Dział 8. Geometria analityczna

Wektory i przekształcenia płaszczyzny: teoria i zadania maturalne

Współrzędne i długość wektora, dodawanie i mnożenie przez liczbę, wektory równoległe, środek ciężkości trójkąta, brakujący wierzchołek równoległoboku, przesunięcie i jednokładność.

Teoria

Wektor i jego współrzędne

Wektor AB→\overrightarrow{AB} o początku A=(xA,yA)A=(x_A,y_A) i końcu B=(xB,yB)B=(x_B,y_B):

AB→=[xB−xA, yB−yA],∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2.\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A],\qquad|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
xy−1123456−3−2−11230AB3−4[3, −4]
Wektor AB = [3, −4]: 3 jednostki w prawo i 4 w dół; długość 5.

Działania

Dla u⃗=[u1,u2]\vec u=[u_1,u_2], v⃗=[v1,v2]\vec v=[v_1,v_2] i liczby kk:

u⃗+v⃗=[u1+v1, u2+v2],ku⃗=[ku1, ku2],u⃗−v⃗=[u1−v1, u2−v2].\vec u+\vec v=[u_1+v_1,\ u_2+v_2],\qquad k\vec u=[ku_1,\ ku_2],\qquad\vec u-\vec v=[u_1-v_1,\ u_2-v_2].

Wektory są równe, gdy mają równe współrzędne. Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego: u1v2−u2v1=0u_1v_2-u_2v_1=0.

xy−1123456−1123450uvu + v
Dodawanie wektorów: v⃗\vec v doczepiamy na końcu u⃗\vec u, a suma prowadzi od początku u⃗\vec u do końca v⃗\vec v (to przekątna równoległoboku).
Wektor = przesunięcie

Wektor mówi „o ile w prawo i o ile w górę”. Nie ma znaczenia, skąd startujesz: [3,−4][3,-4] z punktu (0,0)(0,0) prowadzi do (3,−4)(3,-4), a z punktu (5,1)(5,1) do (8,−3)(8,-3).

Zastosowania

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o v⃗=[p,q]\vec v=[p,q]: (x,y)↦(x+p, y+q)(x,y)\mapsto(x+p,\ y+q). Wykres funkcji y=f(x)y=f(x) przechodzi w y=f(x−p)+qy=f(x-p)+q, okrąg o środku SS: w okrąg o środku S+v⃗S+\vec v i tym samym promieniu.

xy−11234567−112340v = [4, 1]
Przesunięcie o wektor v⃗=[4,1]\vec v=[4,1]: każdy punkt figury przesuwa się o 44 w prawo i o 11 w górę, kształt się nie zmienia.

Jednokładność

Jednokładność o środku OO i skali k≠0k\neq0 przekształca punkt PP w P′P' taki, że OP′→=k⋅OP→\overrightarrow{OP'}=k\cdot\overrightarrow{OP}. Gdy O=(0,0)O=(0,0): (x,y)↦(kx,ky)(x,y)\mapsto(kx,ky). Figura przechodzi w figurę podobną w skali ∣k∣|k| (dla k<0k<0 dodatkowo „obrócona” przez środek). Okrąg o promieniu rr przechodzi w okrąg o promieniu ∣k∣r|k|r.

xy−11234567−112340O
Jednokładność o środku OO i skali k=2k=2: każdy punkt oddala się od OO dwa razy, więc figura powiększa się dwukrotnie.
Na maturze rozszerzonej

Wektory pojawiają się jako narzędzie w zadaniach z geometrii analitycznej: brakujący wierzchołek, środek ciężkości, równoległość, przesunięcia i jednokładności okręgów.

Wzory

Współrzędne wektora

AB→=[xB−xA, yB−yA]\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]

Koniec minus początek.

Długość wektora

∣v⃗∣=v12+v22|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}

Twierdzenie Pitagorasa.

Działania na wektorach

u⃗+v⃗=[u1+v1,u2+v2],ku⃗=[ku1,ku2]\vec u+\vec v=[u_1+v_1,u_2+v_2],\quad k\vec u=[ku_1,ku_2]

Działania „po współrzędnych”.

Wektory równoległe

u1v2−u2v1=0u_1v_2-u_2v_1=0

Równoważnie: u⃗=kv⃗\vec u=k\vec v.

Środek ciężkości trójkąta

S=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)S=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3,\frac{y_A+y_B+y_C}3\right)

Punkt przecięcia środkowych.

Jednokładność względem (0, 0)

(x,y)↦(kx, ky)(x,y)\mapsto(kx,\ ky)

Skala kk; długości mnożą się przez ∣k∣|k|.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Punkty A=(−1,0)A=(-1,0), B=(3,1)B=(3,1), C=(4,4)C=(4,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCDABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka DD.

W równoległoboku AD→=BC→=[4−3, 4−1]=[1,3]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=[4-3,\ 4-1]=[1,3].
D=A+[1,3]=(−1+1, 0+3)=(0,3)D=A+[1,3]=(-1+1,\ 0+3)=(0,3).
Kontrola: przekątne mają wspólny środek: SAC=(32,2)S_{AC}=\left(\frac32,2\right), SBD=(32,2)S_{BD}=\left(\frac32,2\right) ✓.

xy−2−112345−1123450[1, 3][1, 3]ABCDS
AD→=BC→=[1,3]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=[1,3], więc D=(0,3)D=(0,3); przekątne przecinają się w swoich środkach.
D=(0,3)D=(0,3)

Przykład 2

Okrąg (x−1)2+(y−3)2=1(x-1)^2+(y-3)^2=1 przekształcono w jednokładności o środku O=(0,0)O=(0,0) i skali k=−2k=-2. Wyznacz równanie obrazu.

Środek (1,3)↦(−2,−6)(1,3)\mapsto(-2,-6), promień 1↦∣−2∣⋅1=21\mapsto|{-2}|\cdot1=2.

xy−4−22−8−6−4−2240O(1, 3)(−2, −6)
Skala k=−2k=-2: środek (1,3)(1,3) przechodzi przez OO na drugą stronę i dwa razy dalej, do (−2,−6)(-2,-6); promień rośnie dwukrotnie.
(x+2)2+(y+6)2=4(x+2)^2+(y+6)^2=4

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Dane są punkty A=(1,2)A=(1,2) i B=(4,−2)B=(4,-2). Długość wektora AB→\overrightarrow{AB} jest równa

  1. 55
  2. 77
  3. 7\sqrt{7}
  4. 2525

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

AB→=[3,−4]\overrightarrow{AB}=[3,-4], ∣AB→∣=5|\overrightarrow{AB}|=5.

Odpowiedź A

Zadanie 2 (1 pkt)

Dla u⃗=[2,−1]\vec u=[2,-1] i v⃗=[−3,4]\vec v=[-3,4] wektor 2u⃗−v⃗2\vec u-\vec v jest równy

  1. [1,2][1,2]
  2. [7,−6][7,-6]
  3. [−1,6][-1,6]
  4. [7,2][7,2]

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Działania na wektorach wykonujemy osobno na każdej współrzędnej.

2u⃗=[4,−2].2\vec u=[4,-2].2u⃗−v⃗=[4−(−3), −2−4]=[7,−6].2\vec u-\vec v=[4-(-3),\ -2-4]=[7,-6].

Uwaga na minus przed v⃗\vec v: odejmujemy −3-3, czyli dodajemy 33.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Wektory [2,m][2,m] i [4,6][4,6] są równoległe dla

  1. m=12m=12
  2. m=−3m=-3
  3. m=3m=3
  4. m=43m=\frac43

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

12−4m=0⇒m=312-4m=0\Rightarrow m=3 ([2,3]=12[4,6][2,3]=\frac12[4,6]).

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach (1,1)(1,1), (5,3)(5,3), (3,8)(3,8) jest punkt

  1. (3,4)(3,4)
  2. (4,3)(4,3)
  3. (9,12)(9,12)
  4. (3,6)(3,6)

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

S=(1+5+33,1+3+83)=(3,4)S=\left(\frac{1+5+3}3,\frac{1+3+8}3\right)=(3,4).

Odpowiedź A

Zadanie 5 (1 pkt)

Obrazem punktu (2,5)(2,5) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt

  1. (−2,5)(-2,5)
  2. (2,−5)(2,-5)
  3. (5,2)(5,2)
  4. (−2,−5)(-2,-5)

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

(−2,−5)(-2,-5) (to też jednokładność o skali −1-1).

Odpowiedź D

Zadanie 6 (2 pkt)

Punkty A=(2,−1)A=(2,-1), B=(6,1)B=(6,1), C=(5,4)C=(5,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCDABCD. Wyznacz DD.

Odpowiedź: D=(1,2)D=(1,2)

Rozwiązanie

BC→=[−1,3]\overrightarrow{BC}=[-1,3], D=A+[−1,3]=(1,2)D=A+[-1,3]=(1,2).

D=(1,2)D=(1,2)

Zadanie 7 (2 pkt)

Okrąg x2+y2=4x^2+y^2=4 przesunięto o wektor [2,−3][2,-3]. Zapisz równanie obrazu.

Odpowiedź: (x−2)2+(y+3)2=4(x-2)^2+(y+3)^2=4

Rozwiązanie

Nowy środek (2,−3)(2,-3), r=2r=2: (x−2)2+(y+3)2=4(x-2)^2+(y+3)^2=4.

(x−2)2+(y+3)2=4(x-2)^2+(y+3)^2=4

Zadanie 8 (2 pkt)

Punkt CC leży na odcinku ABAB i ∣AC∣:∣CB∣=1:2|AC|:|CB|=1:2. Wyznacz CC, jeśli A=(0,3)A=(0,3), B=(6,0)B=(6,0).

Odpowiedź: C=(2,2)C=(2,2)

Rozwiązanie

Punkt CC dzieli odcinek w stosunku 1:21:2, czyli leży w 11+2=13\frac{1}{1+2}=\frac13 drogi od AA do BB.

Wektor AB→=[6−0, 0−3]=[6,−3]\overrightarrow{AB}=[6-0,\ 0-3]=[6,-3]. Jedna trzecia drogi to 13[6,−3]=[2,−1]\frac13[6,-3]=[2,-1].

Od AA przesuwamy się o ten wektor:

C=(0+2, 3−1)=(2,2).C=(0+2,\ 3-1)=(2,2).

Sprawdzenie: ∣AC∣=5|AC|=\sqrt5, ∣CB∣=16+4=25|CB|=\sqrt{16+4}=2\sqrt5, stosunek 1:21:2.

C=(2,2)C=(2,2)

Zadanie 9 (1 pkt)

Wektor u⃗=[3,4]\vec u=[3,4]. Długość wektora 2u⃗2\vec u jest równa

  1. 55
  2. 77
  3. 1010
  4. 1414

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Długość wektora [x,y][x,y] to x2+y2\sqrt{x^2+y^2}:

∣u⃗∣=32+42=25=5.|\vec u|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

Wektor 2u⃗2\vec u jest dwa razy dłuższy:

∣2u⃗∣=2⋅5=10.|2\vec u|=2\cdot5=10.
Odpowiedź C

Zadanie 10 (3 pkt)

Okrąg (x−1)2+(y−3)2=1(x-1)^2+(y-3)^2=1 przekształcono w jednokładności o środku (0,0)(0,0) i skali k=−2k=-2. Wyznacz równanie obrazu i sprawdź, czy obraz przecina oś OXOX.

Odpowiedź: (x+2)2+(y+6)2=4(x+2)^2+(y+6)^2=4; nie przecina osi OXOX

Rozwiązanie

Środek (1,3)↦(−2,−6)(1,3)\mapsto(-2,-6), promień 22: (x+2)2+(y+6)2=4(x+2)^2+(y+6)^2=4.
Odległość środka od osi OXOX: 6>26>2: okrąg nie przecina osi OXOX.

(x+2)2+(y+6)2=4(x+2)^2+(y+6)^2=4; brak punktów wspólnych z osią OXOX

Inne tematy: Okrąg w układzie współrzędnych