Dział 5. Ciągi

Granice ciągów i szereg geometryczny: teoria i zadania maturalne

Do czego „zmierzają” wyrazy ciągu: granice ciągów wymiernych, symbole ∞∞\frac{\infty}{\infty} i ∞−∞\infty-\infty, a także suma nieskończonego szeregu geometrycznego i zamiana ułamka okresowego.

Teoria

Granica ciągu: intuicja

Liczba gg jest granicą ciągu (an)(a_n), gdy dla dużych nn wyrazy są dowolnie blisko gg. Piszemy lim⁡n→∞an=g\lim\limits_{n\to\infty}a_n=g; ciąg jest wtedy zbieżny. Ciąg może też dążyć do +∞+\infty lub −∞-\infty (rozbieżny do nieskończoności) albo nie mieć granicy (np. (−1)n(-1)^n).

xy123456789101112120g = 2
Ciąg aₙ = 2 − 3/(n+1) zbliża się do 2, ale nigdy go nie przekracza.

Podstawowe granice

lim⁡1n=0,lim⁡cnk=0 (k>0),lim⁡qn=0 dla ∣q∣<1.\lim\frac1n=0,\qquad\lim\frac{c}{n^k}=0\ (k>0),\qquad\lim q^n=0\ \text{dla}\ |q|<1.

Arytmetyka granic: jeśli lim⁡an=a\lim a_n=a i lim⁡bn=b\lim b_n=b, to granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu (gdy b≠0b\neq0) jest odpowiednio a+ba+b, a−ba-b, abab, ab\frac ab.

Ciągi wymierne: dzielenie przez najwyższą potęgę

Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę nn z mianownika:

lim⁡3n2−n2n2+5=lim⁡3−1n2+5n2=32.\lim\frac{3n^2-n}{2n^2+5}=\lim\frac{3-\frac1n}{2+\frac{5}{n^2}}=\frac32.
Szybka reguła dla wielomianwielomian\frac{\text{wielomian}}{\text{wielomian}}

Porównaj stopnie: równe: granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach; licznik niższego stopnia: granica 00; licznik wyższego stopnia: ±∞\pm\infty (znak z ilorazu współczynników). Na maturze pokaż jednak przekształcenie.

Symbol ∞−∞\infty-\infty z pierwiastkami

Mnożymy przez sprzężenie:

lim⁡(n2+4n−n)=lim⁡n2+4n−n2n2+4n+n=lim⁡4nn(1+4n+1)=42=2.\lim\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)=\lim\frac{n^2+4n-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\lim\frac{4n}{n\left(\sqrt{1+\frac4n}+1\right)}=\frac{4}{2}=2.

Szereg geometryczny

Suma nieskończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego a1+a1q+a1q2+…a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots istnieje (szereg jest zbieżny) wtedy i tylko wtedy, gdy ∣q∣<1|q|<1 (lub a1=0a_1=0), i wynosi

S=a11−q.S=\frac{a_1}{1-q}.
11/21/41/8
1+12+14+18+…1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots: każdy kolejny prostokąt zajmuje połowę pozostałego miejsca, a wszystkie razem wypełniają prostokąt o polu 2=11−122=\frac{1}{1-\frac12}.
Ułamek okresowy jako szereg

0,(27)=0,27+0,0027+…0{,}(27)=0{,}27+0{,}0027+\ldots: szereg z a1=27100a_1=\frac{27}{100}, q=1100q=\frac{1}{100}: S=27/10099/100=2799=311S=\frac{27/100}{99/100}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}.

Dlaczego nieskończona suma może być skończona

1+12+14+18+…1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots: każdy krok zabiera połowę brakującej drogi do 22. Nigdy jej nie przekraczamy, a brakujący kawałek staje się dowolnie mały: suma to dokładnie 2=11−122=\frac{1}{1-\frac12}.

Na maturze rozszerzonej

Obliczanie granic (zadanie z kodowaną odpowiedzią lub otwarte za 2 pkt), suma szeregu, równania z szeregiem geometrycznym: pamiętaj o warunku zbieżności ∣q∣<1|q|<1!

Wzory

Granice podstawowe

lim⁡n→∞1n=0,lim⁡n→∞qn=0 (∣q∣<1)\lim_{n\to\infty}\frac1n=0,\qquad\lim_{n\to\infty}q^n=0\ (|q|<1)

Budulec wszystkich obliczeń granic.

Ciąg wymierny

lim⁡aknk+…bknk+…=akbk\lim\frac{a_kn^k+\ldots}{b_kn^k+\ldots}=\frac{a_k}{b_k}

Przy równych stopniach: iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.

Mnożenie przez sprzężenie

A−B=A−BA+B\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}

Usuwa symbol ∞−∞\infty-\infty przy pierwiastkach.

Suma szeregu geometrycznego

S=a11−q,∣q∣<1S=\frac{a_1}{1-q},\quad |q|<1

Suma nieskończenie wielu wyrazów; warunek zbieżności ∣q∣<1|q|<1.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz granicę lim⁡n→∞(2n+1)2−4n23n+2\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(2n+1)^2-4n^2}{3n+2}.

Najpierw upraszczamy licznik: (2n+1)2−4n2=4n2+4n+1−4n2=4n+1(2n+1)^2-4n^2=4n^2+4n+1-4n^2=4n+1.

lim⁡4n+13n+2=lim⁡4+1n3+2n=43.\lim\frac{4n+1}{3n+2}=\lim\frac{4+\frac1n}{3+\frac2n}=\frac43.
Granica: 43\frac43

Przykład 2

Rozwiąż równanie x+x2+x3+…=3x+x^2+x^3+\ldots=3, gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego.

Szereg: a1=xa_1=x, q=xq=x. Zbieżny dla ∣x∣<1|x|<1, wtedy S=x1−xS=\frac{x}{1-x}.
x1−x=3⇒x=3−3x⇒x=34\frac{x}{1-x}=3\Rightarrow x=3-3x\Rightarrow x=\frac34.
∣34∣<1\left|\frac34\right|<1 ✓.

x=34x=\frac34

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Granica lim⁡n→∞3n2−n2n2+5\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2-n}{2n^2+5} jest równa

  1. 32\frac32
  2. 00
  3. +∞+\infty
  4. −15-\frac15

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

lim⁡3−1n2+5n2=32\lim\frac{3-\frac1n}{2+\frac5{n^2}}=\frac32.

Odpowiedź A

Zadanie 2 (1 pkt)

Granica lim⁡n→∞n+1n2+3\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n^2+3} jest równa

  1. 11
  2. 13\frac13
  3. 00
  4. +∞+\infty

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

lim⁡1n+1n21+3n2=01=0\lim\frac{\frac1n+\frac1{n^2}}{1+\frac3{n^2}}=\frac{0}{1}=0.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Granica lim⁡n→∞2n3−nn2+1\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^3-n}{n^2+1} jest równa

  1. 22
  2. +∞+\infty
  3. 00
  4. −∞-\infty

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

2n−1n1+1n2→+∞1=+∞\frac{2n-\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac{+\infty}{1}=+\infty.

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Granica lim⁡n→∞(3+5⋅(12)n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(3+5\cdot\left(\frac12\right)^n\right) jest równa

  1. 88
  2. 5,55{,}5
  3. +∞+\infty
  4. 33

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

5⋅(12)n→05\cdot\left(\frac12\right)^n\to0, więc granica to 33.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Suma nieskończonego szeregu geometrycznego 8+4+2+1+…8+4+2+1+\ldots jest równa

  1. 1515
  2. 1616
  3. +∞+\infty
  4. 1212

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

To szereg geometryczny: a1=8a_1=8, każdy wyraz to połowa poprzedniego, więc q=12q=\frac12. Ponieważ ∣q∣<1|q|<1, suma nieskończona istnieje:

S=a11−q=81−12=812=16.S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac12}=\frac{8}{\frac12}=16.

Intuicja: 8+4+2+1+…8+4+2+1+\ldots coraz bardziej zbliża się do 1616, ale nigdy go nie przekracza.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Oblicz granicę lim⁡n→∞(n2+4n−n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right).

Odpowiedź: 22

Rozwiązanien2+4n−n=n2+4n−n2n2+4n+n=4nn1+4n+n=41+4n+1→42=2.\sqrt{n^2+4n}-n=\frac{n^2+4n-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\frac{4n}{n\sqrt{1+\frac4n}+n}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac4n}+1}\to\frac42=2.
Granica: 22

Zadanie 7 (2 pkt)

Zapisz ułamek okresowy 0,(27)0{,}(27) jako sumę szeregu geometrycznego i zamień go na ułamek zwykły.

Odpowiedź: 311\frac{3}{11}

Rozwiązanie

0,(27)=0,27+0,0027+…0{,}(27)=0{,}27+0{,}0027+\ldots, a1=27100a_1=\frac{27}{100}, q=1100q=\frac1{100}.
S=27/10099/100=2799=311S=\frac{27/100}{99/100}=\frac{27}{99}=\frac3{11}.

311\frac{3}{11}

Zadanie 8 (1 pkt)

Szereg geometryczny ma pierwszy wyraz 66 i sumę 99. Jego iloraz jest równy

  1. 13\frac13
  2. 23\frac23
  3. −13-\frac13
  4. 32\frac32

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

1−q=69=23⇒q=131-q=\frac69=\frac23\Rightarrow q=\frac13 (∣q∣<1|q|<1 ✓).

Odpowiedź A

Zadanie 9 (3 pkt)

Wyznacz xx, dla którego suma szeregu geometrycznego 1+(x−1)+(x−1)2+…1+(x-1)+(x-1)^2+\ldots jest równa 44.

Odpowiedź: x=74x=\frac74

Rozwiązanie

a1=1a_1=1, q=x−1q=x-1. Zbieżność: ∣x−1∣<1  ⟺  0<x<2|x-1|<1\iff0<x<2.
11−(x−1)=12−x=4⇒2−x=14⇒x=74∈(0,2)\frac{1}{1-(x-1)}=\frac{1}{2-x}=4\Rightarrow2-x=\frac14\Rightarrow x=\frac74\in(0,2) ✓.

x=74x=\frac74

Zadanie 10 (2 pkt)

Oblicz granicę lim⁡n→∞1+2+3+…+nn2\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}.

Odpowiedź: 12\frac12

Rozwiązanie

n(n+1)2n2=n2+n2n2=1+1n2→12\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{1+\frac1n}{2}\to\frac12.

Granica: 12\frac12

Inne tematy: Ciąg geometryczny i procent składany