Ciąg geometryczny i procent składany: teoria i zadania maturalne

Ciąg, w którym zawsze mnożymy przez tę samą liczbę: iloraz $q$ , wzór na $n$ -ty wyraz, suma $n$ wyrazów, warunek $b^2=ac$ oraz lokaty i kredyty jako ciągi geometryczne.

Teoria

Definicja

Ciąg jest geometryczny, gdy każdy wyraz (od drugiego) powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez tę samą liczbę $q$ : iloraz ciągu:

a_{n+1}=a_n\cdot q,\qquad q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\ \ (a_n\neq0).

Przykład: znajdź iloraz ciągu

$3,6,12,24,\dots$ : co krok mnożymy przez $2$ , więc $q=2$ .
$16,-8,4,-2,\dots$ : co krok mnożymy przez $-\frac12$ , więc $q=-\frac12$ .

Wzór na $n$ -ty wyraz

$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1},\qquad a_n=a_k\cdot q^{\,n-k}.$

Przykład:

a_1=3

q=2

. Oblicz

a_6

Odczytujemy: $a_1=3$ , $q=2$ , $n=6$ .
$a_6=a_1\cdot q^{6-1}=3\cdot2^5=96$

a_6=96

Dwa wyrazy: od razu

q

$a_2=6$ , $a_5=162$ : między nimi $3$ kroki, więc
$q^3=\frac{162}{6}=27\ \Rightarrow\ q=3$
Cofamy się o krok: $a_1=\frac{6}{3}=2$ .

Suma $n$ początkowych wyrazów

$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\quad(q\neq1),\qquad S_n=n\cdot a_1\quad(q=1).$

Przykład: suma

5

początkowych wyrazów, gdy

a_1=2

q=3

Odczytujemy: $a_1=2$ , $q=3$ , $n=5$ .
$S_5=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{1-243}{-2}=242$

S_5=242

Trzy kolejne wyrazy

$a,b,c$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny $\iff b^2=a\cdot c$ (dla wyrazów niezerowych).

Przykład: dla jakiego

x>0

liczby

4,\ x,\ 9

tworzą ciąg geometryczny?

Kwadrat środkowej to iloczyn sąsiednich: $x^2=4\cdot9=36$ .
Warunek $x>0$ zostawia dodatnie rozwiązanie.

x=6

Monotoniczność

$a_1>0$ i $q>1$ albo $a_1<0$ i $0<q<1$ : rosnący,
$a_1>0$ i $0<q<1$ albo $a_1<0$ i $q>1$ : malejący,
$q<0$ : znaki się przeplatają: niemonotoniczny; $q=1$ : stały.

Ciąg geometryczny 1, 2, 4, 8, 16 (q = 2): punkty leżą na krzywej wykładniczej: dlatego rośnie coraz szybciej.

Arytmetyczny a geometryczny

Arytmetyczny: co krok dodajesz to samo (równe schodki). Geometryczny: co krok mnożysz przez to samo (schodki rosną proporcjonalnie). Pensja rosnąca o $200$ zł rocznie: arytmetyczny; rosnąca o $5\%$ rocznie: geometryczny.

Procent składany jako ciąg geometryczny

Kapitał po kolejnych okresach: $K,\ Kq,\ Kq^2,\dots$ , gdzie $q=1+\frac{p}{100}$ . Przy kapitalizacji $m$ razy w roku: $q=1+\frac{p}{100m}$ , a okresów jest $mn$ :
$K_n=K\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}.$

Przykład:

1000

zł na

2

lata na

5\%

rocznie, kapitalizacja roczna

Co rok kapitał mnożymy przez $q=1+\frac{5}{100}=1{,}05$ .
$K_2=1000\cdot1{,}05^2=1102{,}50$

1102{,}50

zł

Na maturze

Zadania zamknięte: wyraz, iloraz, warunek $b^2=ac$ , suma. Otwarte: układ warunków (suma i iloczyn trzech wyrazów), zadania łączące ciąg arytmetyczny i geometryczny, lokaty.

Wzory

Iloraz ciągu

q=\frac{a_{n+1}}{a_n}

Stały iloraz kolejnych wyrazów.

n-ty wyraz

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Wyraz o dowolnym numerze.

Suma n wyrazów

S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q},\ q\neq1

Dla $q=1$ : $S_n=na_1$ .

Warunek na trzy wyrazy

b^2=a\cdot c

Środkowy wyraz to średnia geometryczna sąsiednich (co do wartości bezwzględnej).

Lokata z kapitalizacją

K_n=K\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}

Kapitał rośnie jak ciąg geometryczny o ilorazie $1+\frac{p}{100m}$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich suma jest równa $26$ , a iloczyn $216$ . Wyznacz te liczby.

Wygodny zapis trzech wyrazów: $\frac aq,\ a,\ aq$ . Iloczyn: $\frac aq\cdot a\cdot aq=a^3=216\Rightarrow a=6$ .
Suma: $\frac6q+6+6q=26\Rightarrow\frac6q+6q=20\ \big|\cdot q\Rightarrow6q^2-20q+6=0\Rightarrow3q^2-10q+3=0$ .
$\Delta=100-36=64$ , $q=\frac{10\pm8}{6}\in\left\{3,\frac13\right\}$ .
Dla $q=3$ : $2,6,18$ ; dla $q=\frac13$ : $18,6,2$ .

Liczby

2,\ 6,\ 18

(lub w odwrotnej kolejności).

Przykład 2

Liczby $x+1$ , $x+3$ , $x+9$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$ i iloraz tego ciągu.

$b^2=ac$ : $(x+3)^2=(x+1)(x+9)\Rightarrow x^2+6x+9=x^2+10x+9\Rightarrow4x=0\Rightarrow x=0$ .
Ciąg: $1,3,9$ , iloraz $q=3$ .

x=0

q=3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=2$ . Wyraz $a_6$ jest równy

$192$
$96$
$36$
$48$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

W ciągu geometrycznym każdy krok mnoży przez iloraz $q$ . Wzór: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ .

a_6=3\cdot2^{5}=3\cdot32=96.

Pułapka: wykładnik to $n-1=5$ , a nie $6$ . Odpowiedź A ( $192=3\cdot2^6$ ) to właśnie ten błąd.

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

W ciągu geometrycznym $a_2=6$ i $a_5=162$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

$3$
$18$
$2$
$1$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$q^3=\frac{162}{6}=27\Rightarrow q=3$ , $a_1=\frac{a_2}{q}=2$ .

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Liczby $x$ , $6$ , $18$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Zatem

$x=2$
$x=12$
$x=-6$
$x=3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$6^2=18x\Rightarrow x=2$ (ciąg $2,6,18$ , $q=3$ ).

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1=1$ i $q=3$ , jest równa

$81$
$243$
$40$
$121$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$S_5=\frac{1-3^5}{1-3}=\frac{-242}{-2}=121$ (czyli $1+3+9+27+81$ ).

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Ciąg geometryczny $16,-8,4,\dots$ ma iloraz

$-2$
$\frac12$
$-\frac12$
$-8$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Iloraz to liczba, przez którą mnożymy, żeby dostać następny wyraz: $q=\frac{a_2}{a_1}$ .

q=\frac{-8}{16}=-\frac12.

Sprawdzenie: $-8\cdot\left(-\frac12\right)=4$ , czyli trzeci wyraz się zgadza.

Odpowiedź C

Zadanie 6 (1 pkt)

Ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $\frac12$ jest

rosnący
malejący
stały
niemonotoniczny

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$4,2,1,\frac12,\dots$ : każdy wyraz mniejszy od poprzedniego.

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

W ciągu geometrycznym $a_1=-2$ , $q=-3$ . Oblicz $a_4$ i ustal, czy ciąg jest monotoniczny.

Odpowiedź: $a_4=54$ ; ciąg nie jest monotoniczny

Rozwiązanie

$a_4=-2\cdot(-3)^3=-2\cdot(-27)=54$ . Wyrazy: $-2,6,-18,54,\dots$ : znaki się przeplatają, więc ciąg nie jest monotoniczny.

a_4=54

, niemonotoniczny

Zadanie 8 (2 pkt)

Na lokatę wpłacono $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $6\%$ w skali roku, a kapitalizacja jest kwartalna. Oblicz kwotę po roku (bez podatku), z dokładnością do grosza.

Odpowiedź: $1061{,}36$ zł

Rozwiązanie

$K=1000\cdot1{,}015^4$ . $1{,}015^2=1{,}030225$ , $1{,}030225^2\approx1{,}0613636$ .
$K\approx1061{,}36$ zł.

1061{,}36

zł

Zadanie 9 (2 pkt)

Pensja pani Ewy w pierwszym roku pracy wynosi $50\,000$ zł rocznie i co roku rośnie o $5\%$ . Ile zarobi w trzecim roku, a ile łącznie przez pierwsze trzy lata?

Odpowiedź: w 3. roku $55\,125$ zł; łącznie $157\,625$ zł

Rozwiązanie

$a_3=50\,000\cdot1{,}1025=55\,125$ zł.
$S_3=50\,000+52\,500+55\,125=157\,625$ zł (albo $50\,000\cdot\frac{1-1{,}05^3}{1-1{,}05}=50\,000\cdot3{,}1525$ ).

55\,125

zł; razem

157\,625

zł

Zadanie 10 (3 pkt)

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny, a ciąg $(a,\ b+4,\ c)$ jest arytmetyczny. Wiadomo, że $a=2$ i iloraz ciągu geometrycznego jest dodatni. Wyznacz $b$ i $c$ .

Odpowiedź: $b=6$ , $c=18$

Rozwiązanie

$b=2q$ , $c=2q^2$ . Warunek arytmetyczny: $2(2q+4)=2+2q^2\Rightarrow4q+8=2+2q^2\Rightarrow q^2-2q-3=0\Rightarrow(q-3)(q+1)=0$ .
$q>0\Rightarrow q=3$ : $b=6$ , $c=18$ . Sprawdzenie: $2,10,18$ : arytmetyczny ( $r=8$ ) ✓.

b=6

c=18

Zadanie 11 (3 pkt)

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$ , a pierwszy wyraz jest równy $3$ . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Odpowiedź: $q=2$ lub $q=-3$

Rozwiązanie

$3(1+q+q^2)=21\Rightarrow q^2+q-6=0\Rightarrow(q-2)(q+3)=0$ .
$q=2$ : $3,6,12$ (suma $21$ ✓); $q=-3$ : $3,-9,27$ (suma $21$ ✓).

q=2

lub

q=-3

Inne tematy: Ciąg arytmetyczny · Granice ciągów i szereg geometryczny

Ciąg geometryczny i procent składany: teoria i zadania maturalne

Teoria

Definicja

Wzór na nnn-ty wyraz

Suma nnn początkowych wyrazów

Trzy kolejne wyrazy

Monotoniczność

Procent składany jako ciąg geometryczny

Wzory

Iloraz ciągu

n-ty wyraz

Suma n wyrazów

Warunek na trzy wyrazy

Lokata z kapitalizacją

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (1 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (2 pkt)

Zadanie 10 (3 pkt)

Zadanie 11 (3 pkt)

Wzór na $n$ -ty wyraz

Suma $n$ początkowych wyrazów