Dział 8. Geometria analityczna

Punkty, odcinki i proste w układzie współrzędnych: teoria i zadania maturalne

Długość i środek odcinka, równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej, proste równoległe i prostopadłe, punkt przecięcia, odległość punktu od prostej i symetrie względem osi.

Teoria

Odcinek

Dla A=(xA,yA)A=(x_A,y_A) i B=(xB,yB)B=(x_B,y_B):

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2,SAB=(xA+xB2, yA+yB2).|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S_{AB}=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right).
xy−1123456−112345670A(1, 2)B(4, 6)S345
Długość odcinka to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych |Δx| = 3 i |Δy| = 4, więc |AB| = 5. Środek S = (2,5; 4).
Wzór na długość to Pitagoras

Różnice współrzędnych Δx\Delta x, Δy\Delta y to przyprostokątne, a odcinek: przeciwprostokątna. Środek odcinka to po prostu średnia współrzędnych.

Przykład: A=(1,2)A=(1,2), B=(4,6)B=(4,6). Oblicz ∣AB∣|AB| i środek odcinka

Różnice: Δx=4−1=3\Delta x=4-1=3, Δy=6−2=4\Delta y=6-2=4.

∣AB∣=32+42=25=5|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

Środek to średnie współrzędnych: S=(1+42, 2+62)=(2,5; 4)S=\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{2+6}{2}\right)=(2{,}5;\ 4).

∣AB∣=5|AB|=5, S=(2,5; 4)S=(2{,}5;\ 4)

Równanie prostej

Z ogólnego do kierunkowego (gdy B≠0B\neq0): y=−ABx−CBy=-\frac ABx-\frac CB.

Prosta przez dwa punkty: a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, potem bb z jednego punktu. Albo wzór: (y−yA)(xB−xA)−(yB−yA)(x−xA)=0(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0.

Przykład: prosta przez A=(1,2)A=(1,2) i B=(3,6)B=(3,6)

Nachylenie: a=6−23−1=2a=\frac{6-2}{3-1}=2.
Wstawiamy punkt AA do y=2x+by=2x+b: 2=2⋅1+b2=2\cdot1+b, więc b=0b=0.

y=2xy=2x

Wzajemne położenie prostych

postać kierunkowapostać ogólna
równoległea1=a2a_1=a_2A1B2−A2B1=0A_1B_2-A_2B_1=0
prostopadłea1a2=−1a_1a_2=-1A1A2+B1B2=0A_1A_2+B_1B_2=0

Punkt przecięcia: rozwiązanie układu równań obu prostych.

Przykład: prosta prostopadła do y=2x+1y=2x+1, przechodząca przez (0,3)(0,3)

Prostopadła: a⋅2=−1a\cdot2=-1, więc a=−12a=-\frac12 (odwracamy i zmieniamy znak).
Punkt (0,3)(0,3) leży na osi OYOY, więc b=3b=3.

y=−12x+3y=-\frac12x+3

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P=(x0,y0)P=(x_0,y_0) od prostej Ax+By+C=0Ax+By+C=0:

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2.d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
xy−2−1123456−2−11234503x − 4y + 4 = 0d = 4P = (4, −1)
Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego: d=∣3⋅4−4⋅(−1)+4∣9+16=205=4d=\frac{|3\cdot4-4\cdot(-1)+4|}{\sqrt{9+16}}=\frac{20}{5}=4.

Przydaje się do wysokości trójkąta, promienia okręgu stycznego do prostej i odległości prostych równoległych.

Przykład: odległość P=(4,−1)P=(4,-1) od prostej 3x−4y+4=03x-4y+4=0

Odczytujemy: A=3A=3, B=−4B=-4, C=4C=4, a punkt to x0=4x_0=4, y0=−1y_0=-1.

d=∣3⋅4−4⋅(−1)+4∣32+(−4)2=205=4d=\frac{|3\cdot4-4\cdot(-1)+4|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{20}{5}=4
d=4d=4
Pole trójkąta z wierzchołków

P=12∣(xB−xA)(yC−yA)−(yB−yA)(xC−xA)∣P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|. Alternatywnie: podstawa ∣AB∣|AB| i wysokość = odległość CC od prostej ABAB.

Symetrie

Przykład: obrazy punktu P=(2,−5)P=(2,-5)

Względem osi OXOX zmienia się znak yy: (2,5)(2,5).
Względem osi OYOY zmienia się znak xx: (−2,−5)(-2,-5).
Względem początku układu zmieniają się oba znaki: (−2,5)(-2,5).

xy−4−3−2−11234−3−2−11230P = (x, y)(x, −y)(−x, y)(−x, −y)
Obrazy punktu PP w symetrii względem osi OXOX (różowy), osi OYOY (zielony) i początku układu (pomarańczowy).
Na maturze

Pewne zadania zamknięte: długość, środek, prosta przez dwa punkty, równoległość/prostopadłość, punkt przecięcia, symetrie. Zadanie otwarte (3–4 pkt): trójkąt lub czworokąt w układzie współrzędnych: wysokości, środkowe, pole, brakujący wierzchołek.

Wzory

Długość odcinka

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Odległość dwóch punktów (twierdzenie Pitagorasa).

Środek odcinka

S=(xA+xB2,yA+yB2)S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)

Średnia współrzędnych końców.

Współczynnik kierunkowy prostej AB

a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Dla xA≠xBx_A\neq x_B.

Równanie ogólne prostej

Ax+By+C=0Ax+By+C=0

Opisuje każdą prostą, także pionową.

Proste równoległe i prostopadłe

a1=a2,a1⋅a2=−1a_1=a_2,\qquad a_1\cdot a_2=-1

W postaci ogólnej: A1B2−A2B1=0A_1B_2-A_2B_1=0 (równoległe), A1A2+B1B2=0A_1A_2+B_1B_2=0 (prostopadłe).

Odległość punktu od prostej

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Najkrótsza odległość punktu (x0,y0)(x_0,y_0) od prostej.

Pole trójkąta z wierzchołków

P=12∣(xB−xA)(yC−yA)−(yB−yA)(xC−xA)∣P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|

Szybkie pole bez liczenia wysokości.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Punkt S=(2,−1)S=(2,-1) jest środkiem odcinka ABAB, gdzie A=(−1,3)A=(-1,3). Wyznacz współrzędne punktu BB i długość odcinka ABAB.

−1+xB2=2⇒xB=5\frac{-1+x_B}{2}=2\Rightarrow x_B=5;  3+yB2=−1⇒yB=−5\ \frac{3+y_B}{2}=-1\Rightarrow y_B=-5. B=(5,−5)B=(5,-5).
∣AB∣=62+(−8)2=100=10|AB|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10.

xy−2246−6−4−2240A = (−1, 3)S = (2, −1)B = (5, −5)
SS to środek odcinka, więc BB leży tyle samo za SS co AA przed nim: B=(5,−5)B=(5,-5), a ∣AB∣=10|AB|=10.
B=(5,−5)B=(5,-5), ∣AB∣=10|AB|=10

Przykład 2

Dany jest trójkąt ABCABC: A=(−2,−1)A=(-2,-1), B=(4,1)B=(4,1), C=(1,5)C=(1,5). Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka CC i oblicz pole trójkąta.

xy−3−2−112345−2−11234560ABC

Prosta ABAB: aAB=1−(−1)4−(−2)=13a_{AB}=\frac{1-(-1)}{4-(-2)}=\frac13. Wysokość jest prostopadła: a=−3a=-3, przechodzi przez CC: 5=−3+b⇒b=85=-3+b\Rightarrow b=8. Równanie: y=−3x+8y=-3x+8.
Pole: P=12∣(4+2)(5+1)−(1+1)(1+2)∣=12∣36−6∣=15P=\frac12|(4+2)(5+1)-(1+1)(1+2)|=\frac12|36-6|=15.

Wysokość: y=−3x+8y=-3x+8; pole 1515

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Odległość punktów A=(1,2)A=(1,2) i B=(4,6)B=(4,6) jest równa

  1. 77
  2. 2525
  3. 55
  4. 7\sqrt{7}

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Odległość punktów to długość odcinka ABAB. Najprościej zobaczyć to na kratce: z AA idziemy 33 w prawo (4−1=34-1=3) i 44 w górę (6−2=46-2=4). Odcinek ABAB jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 33 i 44.

xy12345123456705AB34

Z Pitagorasa:

∣AB∣=32+42=9+16=25=5.|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Środkiem odcinka o końcach A=(−2,3)A=(-2,3) i B=(4,−1)B=(4,-1) jest punkt

  1. (1,1)(1,1)
  2. (3,−2)(3,-2)
  3. (2,2)(2,2)
  4. (−3,2)(-3,2)

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Środek odcinka to średnia współrzędnych końców: osobno dla xx i osobno dla yy.

xS=−2+42=22=1,yS=3+(−1)2=22=1.x_S=\frac{-2+4}{2}=\frac22=1,\qquad y_S=\frac{3+(-1)}{2}=\frac22=1.

Środek: S=(1,1)S=(1,1).

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Prosta przechodząca przez punkty (0,−1)(0,-1) i (2,3)(2,3) ma równanie

  1. y=−2x−1y=-2x-1
  2. y=12x−1y=\frac12x-1
  3. y=2x+3y=2x+3
  4. y=2x−1y=2x-1

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Szukamy prostej y=ax+by=ax+b.

Wyraz wolny bb: prosta przechodzi przez (0,−1)(0,-1), a to punkt na osi OYOY, więc b=−1b=-1.

Współczynnik aa to „o ile w górę na jeden krok w prawo”:

a=y2−y1x2−x1=3−(−1)2−0=42=2.a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac42=2.

Równanie: y=2x−1y=2x-1. Sprawdzenie dla (2,3)(2,3): 2⋅2−1=32\cdot2-1=3.

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Prosta prostopadła do prostej y=3x+1y=3x+1, przechodząca przez punkt (3,2)(3,2), ma równanie

  1. y=−13x+3y=-\frac13x+3
  2. y=3x−7y=3x-7
  3. y=−3x+11y=-3x+11
  4. y=13x+1y=\frac13x+1

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

a=−13a=-\frac13; 2=−13⋅3+b⇒b=32=-\frac13\cdot3+b\Rightarrow b=3.

Odpowiedź A

Zadanie 5 (1 pkt)

Proste y=2x−1y=2x-1 i y=−x+5y=-x+5 przecinają się w punkcie

  1. (3,2)(3,2)
  2. (2,3)(2,3)
  3. (1,4)(1,4)
  4. (−2,7)(-2,7)

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Punkt wspólny leży na obu prostych, więc ma ten sam yy. Przyrównujemy prawe strony:

2x−1=−x+5,3x=6,x=2.2x-1=-x+5,\qquad 3x=6,\qquad x=2.

Wstawiamy do dowolnej prostej: y=2⋅2−1=3y=2\cdot2-1=3.

Punkt przecięcia: (2,3)(2,3). Sprawdzenie w drugiej: −2+5=3-2+5=3.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)

Odległość punktu P=(1,2)P=(1,2) od prostej 3x+4y−1=03x+4y-1=0 jest równa

  1. 1010
  2. 125\frac{12}{5}
  3. 22
  4. 25\frac25

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

d=∣3+8−1∣9+16=105=2d=\frac{|3+8-1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (1 pkt)

Proste 2x−y+3=02x-y+3=0 i 4x−2y−1=04x-2y-1=0 są

  1. prostopadłe
  2. równoległe
  3. przecinają się pod kątem 45∘45^\circ
  4. pokrywają się

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Obie mają a=2a=2, różne bb: równoległe (nie pokrywają się).

Odpowiedź B

Zadanie 8 (1 pkt)

Punkt symetryczny do punktu A=(3,−2)A=(3,-2) względem osi OYOY ma współrzędne

  1. (3,2)(3,2)
  2. (−3,2)(-3,2)
  3. (−3,−2)(-3,-2)
  4. (−2,3)(-2,3)

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Symetria względem osi OYOY to odbicie jak w lustrze ustawionym na osi OYOY: punkt przeskakuje na drugą stronę osi w tej samej odległości, na tej samej wysokości. Zmienia się więc tylko znak pierwszej współrzędnej (xx), druga (yy) zostaje.

xy−4−3−2−11234−3−2−1120AA'
(3,−2) → (−3,−2).(3,-2)\ \to\ (-3,-2).
Odpowiedź C

Zadanie 9 (2 pkt)

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(−1,4)A=(-1,4) i równoległej do prostej 2x+y−5=02x+y-5=0.

Odpowiedź: y=−2x+2y=-2x+2 (czyli 2x+y−2=02x+y-2=0)

Rozwiązanie

a=−2a=-2; 4=−2⋅(−1)+b⇒b=24=-2\cdot(-1)+b\Rightarrow b=2. Prosta: y=−2x+2y=-2x+2.

y=−2x+2y=-2x+2

Zadanie 10 (2 pkt)

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(0,0)A=(0,0), B=(6,0)B=(6,0), C=(2,4)C=(2,4). Oblicz jego pole i obwód.

Odpowiedź: P=12P=12; obwód 6+25+426+2\sqrt5+4\sqrt2

Rozwiązanie

P=12⋅6⋅4=12P=\frac12\cdot6\cdot4=12. ∣AC∣=4+16=25|AC|=\sqrt{4+16}=2\sqrt5, ∣BC∣=16+16=42|BC|=\sqrt{16+16}=4\sqrt2, ∣AB∣=6|AB|=6.

P=12P=12, obwód 6+25+426+2\sqrt5+4\sqrt2

Zadanie 11 (1 pkt)

Proste y=(m−1)x+2y=(m-1)x+2 i y=3x−4y=3x-4 są prostopadłe dla

  1. m=23m=\frac23
  2. m=4m=4
  3. m=−13m=-\frac13
  4. m=43m=\frac43

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

3(m−1)=−1⇒m−1=−13⇒m=233(m-1)=-1\Rightarrow m-1=-\frac13\Rightarrow m=\frac23.

Odpowiedź A

Zadanie 12 (4 pkt)

Punkty A=(−3,1)A=(-3,1) i C=(5,5)C=(5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCDABCD. Wyznacz równanie prostej BDBD oraz pole kwadratu.

Odpowiedź: BDBD: y=−2x+5y=-2x+5; pole 4040

Rozwiązanie

Środek ACAC: S=(1,3)S=(1,3). aAC=5−15+3=12a_{AC}=\frac{5-1}{5+3}=\frac12, więc aBD=−2a_{BD}=-2: 3=−2+b⇒b=53=-2+b\Rightarrow b=5. BDBD: y=−2x+5y=-2x+5.
∣AC∣=64+16=80|AC|=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}; P=∣AC∣22=40P=\frac{|AC|^2}{2}=40.

BDBD: y=−2x+5y=-2x+5; P=40P=40

Inne tematy: Okrąg w układzie współrzędnych