Graniastosłupy: teoria i zadania maturalne

Sześcian, prostopadłościan i graniastosłupy prawidłowe: przekątne, pole powierzchni i objętość, zamiana jednostek i zadania praktyczne (akwaria, baseny, opakowania).

Teoria

Czym jest graniastosłup

Bryła o dwóch równoległych i przystających podstawach (wielokątach) oraz ścianach bocznych będących równoległobokami. Graniastosłup prosty: krawędzie boczne prostopadłe do podstaw (ściany boczne to prostokąty). Prawidłowy: prosty, a podstawa jest wielokątem foremnym.

Dla graniastosłupa $n$ -kątnego: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n+2$ ściany.

Przykład: graniastosłup sześciokątny

Podstawa ma $n=6$ kątów.
Wierzchołki: $2\cdot6=12$ . Krawędzie: $3\cdot6=18$ . Ściany: $6+2=8$ .

Objętość i pole powierzchni

V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b.

$P_p$ : pole podstawy, $H$ : wysokość, $P_b$ : pole powierzchni bocznej (w graniastosłupie prostym: obwód podstawy $\times H$ ).

Przykład: graniastosłup prawidłowy czworokątny, krawędź podstawy

a=3

, wysokość

H=5

Podstawa to kwadrat: $P_p=3^2=9$ .

V=P_p\cdot H=9\cdot5=45

Ściany boczne to $4$ prostokąty $3\times5$ : $P_b=4\cdot15=60$ .

P_c=2\cdot9+60=78

V=45

P_c=78

Sześcian i prostopadłościan

Sześcian: przekątna ściany a√2 (różowa), przekątna sześcianu a√3 (niebieska).

sześcian o krawędzi $a$ : $V=a^3$ , $P_c=6a^2$ , przekątna ściany $a\sqrt2$ , przekątna sześcianu $a\sqrt3$ ,
prostopadłościan $a\times b\times c$ : $V=abc$ , $P_c=2(ab+bc+ac)$ , przekątna $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .

Przykład: przekątna prostopadłościanu

2\times3\times6

Wstawiamy wszystkie trzy wymiary do wzoru:

d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7

d=7

Skąd

\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Dwa razy Pitagoras: przekątna podstawy $\sqrt{a^2+b^2}$ , a potem trójkąt prostokątny z wysokością $c$ : $d^2=(a^2+b^2)+c^2$ .

Graniastosłupy prawidłowe: podstawy

podstawa	pole podstawy	przydatne
trójkąt równoboczny	$\frac{a^2\sqrt3}{4}$	$h=\frac{a\sqrt3}{2}$
kwadrat	$a^2$	przekątna $a\sqrt2$
sześciokąt foremny	$\frac{3a^2\sqrt3}{2}$	dłuższa przekątna $2a$

Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny,

a=4

H=10

Podstawa to trójkąt równoboczny: $P_p=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3$ .

V=4\sqrt3\cdot10=40\sqrt3

V=40\sqrt3

Jednostki

$1\ \text{dm}^3=1\ \text{l}$ , $\ 1\ \text{m}^3=1000\ \text{l}$ , $\ 1\ \text{cm}^3=1\ \text{ml}$ . Zanim policzysz objętość, sprowadź wszystkie wymiary do tej samej jednostki!

Przykład: ile litrów wody zmieści akwarium

50\ \text{cm}\times30\ \text{cm}\times40\ \text{cm}

V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3

$1000\ \text{cm}^3=1\ \text{dm}^3=1$ litr, więc dzielimy przez $1000$ .

60

litrów

Na maturze

Zamknięte: przekątna, objętość, pole, liczba krawędzi. Otwarte (3–4 pkt): graniastosłup prawidłowy z kątem nachylenia przekątnej lub zadanie praktyczne.

Wzory

Objętość graniastosłupa

V=P_p\cdot H

Pole podstawy razy wysokość.

Pole powierzchni całkowitej

P_c=2P_p+P_b

Dwie podstawy i ściany boczne.

Przekątna sześcianu

d=a\sqrt3

Przekątna ściany: $a\sqrt2$ .

Przekątna prostopadłościanu

d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Dwukrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Powierzchnia boczna (graniastosłup prosty)

P_b=\text{Obw}_p\cdot H

Ściany boczne to prostokąty o wysokości $H$ .

Liczba krawędzi i ścian

3n\ \text{krawędzi},\ 2n\ \text{wierzchołków},\ n+2\ \text{ścian}

Dla graniastosłupa o podstawie $n$ -kątnej.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$ . Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

$P_p=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$ . $V=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3$ .
$P_b=3\cdot6\cdot10=180$ , $P_c=2\cdot9\sqrt3+180=180+18\sqrt3$ .

V=90\sqrt3

P_c=180+18\sqrt3

Przykład 2

Przekątna sześcianu ma długość $6$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

$a\sqrt3=6\Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$ .

Przekątna sześcianu

d

, przekątna podstawy

a\sqrt2

i krawędź

a

tworzą trójkąt prostokątny:

d^2=2a^2+a^2

, więc

d=a\sqrt3

$P_c=6a^2=6\cdot12=72$ , $V=a^3=(2\sqrt3)^3=8\cdot3\sqrt3=24\sqrt3$ .

P_c=72

V=24\sqrt3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Przekątna sześcianu o krawędzi $4$ ma długość

$4\sqrt2$
$4\sqrt3$
$12$
$8$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$d=4\sqrt3$ ( $4\sqrt2$ to przekątna ściany).

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach $3\times4\times12$ ma długość

$19$
$\sqrt{153}$
$13$
$5$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach $a\times b\times c$ to $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (Pitagoras zastosowany dwa razy).

d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Przekątna ściany sześcianu ma długość $6\sqrt2$ . Objętość sześcianu jest równa

$216$
$72$
$432\sqrt2$
$36$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt2$ . Ściana sześcianu to kwadrat, więc

a\sqrt2=6\sqrt2,\qquad a=6.

Objętość sześcianu:

V=a^3=6^3=216.

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $96$ . Objętość tego sześcianu jest równa

$16$
$96$
$48$
$64$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Sześcian ma $6$ jednakowych ścian, każda to kwadrat o polu $a^2$ :

6a^2=96,\qquad a^2=16,\qquad a=4.

Objętość:

V=a^3=4^3=64.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Liczba krawędzi graniastosłupa sześciokątnego jest równa

$12$
$18$
$8$
$24$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Graniastosłup $n$ -kątny ma dwie podstawy po $n$ krawędzi i $n$ krawędzi bocznych, razem $3n$ .

Tu $n=6$ :

6+6+6=3\cdot6=18.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)

Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $50\ \text{cm}\times30\ \text{cm}\times40\ \text{cm}$ . Jego pojemność wynosi

$6$ litrów
$600$ litrów
$60$ litrów
$6000$ litrów

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$60\,000\ \text{cm}^3=60\ \text{dm}^3=60$ l.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt $3\times4$ , a jego przekątna ma długość $13$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Odpowiedź: $V=144$ , $P_c=192$

Rozwiązanie

$H^2=169-25=144\Rightarrow H=12$ . $V=3\cdot4\cdot12=144$ . $P_c=2(12+36+48)=192$ .

V=144

P_c=192

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $2$ i wysokości $5$ .

Odpowiedź: $30\sqrt3$

Rozwiązanie

$P_p=\frac{3\cdot4\sqrt3}{2}=6\sqrt3$ , $V=6\sqrt3\cdot5=30\sqrt3$ .

30\sqrt3

Zadanie 9 (2 pkt)

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $3$ i wysokość $5$ . Oblicz jego objętość, pole powierzchni całkowitej i długość przekątnej.

Odpowiedź: $V=45$ , $P_c=78$ , $d=\sqrt{43}$

Rozwiązanie

$V=9\cdot5=45$ ; $P_c=2\cdot9+60=78$ ; $d=\sqrt{9+9+25}=\sqrt{43}$ .

V=45

P_c=78

d=\sqrt{43}

Zadanie 10 (3 pkt)

Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach dna $25\ \text{m}\times10\ \text{m}$ i głębokości $2$ m. Woda wypełnia go do $90\%$ głębokości. Ile litrów wody jest w basenie? Ile kosztuje pomalowanie dna i ścian, jeśli $1\ \text{m}^2$ kosztuje $40$ zł?

Odpowiedź: $450\,000$ l; $15\,600$ zł

Rozwiązanie

Woda: $25\cdot10\cdot1{,}8=450\ \text{m}^3=450\,000$ l.
Powierzchnia do pomalowania: dno $25\cdot10=250\ \text{m}^2$ , ściany $2(25\cdot2)+2(10\cdot2)=140\ \text{m}^2$ ; razem $390\ \text{m}^2$ .
Koszt: $390\cdot40=15\,600$ zł.

450\,000

l wody; malowanie kosztuje

15\,600

zł.

Inne tematy: Ostrosłupy