Ostrosłupy: teoria i zadania maturalne

Objętość ostrosłupa, ostrosłupy prawidłowe (trójkątny, czworokątny, sześciokątny), trójkąty prostokątne „ukryte” w ostrosłupie, czworościan foremny.

Teoria

Ostrosłup

Bryła, której podstawą jest wielokąt, a ścianami bocznymi: trójkąty o wspólnym wierzchołku $S$ . Prawidłowy: podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości to środek podstawy (wszystkie krawędzie boczne równe).

Dla ostrosłupa $n$ -kątnego: $n+1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi, $n+1$ ścian.

Przykład: ostrosłup pięciokątny

Podstawa ma $n=5$ kątów.
Wierzchołki: $5+1=6$ . Krawędzie: $2\cdot5=10$ . Ściany: $5+1=6$ .

V=\frac13P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b.

Trójkąty prostokątne w ostrosłupie prawidłowym

Ostrosłup prawidłowy czworokątny: wysokość H, wysokość ściany bocznej h, połowa boku a/2 tworzą trójkąt prostokątny.

Kluczowe trzy trójkąty (dla czworokątnego o boku $a$ , krawędzi bocznej $b$ ):

$H$ , $\ \frac a2$ (odległość środka od boku), $\ h$ (wysokość ściany bocznej): $\ h^2=H^2+\left(\frac a2\right)^2$ ,
$H$ , $\ \frac{a\sqrt2}{2}$ (połowa przekątnej), $\ b$ : $\ b^2=H^2+\frac{a^2}{2}$ ,
$h$ , $\ \frac a2$ , $\ b$ (połowa ściany bocznej): $\ b^2=h^2+\left(\frac a2\right)^2$ .

Przykład: ostrosłup prawidłowy czworokątny,

a=6

H=4

Objętość: $V=\frac13\cdot6^2\cdot4=48$ .
Wysokość ściany bocznej z trójkąta $H$ , $\frac a2$ , $h$ : $h=\sqrt{4^2+3^2}=5$ .
Ściany boczne to $4$ trójkąty o podstawie $6$ i wysokości $5$ : $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60$ .

P_c=36+60=96

V=48

P_c=96

Odległości od środka podstawy

kwadrat: do boku $\frac a2$ , do wierzchołka $\frac{a\sqrt2}{2}$ ,
trójkąt równoboczny: do boku $r=\frac{a\sqrt3}{6}$ , do wierzchołka $R=\frac{a\sqrt3}{3}$ ,
sześciokąt foremny: do boku $\frac{a\sqrt3}{2}$ , do wierzchołka $a$ .

Czworościan foremny

Wszystkie $4$ ściany to trójkąty równoboczne o boku $a$ :

H=\frac{a\sqrt6}{3},\qquad V=\frac{a^3\sqrt2}{12},\qquad P_c=a^2\sqrt3.

Przykład: czworościan foremny o krawędzi

a=6

H=\frac{6\sqrt6}{3}=2\sqrt6,\qquad V=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2,\qquad P_c=36\sqrt3

Dlaczego

\frac13

Sześcian można podzielić na $3$ jednakowe ostrosłupy o wspólnym wierzchołku. Każdy ma tę samą podstawę i wysokość co sześcian, a objętość $\frac13$ sześcianu.

Na maturze

Zadanie otwarte z ostrosłupem prawidłowym (4–5 pkt) jest bardzo częste: narysuj bryłę, zaznacz odpowiedni trójkąt prostokątny, policz brakujące odcinki (Pitagoras/trygonometria), a potem objętość lub pole.

Wzory

Objętość ostrosłupa

V=\frac13P_p\cdot H

Jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Wysokość ściany bocznej (czworokątny)

h^2=H^2+\left(\frac a2\right)^2

Trójkąt: wysokość bryły, połowa boku, wysokość ściany.

Krawędź boczna (czworokątny)

b^2=H^2+\frac{a^2}{2}

Trójkąt: wysokość, połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna.

Pole powierzchni bocznej (prawidłowy)

P_b=n\cdot\frac12a\cdot h

$n$ jednakowych trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $h$ .

Czworościan foremny

H=\frac{a\sqrt6}{3},\qquad V=\frac{a^3\sqrt2}{12}

Wszystkie krawędzie równe $a$ .

Liczba krawędzi i ścian

2n\ \text{krawędzi},\ n+1\ \text{wierzchołków i ścian}

Dla ostrosłupa o podstawie $n$ -kątnej.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i krawędź boczną $5$ . Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

Wysokość: połowa przekątnej podstawy $\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$ ; $H=\sqrt{25-18}=\sqrt7$ .

Ostrosłup prawidłowy czworokątny: wysokość

H

, wysokość ściany bocznej

h

i odcinek

3

(połowa krawędzi podstawy) tworzą trójkąt prostokątny.

$V=\frac13\cdot36\cdot\sqrt7=12\sqrt7$ .
Wysokość ściany bocznej: $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ . $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot4=48$ , $P_c=36+48=84$ .

V=12\sqrt7

P_c=84

Przykład 2

Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi $6$ .

$V=\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$ .
(Krok po kroku: $P_p=9\sqrt3$ , $R=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$ , $H=\sqrt{36-12}=2\sqrt6$ , $V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=6\sqrt{18}=18\sqrt2$ .)

V=18\sqrt2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Ostrosłup ma pole podstawy $12$ i wysokość $5$ . Jego objętość jest równa

$60$
$30$
$20$
$17$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Objętość ostrosłupa to trzecia część iloczynu pola podstawy i wysokości:

V=\frac13\cdot P_p\cdot H=\frac13\cdot12\cdot5=20.

Pułapka: bez $\frac13$ wyszłoby $60$ , czyli objętość graniastosłupa.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$ . Wysokość jego ściany bocznej jest równa

$5$
$\sqrt{34}$
$\sqrt{52}$
$7$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i odcinek od środka podstawy do środka jej krawędzi tworzą trójkąt prostokątny.

Ten odcinek to połowa krawędzi podstawy: $\frac62=3$ . Z Pitagorasa:

h_b=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Liczba krawędzi ostrosłupa ośmiokątnego jest równa

$9$
$24$
$12$
$16$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Ostrosłup $n$ -kątny ma $n$ krawędzi w podstawie i $n$ krawędzi bocznych (od każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa), razem $2n$ .

Tu $n=8$ :

8+8=16.

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy i równe wysokości. Stosunek objętości ostrosłupa do objętości graniastosłupa jest równy

$1:2$
$1:3$
$2:3$
$3:1$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Objętość graniastosłupa: $V_g=P_p\cdot H$ . Objętość ostrosłupa o tej samej podstawie i wysokości: $V_o=\frac13P_p\cdot H$ .

\frac{V_o}{V_g}=\frac{\frac13P_pH}{P_pH}=\frac13.

Czyli ostrosłup mieści dokładnie trzecią część graniastosłupa.

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $2\sqrt3$ . Jego objętość jest równa

$54$
$6\sqrt3$
$18$
$36$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt3=\frac13\cdot54=18$ .

Odpowiedź C

Zadanie 6 (2 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $48$ , a krawędź podstawy ma długość $6$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Odpowiedź: $96$

Rozwiązanie

$H=\frac{3V}{a^2}=4$ ; $h=\sqrt{16+9}=5$ ; $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60$ ; $P_c=36+60=96$ .

96

Zadanie 7 (2 pkt)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$ . Oblicz wysokość ściany bocznej.

Odpowiedź: $\sqrt{19}$

Rozwiązanie

$r=\frac{6\sqrt3}6=\sqrt3$ ; $h=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$ .

h=\sqrt{19}

Zadanie 8 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o krawędzi $2$ jest równe

$4\sqrt3$
$\sqrt3$
$8$
$16\sqrt3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Czworościan foremny ma $4$ ściany, każda to trójkąt równoboczny o boku $2$ .

Pole jednej ściany: $\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3$ .

P_c=4\cdot\sqrt3=4\sqrt3.

Odpowiedź A

Zadanie 9 (4 pkt)

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $4$ i krawędź boczną $5$ . Oblicz jego objętość.

Odpowiedź: $24\sqrt3$

Rozwiązanie

Odległość środka podstawy od wierzchołka: $4$ , więc $H=\sqrt{25-16}=3$ .
$P_p=\frac{3\cdot16\sqrt3}{2}=24\sqrt3$ ; $V=\frac13\cdot24\sqrt3\cdot3=24\sqrt3$ .

V=24\sqrt3

Zadanie 10 (3 pkt)

Oblicz objętość i wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $6$ .

Odpowiedź: $H=2\sqrt6$ , $V=18\sqrt2$

Rozwiązanie

$R=2\sqrt3$ , $H=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt6$ . $P_p=9\sqrt3$ , $V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=6\sqrt{18}=18\sqrt2$ .

H=2\sqrt6

V=18\sqrt2

Inne tematy: Graniastosłupy · Walec, stożek i kula