Walec, stożek i kula: teoria i zadania maturalne

Bryły powstające przez obrót figur: walec, stożek i kula: przekroje osiowe, tworząca, pola i objętości, rozwinięcie powierzchni bocznej stożka oraz bryły wpisane i opisane.

Teoria

Walec, stożek, kula

bryła	objętość	pole powierzchni
walec	$V=\pi r^2H$	$P_c=2\pi r^2+2\pi rH$
stożek	$V=\frac13\pi r^2H$	$P_c=\pi r^2+\pi rl$
kula	$V=\frac43\pi r^3$	$P=4\pi r^2$

W stożku tworząca $l$ , promień $r$ i wysokość $H$ tworzą trójkąt prostokątny: $l^2=r^2+H^2$ .

Przekrój osiowy

Przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu:

walca: prostokąt $2r\times H$ (kwadrat, gdy $H=2r$ : „walec równoboczny”),
stożka: trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ , ramionach $l$ i wysokości $H$ (równoboczny: $l=2r$ ),

Przekrój osiowy stożka (płaszczyzną przez oś) to trójkąt równoramienny o podstawie

2r

, ramionach

l

i wysokości

H

kuli: koło wielkie o promieniu $r$ .

Bryły z obrotu

prostokąt obracany wokół boku: walec (bok osi = wysokość, drugi bok = promień),
trójkąt prostokątny obracany wokół przyprostokątnej: stożek (ta przyprostokątna = wysokość),
półkole wokół średnicy: kula.

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka

To wycinek koła o promieniu $l$ . Długość jego łuku = obwód podstawy: $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l=2\pi r$ , czyli $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$ .

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu to wycinek koła o promieniu

l

; jego łuk ma długość obwodu podstawy

2\pi r

, stąd

\alpha=\frac rl\cdot360^\circ

Kula w walcu: odkrycie Archimedesa

Kula wpisana w walec (o wysokości $2r$ ) ma objętość równą $\frac23$ objętości walca: $\frac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac23$ . Archimedes był z tego tak dumny, że poprosił o wyrycie tego rysunku na swoim nagrobku.

Na maturze

Zamknięte: objętość/pole z wymiarów, przekrój osiowy, obrót figury. Otwarte: stożek z przekroju osiowego lub z kąta rozwarcia, rozwinięcie powierzchni bocznej, bryły wpisane.

Wzory

Walec

V=\pi r^2H,\qquad P_c=2\pi r^2+2\pi rH

Pole boczne to prostokąt $2\pi r\times H$ .

Stożek

V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_c=\pi r^2+\pi rl

$l$ : tworząca, $l^2=r^2+H^2$ .

Kula

V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2

Objętość i pole sfery.

Tworząca stożka

l^2=r^2+H^2

Twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym.

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka

\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ

Kąt wycinka koła o promieniu $l$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku $6$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.

Podstawa trójkąta to średnica: $r=3$ ; ramię to tworząca: $l=6$ ; wysokość trójkąta równobocznego: $H=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$ .
$V=\frac13\pi\cdot9\cdot3\sqrt3=9\sqrt3\,\pi$ . $\ P_c=9\pi+\pi\cdot3\cdot6=27\pi$ .

V=9\sqrt3\pi

P_c=27\pi

Przykład 2

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $10$ i kącie środkowym $216^\circ$ . Oblicz objętość stożka.

Promień wycinka to tworząca: $l=10$ . Łuk wycinka $=\frac{216}{360}\cdot2\pi\cdot10=12\pi$ jest obwodem podstawy: $2\pi r=12\pi\Rightarrow r=6$ .
$H=\sqrt{100-36}=8$ , $V=\frac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$ .

V=96\pi

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Objętość walca o promieniu podstawy $3$ i wysokości $5$ jest równa

$15\pi$
$30\pi$
$45\pi$
$75\pi$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Objętość walca to pole podstawy (koła) razy wysokość: $V=\pi r^2\cdot H$ .

V=\pi\cdot3^2\cdot5=\pi\cdot9\cdot5=45\pi.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Stożek ma promień podstawy $3$ i wysokość $4$ . Pole jego powierzchni bocznej jest równe

$12\pi$
$15\pi$
$24\pi$
$9\pi$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Pole boczne stożka: $P_b=\pi r l$ , gdzie $l$ to tworząca. Tworzącą liczymy z Pitagorasa (promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny):

l=\sqrt{3^2+4^2}=5.

P_b=\pi\cdot3\cdot5=15\pi.

Pułapka: we wzorze jest tworząca $l$ , a nie wysokość.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Objętość kuli o promieniu $3$ jest równa

$36\pi$
$12\pi$
$108\pi$
$27\pi$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Objętość kuli: $V=\frac43\pi r^3$ .

V=\frac43\pi\cdot3^3=\frac43\pi\cdot27=36\pi.

(Najpierw $27:3=9$ , potem $9\cdot4=36$ .)

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku $4$ . Objętość walca jest równa

$64\pi$
$8\pi$
$32\pi$
$16\pi$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach: średnica podstawy i wysokość. Tu to kwadrat o boku $4$ , więc $2r=4$ i $H=4$ , czyli $r=2$ .

V=\pi r^2H=\pi\cdot2^2\cdot4=16\pi.

Pułapka: bok kwadratu to średnica, a nie promień.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Obwód podstawy walca jest równy $8\pi$ , a wysokość $3$ . Pole powierzchni bocznej walca jest równe

$24\pi$
$48\pi$
$12\pi$
$16\pi$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem: jeden bok to obwód podstawy, drugi to wysokość.

P_b=8\pi\cdot3=24\pi.

Odpowiedź A

Zadanie 6 (1 pkt)

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$ obrócono wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość otrzymanego stożka jest równa

$128\pi$
$96\pi$
$288\pi$
$48\pi$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej ( $8$ ), więc ona staje się wysokością stożka, a krótsza ( $6$ ) promieniem podstawy.

V=\frac13\pi r^2H=\frac13\pi\cdot6^2\cdot8=\frac13\pi\cdot288=96\pi.

Pułapka: przy obrocie wokół krótszej przyprostokątnej wyszłoby $128\pi$ .

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

Objętość kuli jest równa $288\pi$ . Oblicz pole powierzchni tej kuli.

Odpowiedź: $144\pi$

Rozwiązanie

$\frac43r^3=288\Rightarrow r^3=216\Rightarrow r=6$ ; $P=4\pi\cdot36=144\pi$ .

144\pi

Zadanie 8 (2 pkt)

Prostokąt o wymiarach $3\times5$ obracamy raz wokół dłuższego, a raz wokół krótszego boku. Oblicz objętości obu otrzymanych walców.

Odpowiedź: wokół dłuższego: $45\pi$ ; wokół krótszego: $75\pi$

Rozwiązanie

Wokół boku $5$ : $V=\pi\cdot9\cdot5=45\pi$ . Wokół boku $3$ : $V=\pi\cdot25\cdot3=75\pi$ .

45\pi

75\pi

Zadanie 9 (2 pkt)

Tworząca stożka ma długość $13$ , a promień podstawy $5$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.

Odpowiedź: $V=100\pi$ , $P_c=90\pi$

Rozwiązanie

$H=\sqrt{169-25}=12$ ; $V=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi$ ; $P_c=25\pi+65\pi=90\pi$ .

V=100\pi

P_c=90\pi

Zadanie 10 (2 pkt)

W walec wpisano kulę (kula jest styczna do obu podstaw i powierzchni bocznej). Oblicz stosunek objętości kuli do objętości walca.

Odpowiedź: $\frac23$

Rozwiązanie

$V_k=\frac43\pi r^3$ , $V_w=2\pi r^3$ , $\frac{V_k}{V_w}=\frac{4/3}{2}=\frac23$ .

\frac23

Inne tematy: Ostrosłupy · Kąty w bryłach, przekroje i bryły podobne