Ciąg arytmetyczny: teoria i zadania maturalne

Ciąg, w którym zawsze dodajemy tę samą liczbę: różnica $r$ , wzór na $n$ -ty wyraz, suma $n$ wyrazów, warunek na trzy kolejne wyrazy i zadania tekstowe.

Teoria

Definicja

Ciąg jest arytmetyczny, gdy każdy wyraz (od drugiego) powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ : różnicy ciągu:

a_{n+1}=a_n+r,\qquad r=a_{n+1}-a_n.

Przykład: znajdź różnicę ciągu

$3,7,11,15,\dots$ : co krok dodajemy $4$ , więc $r=4$ .
$10,7,4,1,\dots$ : co krok odejmujemy $3$ , więc $r=-3$ .

Punkty ciągu arytmetycznego leżą na jednej prostej: ciąg arytmetyczny to „funkcja liniowa na liczbach naturalnych”, a r to jej współczynnik kierunkowy.

Wzór na $n$ -ty wyraz

a_n=a_1+(n-1)r

Ogólniej: $a_n=a_k+(n-k)r$ : np. $a_{10}=a_3+7r$ .

Przykład:

a_1=5

r=3

. Oblicz

a_{20}

Odczytujemy: $a_1=5$ , $r=3$ , $n=20$ .
$a_{20}=a_1+(20-1)r=5+19\cdot3=62$

a_{20}=62

Dwa wyrazy: od razu

r

Znasz $a_3=7$ i $a_7=19$ ? Między nimi są $4$ „kroki”:
$4r=19-7=12\ \Rightarrow\ r=3$
Cofamy się o dwa kroki: $a_1=a_3-2r=7-6=1$ .

Monotoniczność

$r>0$ : rosnący, $r<0$ : malejący, $r=0$ : stały.

Przykład:

a_n=7-2n

Różnica: $r=a_{n+1}-a_n=7-2(n+1)-(7-2n)=-2$ .

r=-2<0

, więc ciąg jest malejący

Suma $n$ początkowych wyrazów

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$

Przykład: suma

20

początkowych wyrazów, gdy

a_1=5

r=3

Najpierw ostatni wyraz: $a_{20}=5+19\cdot3=62$ .
$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot20=\frac{5+62}{2}\cdot20=670$

S_{20}=670

Skąd ten wzór (pomysł Gaussa)

Dodaj $1+2+\ldots+100$ „od przodu” i „od tyłu”: pary $1+100$ , $2+99$ , …: każda daje $101$ , a par jest $100$ . Dwie sumy to $100\cdot101$ , więc jedna to $\frac{101\cdot100}{2}=5050$ . Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów!

Trzy kolejne wyrazy

Liczby $a,b,c$ (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny $\iff 2b=a+c$ : środkowa jest średnią arytmetyczną sąsiednich.

Przykład: dla jakiego

x

liczby

3,\ x,\ 11

tworzą ciąg arytmetyczny?

Środkowa to średnia sąsiednich: $2x=3+11$ .

x=7

Na maturze

Zawsze jest kilka zadań: wyraz z danych, różnica, suma, warunek $2b=a+c$ z niewiadomą, zadanie tekstowe (oszczędności, treningi, rzędy krzeseł). Wzory są w tablicach CKE: trzeba umieć je dobrać.

Wzory

Różnica ciągu

r=a_{n+1}-a_n

Stała różnica kolejnych wyrazów.

n-ty wyraz

a_n=a_1+(n-1)r

Wyraz o dowolnym numerze bez liczenia wszystkich poprzednich.

Związek dwóch wyrazów

a_n=a_k+(n-k)r

Przydatne, gdy znasz wyraz inny niż pierwszy.

Suma n wyrazów

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.

Suma (wersja z r)

S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n

Gdy nie znasz $a_n$ , ale znasz $r$ .

Warunek na trzy wyrazy

2b=a+c

$a,b,c$ : kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

W ciągu arytmetycznym $a_2+a_5=20$ i $a_4=11$ . Wyznacz $a_1$ , $r$ oraz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.

Zapisujemy przez $a_1$ i $r$ :

\begin{cases}(a_1+r)+(a_1+4r)=20\\a_1+3r=11\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a_1+5r=20\\a_1=11-3r\end{cases}

$22-6r+5r=20\Rightarrow r=2$ , $a_1=5$ .
$S_{10}=\frac{2\cdot5+9\cdot2}{2}\cdot10=\frac{28}{2}\cdot10=140$ .

a_1=5

r=2

S_{10}=140

Przykład 2

Ile kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $4,7,10,\dots$ trzeba dodać, aby otrzymać sumę $175$ ?

$a_1=4$ , $r=3$ : $S_n=\frac{8+3(n-1)}{2}\cdot n=\frac{(3n+5)n}{2}$ .
$\frac{(3n+5)n}{2}=175\Rightarrow3n^2+5n-350=0$ .
$\Delta=25+4200=4225=65^2$ , $n=\frac{-5+65}{6}=10$ (ujemne odrzucamy).
Sprawdzenie: $a_{10}=31$ , $S_{10}=\frac{4+31}{2}\cdot10=175$ ✓.

Trzeba dodać

10

wyrazów.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$ . Wyraz $a_{10}$ jest równy

$43$
$40$
$39$
$36$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$a_{10}=3+9\cdot4=39$ . (Odpowiedź A to błąd $a_1+nr$ .)

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

W ciągu arytmetycznym $a_3=7$ i $a_7=19$ . Różnica tego ciągu jest równa

$3$
$4$
$12$
$\frac{12}{7}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

W ciągu arytmetycznym każdy krok dodaje różnicę $r$ . Od $a_3$ do $a_7$ są $4$ kroki ( $7-3=4$ ), więc

a_7=a_3+4r,\qquad 19=7+4r,\qquad 4r=12,\qquad r=3.

Sprawdzenie: $7,\ 10,\ 13,\ 16,\ 19$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Suma dwudziestu początkowych wyrazów ciągu $a_n=2n+1$ jest równa

$420$
$440$
$400$
$820$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$S_{20}=\frac{3+41}{2}\cdot20=22\cdot20=440$ .

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Liczby $x$ , $7$ , $12$ (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem

$x=5$
$x=9{,}5$
$x=2$
$x=3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$2\cdot7=x+12\Rightarrow x=2$ (ciąg $2,7,12$ , $r=5$ ).

Odpowiedź C

Zadanie 5 (1 pkt)

Suma $1+3+5+\ldots+99$ jest równa

$2450$
$4950$
$5050$
$2500$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$n=50$ , $S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot50=2500$ .

Odpowiedź D

Zadanie 6 (1 pkt)

Ciąg $a_n=5-3n$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy

$5$
$-3$
$3$
$2$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Różnica ciągu arytmetycznego to $r=a_{n+1}-a_n$ . Najprościej policzyć dwa pierwsze wyrazy: $a_1=5-3=2$ , $a_2=5-6=-1$ .

r=a_2-a_1=-1-2=-3.

Skrót: we wzorze $a_n=b+rn$ różnica to liczba przy $n$ , tu $-3$ .

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

Liczby $x-1$ , $2x$ , $x+7$ (w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$ i podaj te liczby.

Odpowiedź: $x=3$ ; liczby $2,\ 6,\ 10$

Rozwiązanie

$4x=2x+6\Rightarrow x=3$ . Liczby: $2,6,10$ ( $r=4$ ) ✓.

x=3

;

2,6,10

Zadanie 8 (1 pkt)

Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=-5$ i $r=2$ , jest równa

$16$
$-16$
$8$
$56$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$S_8=\frac{-10+7\cdot2}{2}\cdot8=2\cdot8=16$ .

Odpowiedź A

Zadanie 9 (3 pkt)

Kasia zaczęła trening: pierwszego dnia wykonała $10$ pompek, a każdego kolejnego dnia o $3$ więcej niż poprzedniego. Ile pompek wykona łącznie w ciągu $30$ dni? Którego dnia po raz pierwszy wykona więcej niż $50$ pompek?

Odpowiedź: łącznie $1605$ ; po raz pierwszy więcej niż $50$ : dnia $15$ .

Rozwiązanie

$a_{30}=10+29\cdot3=97$ , $S_{30}=\frac{10+97}{2}\cdot30=107\cdot15=1605$ .
$10+3(n-1)>50\Rightarrow3n>43\Rightarrow n>14\frac13$ , czyli $n=15$ ( $a_{14}=49$ , $a_{15}=52$ ).

1605

pompek; dnia

15

Zadanie 10 (2 pkt)

Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, a najmniejszy kąt ma miarę $30^\circ$ . Wyznacz miary pozostałych kątów.

Odpowiedź: $60^\circ$ i $90^\circ$

Rozwiązanie

$30+(30+r)+(30+2r)=180\Rightarrow90+3r=180\Rightarrow r=30^\circ$ . Kąty: $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .
(Ciekawostka: środkowy kąt w takim trójkącie zawsze ma $60^\circ$ .)

60^\circ

90^\circ

Zadanie 11 (3 pkt)

W sali kinowej w pierwszym rzędzie jest $16$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej niż w poprzednim. Sala ma łącznie $364$ miejsca. Ile jest rzędów i ile miejsc jest w ostatnim rzędzie?

Odpowiedź: $13$ rzędów; w ostatnim $40$ miejsc

Rozwiązanie

$a_1=16$ , $r=2$ : $S_n=\frac{32+2(n-1)}{2}\cdot n=(n+15)\cdot n$ .
$(n+15)n=364\Rightarrow n^2+15n-364=0$ , $\Delta=225+1456=1681=41^2$ , $n=\frac{-15+41}{2}=13$ (ujemne odrzucamy).
Ostatni rząd: $a_{13}=16+12\cdot2=40$ . Sprawdzenie: $\frac{16+40}{2}\cdot13=28\cdot13=364$ ✓.

13

rzędów, w ostatnim

40

miejsc.

Inne tematy: Ciągi: pojęcia podstawowe · Ciąg geometryczny i procent składany

Ciąg arytmetyczny: teoria i zadania maturalne

Teoria

Definicja

Wzór na nnn-ty wyraz

Monotoniczność

Suma nnn początkowych wyrazów

Trzy kolejne wyrazy

Wzory

Różnica ciągu

n-ty wyraz

Związek dwóch wyrazów

Suma n wyrazów

Suma (wersja z r)

Warunek na trzy wyrazy

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (1 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (1 pkt)

Zadanie 9 (3 pkt)

Zadanie 10 (2 pkt)

Zadanie 11 (3 pkt)

Wzór na $n$ -ty wyraz

Suma $n$ początkowych wyrazów