Dział 8. Geometria analityczna

Okrąg w układzie współrzędnych: teoria i zadania maturalne

Równanie okręgu w postaci kanonicznej (i ogólnej na rozszerzeniu), położenie punktu, prostej i drugiego okręgu względem okręgu, styczne i punkty wspólne.

Teoria

Równanie okręgu

Okrąg o środku S=(a,b)S=(a,b) i promieniu r>0r>0:

(x−a)2+(y−b)2=r2.(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

To po prostu warunek „odległość punktu (x,y)(x,y) od SS równa się rr”. Koło: (x−a)2+(y−b)2≤r2(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2.

xy−2−11234567−5−4−3−2−11230S(3, −1)r = 3
Okrąg (x − 3)² + (y + 1)² = 9.
Znaki w nawiasach

(x+2)2+(y−5)2=7(x+2)^2+(y-5)^2=7 ma środek (−2,5)(-2,5) i promień 7\sqrt7 (nie 77!). Znak w nawiasie jest przeciwny do współrzędnej środka.

Postać ogólnaR

x2+y2−2ax−2by+c=0x^2+y^2-2ax-2by+c=0, gdzie c=a2+b2−r2c=a^2+b^2-r^2; jest to okrąg, gdy a2+b2−c>0a^2+b^2-c>0. Sprowadzamy ją do kanonicznej, uzupełniając do pełnych kwadratów: x2−6x+y2+4y−3=0⇒(x−3)2−9+(y+2)2−4−3=0⇒(x−3)2+(y+2)2=16x^2-6x+y^2+4y-3=0\Rightarrow(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0\Rightarrow(x-3)^2+(y+2)^2=16.

Położenie punktu

Porównaj odległość ∣PS∣|PS| z rr: mniejsza: punkt wewnątrz, równa: na okręgu, większa: na zewnątrz. (Albo wstaw punkt do lewej strony równania.)

Prosta i okrąg

Niech dd: odległość środka od prostej:

xy−4−3−2−11234−2−11230siecznastycznarozłączna
Prosta i okrąg o promieniu r=2r=2: sieczna (d<rd<r, dwa punkty wspólne), styczna (d=rd=r, jeden) i rozłączna (d>rd>r, żaden).

Punkty wspólne wyznaczamy, rozwiązując układ równań (podstawienie yy z równania prostej do równania okręgu).

Styczna w punkcie PP okręgu jest prostopadła do promienia SPSP.

Dwa okręgiR

Niech d=∣S1S2∣d=|S_1S_2|. Okręgi są: rozłączne zewnętrznie (d>r1+r2d>r_1+r_2), styczne zewnętrznie (d=r1+r2d=r_1+r_2), przecinające się (∣r1−r2∣<d<r1+r2|r_1-r_2|<d<r_1+r_2), styczne wewnętrznie (d=∣r1−r2∣d=|r_1-r_2|), jeden wewnątrz drugiego (d<∣r1−r2∣d<|r_1-r_2|).

Na maturze

Zamknięte: środek i promień z równania, równanie okręgu z danych, położenie punktu/prostej. Otwarte: okrąg o średnicy ABAB, okrąg styczny do prostej (promień = odległość), punkty wspólne prostej i okręgu, równanie stycznej.

Wzory

Równanie okręgu

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

S=(a,b)S=(a,b): środek, rr: promień.

Postać ogólna

x2+y2−2ax−2by+c=0, r2=a2+b2−cx^2+y^2-2ax-2by+c=0,\ r^2=a^2+b^2-c

Sprowadzamy do kanonicznej, uzupełniając do kwadratów.

Prosta a okrąg

d<r,d=r,d>rd<r,\quad d=r,\quad d>r

dd: odległość środka od prostej: sieczna / styczna / rozłączna.

Promień okręgu stycznego do prostej

r=∣Aa+Bb+C∣A2+B2r=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Odległość środka (a,b)(a,b) od prostej Ax+By+C=0Ax+By+C=0.

Dwa okręgi

d=r1+r2 (styczne zewn.),d=∣r1−r2∣ (styczne wewn.)d=r_1+r_2\ \text{(styczne zewn.)},\quad d=|r_1-r_2|\ \text{(styczne wewn.)}

Położenie dwóch okręgów zależy od odległości środków.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek ABAB, gdzie A=(−1,2)A=(-1,2), B=(5,−6)B=(5,-6).

Środek okręgu = środek średnicy: S=(−1+52,2−62)=(2,−2)S=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2-6}{2}\right)=(2,-2).
Promień = połowa średnicy: ∣AB∣=36+64=10|AB|=\sqrt{36+64}=10, r=5r=5.

xy−4−22468−8−6−4−2240ABS = (2, −2)
Środek okręgu to środek średnicy ABAB: S=(2,−2)S=(2,-2), a promień to połowa ∣AB∣=10|AB|=10, czyli r=5r=5.
(x−2)2+(y+2)2=25(x-2)^2+(y+2)^2=25

Przykład 2

Wyznacz punkty wspólne prostej y=x+1y=x+1 i okręgu x2+y2=5x^2+y^2=5.

Podstawiamy: x2+(x+1)2=5⇒2x2+2x−4=0⇒x2+x−2=0⇒(x+2)(x−1)=0x^2+(x+1)^2=5\Rightarrow2x^2+2x-4=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow(x+2)(x-1)=0.
x=1⇒y=2x=1\Rightarrow y=2;  x=−2⇒y=−1\ x=-2\Rightarrow y=-1.

xy−3−2−1123−3−2−11230y = x + 1AB
Prosta y=x+1y=x+1 przecina okrąg x2+y2=5x^2+y^2=5 w dwóch punktach: A=(1,2)A=(1,2) i B=(−2,−1)B=(-2,-1).
Punkty wspólne: (1,2)(1,2) i (−2,−1)(-2,-1): prosta jest sieczną.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Środkiem i promieniem okręgu (x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^2+(y+2)^2=16 są odpowiednio

  1. (−3,2)(-3,2), 44
  2. (3,−2)(3,-2), 1616
  3. (3,−2)(3,-2), 44
  4. (3,2)(3,2), 44

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Równanie okręgu: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2, środek S=(a,b)S=(a,b), promień rr.

Tu (x−3)2(x-3)^2 daje a=3a=3, a (y+2)2=(y−(−2))2(y+2)^2=(y-(-2))^2 daje b=−2b=-2. Po prawej stoi r2=16r^2=16, więc r=4r=4.

S=(3,−2),r=4.S=(3,-2),\qquad r=4.

Pułapka: po prawej stronie jest kwadrat promienia, nie sam promień.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Okrąg o środku S=(−1,2)S=(-1,2) przechodzi przez punkt P=(2,6)P=(2,6). Jego równanie to

  1. (x+1)2+(y−2)2=5(x+1)^2+(y-2)^2=5
  2. (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25
  3. (x−1)2+(y+2)2=25(x-1)^2+(y+2)^2=25
  4. (x−2)2+(y−6)2=25(x-2)^2+(y-6)^2=25

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

r=32+42=5r=\sqrt{3^2+4^2}=5: (x+1)2+(y−2)2=25(x+1)^2+(y-2)^2=25.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Punkt A=(1,1)A=(1,1) względem okręgu x2+y2=4x^2+y^2=4 leży

  1. wewnątrz okręgu
  2. na okręgu
  3. na zewnątrz okręgu
  4. w środku okręgu

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Okrąg x2+y2=4x^2+y^2=4 ma środek w (0,0)(0,0) i promień 22. Liczymy odległość punktu AA od środka:

∣AS∣=12+12=2≈1,41.|AS|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\approx1{,}41.

To mniej niż promień 22, więc punkt leży wewnątrz okręgu.

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Okrąg (x−2)2+y2=9(x-2)^2+y^2=9 przecina oś OYOY w punktach

  1. (0,3)(0,3) i (0,−3)(0,-3)
  2. (0,5)(0,\sqrt5) i (0,−5)(0,-\sqrt5)
  3. (0,5)(0,5) i (0,−5)(0,-5)
  4. nie przecina osi OYOY

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

x=0x=0: 4+y2=9⇒y=±54+y^2=9\Rightarrow y=\pm\sqrt5.

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Prosta y=3y=3 i okrąg (x−1)2+(y+1)2=16(x-1)^2+(y+1)^2=16

  1. mają dwa punkty wspólne
  2. nie mają punktów wspólnych
  3. są styczne
  4. przecinają się w środku okręgu

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Okrąg ma środek S=(1,−1)S=(1,-1) i promień r=16=4r=\sqrt{16}=4.

Prosta y=3y=3 jest pozioma. Jej odległość od środka to różnica wysokości: ∣3−(−1)∣=4|3-(-1)|=4.

Odległość jest równa promieniowi, więc prosta dotyka okręgu w jednym punkcie: jest styczna.

Odpowiedź C

Zadanie 6 (1 pkt)

Okrąg x2+y2−6x+4y−3=0x^2+y^2-6x+4y-3=0 ma środek i promień

  1. (−3,2)(-3,2), 44
  2. (3,−2)(3,-2), 3\sqrt3
  3. (3,−2)(3,-2), 44
  4. (6,−4)(6,-4), 33

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

(x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^2+(y+2)^2=16: S=(3,−2)S=(3,-2), r=4r=4.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek ABAB, gdzie A=(−3,4)A=(-3,4), B=(5,−2)B=(5,-2).

Odpowiedź: (x−1)2+(y−1)2=25(x-1)^2+(y-1)^2=25

Rozwiązanie

S=(−3+52,4−22)=(1,1)S=\left(\frac{-3+5}2,\frac{4-2}2\right)=(1,1), ∣AB∣=64+36=10|AB|=\sqrt{64+36}=10, r=5r=5.

(x−1)2+(y−1)2=25(x-1)^2+(y-1)^2=25

Zadanie 8 (2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o środku S=(2,1)S=(2,1) stycznego do prostej 3x−4y+8=03x-4y+8=0.

Odpowiedź: (x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2+(y-1)^2=4

Rozwiązanie

r=∣3⋅2−4⋅1+8∣9+16=105=2r=\frac{|3\cdot2-4\cdot1+8|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2.

(x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2+(y-1)^2=4

Zadanie 9 (2 pkt)

Wyznacz punkty wspólne prostej y=−x+3y=-x+3 i okręgu x2+y2=5x^2+y^2=5.

Odpowiedź: (1,2)(1,2) i (2,1)(2,1)

Rozwiązanie

x2+9−6x+x2=5⇒2x2−6x+4=0⇒x2−3x+2=0⇒x∈{1,2}x^2+9-6x+x^2=5\Rightarrow2x^2-6x+4=0\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x\in\{1,2\}.
x=1⇒y=2x=1\Rightarrow y=2; x=2⇒y=1x=2\Rightarrow y=1.

(1,2)(1,2) i (2,1)(2,1)

Zadanie 10 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do okręgu x2+y2=25x^2+y^2=25 w punkcie P=(3,4)P=(3,4).

Odpowiedź: y=−34x+254y=-\frac34x+\frac{25}{4} (czyli 3x+4y−25=03x+4y-25=0)

Rozwiązanie

S=(0,0)S=(0,0), aSP=43a_{SP}=\frac{4}{3}; styczna: a=−34a=-\frac34, przez PP: 4=−34⋅3+b⇒b=2544=-\frac34\cdot3+b\Rightarrow b=\frac{25}4.
Równanie: y=−34x+254y=-\frac34x+\frac{25}4, czyli 3x+4y−25=03x+4y-25=0. Kontrola: odległość SS od prostej 255=5=r\frac{25}{5}=5=r ✓.

3x+4y−25=03x+4y-25=0

Zadanie 11 (1 pkt)

Okręgi x2+y2=9x^2+y^2=9 oraz (x−5)2+y2=4(x-5)^2+y^2=4 są

  1. rozłączne zewnętrznie
  2. styczne zewnętrznie
  3. przecinające się
  4. styczne wewnętrznie

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

d=∣S1S2∣=5=3+2d=|S_1S_2|=5=3+2: styczne zewnętrznie (w punkcie (3,0)(3,0)).

Odpowiedź B

Inne tematy: Punkty, odcinki i proste w układzie współrzędnych · Wektory i przekształcenia płaszczyzny