Ciągi: pojęcia podstawowe: teoria i zadania maturalne

Czym jest ciąg, jak liczyć wyrazy ze wzoru ogólnego i rekurencyjnego, ile wyrazów spełnia warunek oraz jak zbadać, czy ciąg jest rosnący czy malejący.

Teoria

Czym jest ciąg

Ciąg liczbowy to funkcja określona na liczbach naturalnych dodatnich: każdemu numerowi $n=1,2,3,\dots$ przypisujemy liczbę $a_n$ : $n$ -ty wyraz ciągu. Zapisujemy $(a_n)$ .

Ciąg jako „ponumerowana lista”

$a_1$ : pierwsza liczba na liście, $a_2$ : druga itd. Numer $n$ zawsze jest naturalny dodatni, więc ciąg nie ma „wyrazu numer $2{,}5$ ” ani „numer $-1$ ”. To ważne przy rozwiązywaniu równań: odrzucasz rozwiązania, które nie są naturalne dodatnie.

Wykres ciągu to oddzielne punkty (n, aₙ): nie łączymy ich linią (przerywana krzywa tylko dla orientacji).

Wzór ogólny

Pozwala obliczyć dowolny wyraz od razu: $a_n=n^2-3n$ , więc $a_5=25-15=10$ . Wyraz $a_{n+1}$ otrzymujemy, wstawiając $n+1$ w miejsce $n$ : $a_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)=n^2-n-2$ .

Wzór rekurencyjny

Podaje pierwszy wyraz i przepis na kolejny wyraz z poprzedniego: $a_1=2$ , $a_{n+1}=3a_n-1$ . Liczymy po kolei: $a_2=5$ , $a_3=14$ , $a_4=41$ .

Typowe pytania

Który wyraz jest równy $k$ ? Rozwiąż $a_n=k$ i zostaw tylko $n\in\mathbb{N}_+$ .
Ile wyrazów jest dodatnich/ujemnych? Rozwiąż nierówność względem $n$ i policz liczby naturalne dodatnie w zbiorze rozwiązań.

Ile wyrazów dodatnich

$a_n=20-3n>0\iff n<\frac{20}{3}=6\frac23$ . Naturalne dodatnie: $n=1,\dots,6$ : sześć wyrazów dodatnich.

Monotoniczność

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ dla każdego $n\ge1$ :

$a_{n+1}-a_n>0$ : ciąg rosnący,
$a_{n+1}-a_n<0$ : ciąg malejący,
$a_{n+1}-a_n=0$ : ciąg stały.

Jeśli znak różnicy zależy od $n$ : ciąg nie jest monotoniczny (np. $a_n=(-1)^n$ ).

Wyrazy jako punkty

(n,a_n)

: ciąg rosnący

a_n=\frac n2

, malejący

a_n=4-\frac{2n}{5}

i niemonotoniczny

a_n=\frac32\cdot(-1)^n

Szybkie rozpoznanie

$a_n=3n-7$ : liniowy względem $n$ ze współczynnikiem $3>0$ : rosnący. $a_n=(-1)^n\cdot n$ : znaki się przeplatają: niemonotoniczny. Na maturze i tak pokaż różnicę $a_{n+1}-a_n$ .

Na maturze

Zadania zamknięte: obliczanie wyrazu, wyraz rekurencyjny, liczba wyrazów dodatnich. Otwarte: „który wyraz jest równy…”, zbadanie monotoniczności.

Wzory

Wyraz o numerze n

a_n=f(n),\quad n\in\mathbb{N}_+

Wstawiamy numer wyrazu do wzoru ogólnego.

Wyraz następny

a_{n+1}:\ n\to n+1

W miejsce każdego $n$ wstawiamy $(n+1)$ : w nawiasie!

Wzór rekurencyjny

a_1=c,\quad a_{n+1}=g(a_n)

Kolejne wyrazy liczymy z poprzednich, po kolei.

Monotoniczność

a_{n+1}-a_n>0\ \Rightarrow\ \text{rosnący}

Znak różnicy kolejnych wyrazów decyduje o monotoniczności (dla każdego $n$ ).

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Który wyraz ciągu $a_n=n^2-4n-5$ jest równy $7$ ?

$n^2-4n-5=7\Rightarrow n^2-4n-12=0\Rightarrow(n-6)(n+2)=0$ .
$n=-2$ odrzucamy (numer wyrazu musi być naturalny dodatni).
Sprawdzenie: $a_6=36-24-5=7$ ✓.

Wyrazy

a_n=n^2-4n-5

jako punkty

(n,a_n)

: wartość

7

ma tylko szósty wyraz.

Szósty wyraz:

a_6=7

Przykład 2

Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{2n+1}{n+1}$ .

$a_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)+1}=\frac{2n+3}{n+2}$ .

a_{n+1}-a_n=\frac{(2n+3)(n+1)-(2n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{2n^2+5n+3-(2n^2+5n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.

Dla $n\ge1$ mianownik jest dodatni, więc różnica jest dodatnia.

Wyrazy

a_n=\frac{2n+1}{n+1}

rosną:

\frac32,\frac53,\frac74,\dots

i coraz bardziej zbliżają się do

2

, ale jej nie osiągają.

Ciąg jest rosnący.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Dany jest ciąg $a_n=n^2-3n$ . Wyraz $a_5$ jest równy

$10$
$5$
$-10$
$40$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Wyraz $a_5$ to wartość wzoru dla $n=5$ . Podstawiamy:

a_5=5^2-3\cdot5=25-15=10.

Odpowiedź A

Zadanie 2 (1 pkt)

Trzeci wyraz ciągu $a_n=(-1)^n(2n+1)$ jest równy

$7$
$-5$
$-7$
$5$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Wstawiamy $n=3$ :

a_3=(-1)^3\cdot(2\cdot3+1)=(-1)\cdot7=-7.

$(-1)$ do potęgi nieparzystej daje $-1$ , do parzystej $1$ . Dlatego wyrazy tego ciągu zmieniają znak.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Liczba wyrazów dodatnich ciągu $a_n=20-3n$ jest równa

$5$
$6$
$7$
$20$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$20-3n>0\Rightarrow n<6\frac23$ : $n\in\{1,\dots,6\}$ . ( $a_6=2>0$ , $a_7=-1<0$ .)

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Ciąg określony jest rekurencyjnie: $a_1=2$ , $a_{n+1}=3a_n-1$ . Wyraz $a_3$ jest równy

$5$
$17$
$8$
$14$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Wzór rekurencyjny mówi, jak z wyrazu policzyć następny: pomnóż przez $3$ i odejmij $1$ . Idziemy krok po kroku od $a_1$ :

a_2=3a_1-1=3\cdot2-1=5,

a_3=3a_2-1=3\cdot5-1=14.

Pułapka: nie da się od razu wstawić $n=3$ , trzeba najpierw policzyć $a_2$ .

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Ciąg $a_n=5-2n$ jest

rosnący
malejący
stały
niemonotoniczny

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Wypiszmy kilka wyrazów: $a_1=3$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$ . Każdy jest o $2$ mniejszy od poprzedniego.

Ogólnie: $a_{n+1}-a_n=(5-2(n+1))-(5-2n)=-2<0$ . Różnica jest zawsze ujemna, więc ciąg maleje.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)

Dla ciągu $a_n=n^2+1$ wyraz $a_{n+1}$ jest równy

$n^2+2$
$n^2+2n+2$
$n^2+2n+1$
$(n^2+1)+1$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Wyraz $a_{n+1}$ dostajemy, wstawiając do wzoru $n+1$ w miejsce $n$ :

a_{n+1}=(n+1)^2+1.

Rozwijamy kwadrat: $(n+1)^2=n^2+2n+1$ , więc

a_{n+1}=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2.

Pułapka: $a_{n+1}$ to nie $a_n+1$ .

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

Który wyraz ciągu $a_n=n^2-2n-1$ jest równy $14$ ?

Odpowiedź: $a_5=14$

Rozwiązanie

$n^2-2n-15=0\Rightarrow(n-5)(n+3)=0$ ; $n=-3$ odrzucamy. $a_5=25-10-1=14$ ✓.

Piąty wyraz.

Zadanie 8 (2 pkt)

Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=3n-7$ .

Odpowiedź: rosnący ( $a_{n+1}-a_n=3>0$ )

Rozwiązanie

$a_{n+1}-a_n=3(n+1)-7-(3n-7)=3>0$ dla każdego $n$ .

Ciąg rosnący.

Zadanie 9 (2 pkt)

Ile wyrazów ciągu $a_n=(n-3)(n-8)$ jest ujemnych?

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie

Parabola ramionami w górę, ujemna między $3$ a $8$ : $n\in\{4,5,6,7\}$ .

Cztery wyrazy ujemne.

Zadanie 10 (3 pkt)

Wykaż, że ciąg $a_n=\dfrac{n}{n+2}$ jest rosnący.

Odpowiedź: $a_{n+1}-a_n=\frac{2}{(n+2)(n+3)}>0$ .

Rozwiązanie

a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^2+3n+2-n^2-3n}{(n+2)(n+3)}=\frac{2}{(n+2)(n+3)}.

Licznik i mianownik są dodatnie dla $n\ge1$ , więc $a_{n+1}>a_n$ : ciąg rosnący. ∎

Inne tematy: Ciąg arytmetyczny