Kąty w bryłach, przekroje i bryły podobne: teoria i zadania maturalne

Kąt nachylenia krawędzi, przekątnej i tworzącej do podstawy, kąt między ścianą a podstawą, przekroje brył płaszczyzną oraz stosunek objętości brył podobnych.

Teoria

Kąt między prostą a płaszczyzną

To kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Praktycznie: znajdź trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną jest wysokość (prostopadła do podstawy), a drugą przyprostokątną: rzut odcinka na podstawę.

przekątna prostopadłościanu a podstawa: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}$ ( $d_p$ : przekątna podstawy),
krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego a podstawa: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{R}$ ( $R$ : odległość środka podstawy od wierzchołka),
tworząca stożka a podstawa: $\cos\alpha=\frac rl$ .

Kąt między ścianą boczną a podstawą

Kąt dwuścienny mierzymy w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi wspólnej. W ostrosłupie prawidłowym: trójkąt z $H$ , odległością środka podstawy od boku ( $r$ ) i wysokością ściany bocznej $h$ : $\operatorname{tg}\beta=\frac Hr$ .

α: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy (zielony trójkąt), β: kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy (różowy trójkąt).

Pomylenie kątów

Kąt krawędzi bocznej z podstawą liczymy z odległością do wierzchołka podstawy; kąt ściany bocznej: z odległością do środka boku podstawy. To dwa różne trójkąty!

Przekroje

Przekrój bryły płaszczyzną to wielokąt, którego boki leżą na ścianach bryły. Typowe: przekrój przekątny sześcianu (prostokąt $a\times a\sqrt2$ ), przekrój ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy (figura podobna do podstawy), przekrój walca płaszczyzną równoległą do osi (prostokąt).

Bryły podobne

Jeśli bryły są podobne w skali $k$ , to: długości $\times k$ , pola $\times k^2$ , objętości $\times k^3$ .

Na maturze

W zadaniach otwartych ze stereometrii prawie zawsze pojawia się kąt: najpierw zaznacz go na rysunku i nazwij trójkąt prostokątny, potem użyj trygonometrii. Punkt bywa przyznawany za samo poprawne zaznaczenie kąta.

Wzory

Kąt przekątnej prostopadłościanu

\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}

$d_p$ : przekątna podstawy.

Kąt krawędzi bocznej ostrosłupa

\operatorname{tg}\alpha=\frac HR

$R$ : odległość spodka wysokości od wierzchołka podstawy.

Kąt ściany bocznej z podstawą

\operatorname{tg}\beta=\frac Hr

$r$ : odległość spodka wysokości od boku podstawy.

Kąt tworzącej stożka

\cos\alpha=\frac rl,\qquad\sin\alpha=\frac Hl

Kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

Objętości brył podobnych

V'=k^3V

Objętość rośnie z sześcianem skali.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ , a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Odległość środka podstawy od boku: $r=\frac a2=3$ . Trójkąt: $H$ , $r$ , $h$ z kątem $60^\circ$ przy $r$ :

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy leży w trójkącie z wysokością

H

, odcinkiem

r=3

(od środka podstawy do środka krawędzi) i wysokością ściany

h

\operatorname{tg}60^\circ=\frac H3

$\operatorname{tg}60^\circ=\frac H3\Rightarrow H=3\sqrt3$ .
$V=\frac13\cdot36\cdot3\sqrt3=36\sqrt3$ .

V=36\sqrt3

Przykład 2

Tworząca stożka ma długość $10$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ . Oblicz objętość stożka.

$H=l\sin30^\circ=5$ , $r=l\cos30^\circ=5\sqrt3$ .
$V=\frac13\pi(5\sqrt3)^2\cdot5=\frac13\pi\cdot75\cdot5=125\pi$ .

V=125\pi

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Tangens kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy jest równy

$1$
$\sqrt2$
$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{\sqrt3}{3}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$ , a krawędź podstawy ma długość $4\sqrt2$ . Wysokość ostrosłupa jest równa

$4\sqrt3$
$4$
$8$
$2\sqrt6$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$R=\frac{4\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=4$ ; $H=4\operatorname{tg}60^\circ=4\sqrt3$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach $3\times4\times5$ tworzy z płaszczyzną podstawy $3\times4$ kąt

$30^\circ$
$60^\circ$
$45^\circ$
$90^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\operatorname{tg}\alpha=\frac55=1\Rightarrow\alpha=45^\circ$ .

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Dwie kule są podobne w skali $2$ . Objętość większej kuli jest większa od objętości mniejszej

$2$ razy
$4$ razy
$6$ razy
$8$ razy

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

W bryłach podobnych w skali $k$ długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy.

Tu $k=2$ :

k^3=2^3=8.

Pułapka: $4$ razy rośnie pole powierzchni, a nie objętość.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (2 pkt)

Oblicz pole przekroju sześcianu o krawędzi $6$ płaszczyzną przechodzącą przez dwie przeciwległe krawędzie (nienależące do jednej ściany).

Odpowiedź: $36\sqrt2$

Rozwiązanie

Przekrój jest prostokątem o bokach $6$ i $6\sqrt2$ : $P=36\sqrt2$ .

36\sqrt2

Zadanie 6 (2 pkt)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i ścianę boczną nachyloną do podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz pole powierzchni bocznej.

Odpowiedź: $72$

Rozwiązanie

$r=3$ , $h=\frac{r}{\cos60^\circ}=6$ ; $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot6=72$ .

72

Zadanie 7 (4 pkt)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $6$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Odpowiedź: $V=\frac{81\sqrt3}{4}$

Rozwiązanie

$H=6\sin30^\circ=3$ , $R=6\cos30^\circ=3\sqrt3$ . $\frac{a\sqrt3}{3}=3\sqrt3\Rightarrow a=9$ .
$P_p=\frac{81\sqrt3}{4}$ , $V=\frac13\cdot\frac{81\sqrt3}{4}\cdot3=\frac{81\sqrt3}{4}$ .

V=\frac{81\sqrt3}{4}

Zadanie 8 (1 pkt)

Cosinus kąta nachylenia ściany bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy jest równy

$\frac12$
$\frac13$
$\frac{\sqrt3}{3}$
$\frac{\sqrt2}{2}$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\cos\beta=\frac{a\sqrt3/6}{a\sqrt3/2}=\frac13$ .

Odpowiedź B

Zadanie 9 (4 pkt)

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku $4$ . Przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt2$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Odpowiedź: $V=128$ , $P_c=160$

Rozwiązanie

$d_p=4\sqrt2$ , $H=d_p\operatorname{tg}\alpha=8$ . $V=16\cdot8=128$ ; $P_c=2\cdot16+4\cdot4\cdot8=160$ .

V=128

P_c=160

Zadanie 10 (2 pkt)

Stożek ma tworzącą długości $8$ nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz pole podstawy i wysokość stożka.

Odpowiedź: $P_p=16\pi$ , $H=4\sqrt3$

Rozwiązanie

$r=8\cos60^\circ=4$ , $H=8\sin60^\circ=4\sqrt3$ , $P_p=16\pi$ .

P_p=16\pi

H=4\sqrt3

Inne tematy: Walec, stożek i kula