

Prawdopodobieństwo klasyczne

Klasyczna definicja (w karcie CKE)

P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

Zdarzenie przeciwne (w karcie CKE)

P(A′)=1−P(A)P(A')=1-P(A)

Prawdopodobieństwo sumy (w karcie CKE)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Zawieranie (w karcie CKE)

A⊂B⇒P(A)≤P(B)A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)

Iloczyn na drzewku

P(sˊciez˙ki)=p1⋅p2⋅…P(\text{ścieżki})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots

Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i schemat Bernoulliego

Prawdopodobieństwo warunkowe (w karcie CKE)

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Niezależność

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Prawdopodobieństwo całkowite (w karcie CKE)

P(A)=∑iP(A∣Bi) P(Bi)P(A)=\sum_{i}P(A\mid B_i)\,P(B_i)

Wzór Bayesa (w karcie CKE)

P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)P(A)P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{P(A)}

Schemat Bernoulliego (w karcie CKE)

P(Sn=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(S_n=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

Co najmniej jeden sukces

P(Sn≥1)=1−(1−p)nP(S_n\ge1)=1-(1-p)^n

Statystyka opisowa

Średnia arytmetyczna (w karcie CKE)

xˉ=x1+x2+…+xnn\bar x=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

Średnia ważona (w karcie CKE)

xˉ=w1x1+…+wnxnw1+…+wn\bar x=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}

Mediana (w karcie CKE)

Me=xn+12  lub  xn/2+xn/2+12Me=x_{\frac{n+1}{2}}\ \ \text{lub}\ \ \frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}

Wariancja (w karcie CKE)

σ2=(x1−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2n\sigma^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\ldots+(x_n-\bar x)^2}{n}

Odchylenie standardowe (w karcie CKE)

σ=σ2\sigma=\sqrt{\sigma^2}

Wariancja: wzór skrócony (w karcie CKE)

σ2=x2‾−xˉ2\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2

Rachunek różniczkowy i optymalizacja

Granica i ciągłość funkcji

Granica przez podstawienie

lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Symbol 0/0: skracanie

lim⁡x→a(x−a)g(x)(x−a)h(x)=g(a)h(a)\lim_{x\to a}\frac{(x-a)g(x)}{(x-a)h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}

Granica w nieskończoności

lim⁡x→∞anxn+…bnxn+…=anbn\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\ldots}{b_nx^n+\ldots}=\frac{a_n}{b_n}

Ciągłość w punkcie

lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)

Asymptoty

x=a: lim⁡x→af=±∞;y=b: lim⁡x→±∞f=bx=a:\ \lim_{x\to a}f=\pm\infty;\qquad y=b:\ \lim_{x\to\pm\infty}f=b

Pochodna funkcji i równanie stycznej

Definicja pochodnej

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Pochodna potęgi (w karcie CKE)

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}

Pochodna iloczynu (w karcie CKE)

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'

Pochodna ilorazu (w karcie CKE)

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Pochodna pierwiastka i odwrotności (w karcie CKE)

(x)′=12x,(1x)′=−1x2(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x},\qquad\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}

Pochodna złożenia (w karcie CKE)

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Równanie stycznej (w karcie CKE)

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Monotoniczność, ekstrema i wartości największe

Monotoniczność z pochodnej

f′>0⇒f↗,f′<0⇒f↘f'>0\Rightarrow f\nearrow,\qquad f'<0\Rightarrow f\searrow

Warunek konieczny ekstremum

f′(x0)=0f'(x_0)=0

Warunek wystarczający

f′ zmienia znak: +→− max, −→+ minf'\ \text{zmienia znak}:\ +\to-\ \text{max},\ -\to+\ \text{min}

Wartości ekstremalne w przedziale

max⁡/min⁡{f(a),f(b),f(xk)}, xk∈(a,b), f′(xk)=0\max/\min\{f(a),f(b),f(x_k)\},\ x_k\in(a,b),\ f'(x_k)=0

Zadania optymalizacyjne

Wierzchołek paraboli (w karcie CKE)

p=−b2ap=\frac{-b}{2a}

Prostokąt o danym obwodzie

P(x)=x(L2−x)P(x)=x\left(\frac{L}{2}-x\right)

Warunek ekstremum (pochodna)

f′(x0)=0 ∧ zmiana znakuf'(x_0)=0\ \land\ \text{zmiana znaku}

Walec o danej objętości

P(r)=2πr2+2VrP(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}