Dział 4. Funkcje

Przekształcenia wykresów funkcji: teoria i zadania maturalne

Przesunięcia o wektor, symetrie względem osi i początku układu, a na rozszerzeniu: wykresy ∣f(x)∣|f(x)|, f(∣x∣)f(|x|), k⋅f(x)k\cdot f(x) i f(kx)f(kx) oraz liczba rozwiązań równania z parametrem.

Teoria

Przesunięcie o wektor [a,b][a,b]

g(x)=f(x−a)+bg(x)=f(x-a)+b
Znak w nawiasie

f(x−3)f(x-3) to przesunięcie w prawo o 33, a f(x+3)f(x+3): w lewo o 33. Wektor dla y=(x+1)2−4y=(x+1)^2-4 to [−1,−4][-1,-4].

xy−3−2−112345−2−11234560y = x²y = (x−2)² + 1W(2, 1)
Przesunięcie paraboli y = x² o wektor [2, 1]: wierzchołek z (0, 0) przechodzi do (2, 1).

Przy przesunięciu: dziedzina przesuwa się o aa, zbiór wartości o bb, miejsca zerowe zmieniają się (trzeba je policzyć od nowa), a przedziały monotoniczności przesuwają się o aa.

Symetrie

xy−4−3−2−11234−3−2−11230y = √xy = −√xy = √(−x)
y = √x, jego odbicie względem OX (y = −√x) i względem OY (y = √(−x)).
Punkt po przekształceniu

Jeśli (x0,y0)(x_0,y_0) należy do wykresu ff, to do wykresu f(x−a)+bf(x-a)+b należy (x0+a, y0+b)(x_0+a,\ y_0+b), do −f(x)-f(x): (x0,−y0)(x_0,-y_0), a do f(−x)f(-x): (−x0,y0)(-x_0,y_0).

Wartość bezwzględna i skalowanieR
  • y=∣f(x)∣y=|f(x)|: część wykresu leżącą pod osią OXOX odbijamy symetrycznie nad oś (reszta bez zmian),
  • y=f(∣x∣)y=f(|x|): usuwamy część dla x<0x<0 i zastępujemy ją odbiciem części dla x≥0x\ge0 względem osi OYOY,
  • y=k⋅f(x)y=k\cdot f(x) (k>0k>0): rozciągnięcie w pionie kk razy (dla 0<k<10<k<1: ściśnięcie),
  • y=f(kx)y=f(kx) (k>0k>0): ściśnięcie w poziomie kk razy (dla 0<k<10<k<1: rozciągnięcie).
Liczba rozwiązań równania ∣f(x)∣=m|f(x)|=mR

Rysujemy wykres y=∣f(x)∣y=|f(x)| i poziomą prostą y=my=m; liczba punktów wspólnych to liczba rozwiązań. Dla f(x)=x2−4f(x)=x^2-4:

xy−4−3−2−11234−11234560y = |x² − 4|y = 3
Prosta y = 3 przecina wykres w 4 punktach, więc |x² − 4| = 3 ma 4 rozwiązania.
Na maturze

Podstawa: wektor przesunięcia, wzór funkcji po przesunięciu lub symetrii, zbiór wartości/miejsca zerowe po przekształceniu (zadania zamknięte). Rozszerzenie: szkicowanie ∣f(x)∣|f(x)|, f(∣x∣)f(|x|) i dyskusja liczby rozwiązań w zależności od parametru.

Wzory

Przesunięcie o wektor

y=f(x−a)+b↔v⃗=[a,b]y=f(x-a)+b\quad\leftrightarrow\quad\vec v=[a,b]

Przesunięcie o aa w poziomie i bb w pionie. Uwaga na znak aa!

Symetria względem osi OX

y=−f(x)y=-f(x)

Odbicie „góra–dół”; miejsca zerowe bez zmian.

Symetria względem osi OY

y=f(−x)y=f(-x)

Odbicie „lewo–prawo”; punkt przecięcia z OYOY bez zmian.

Symetria względem (0, 0)

y=−f(−x)y=-f(-x)

Złożenie obu symetrii osiowych.

Wykres |f(x)|

y=∣f(x)∣y=|f(x)|

Część pod osią OXOX odbijamy nad oś.

Wykres f(|x|)

y=f(∣x∣)y=f(|x|)

Prawą część wykresu odbijamy na lewo (wykres symetryczny względem OYOY).

Skalowanie

y=k f(x),y=f(kx)y=k\,f(x),\qquad y=f(kx)

kf(x)kf(x): rozciągnięcie w pionie; f(kx)f(kx): ściśnięcie w poziomie (dla k>1k>1).

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji g(x)=x+1−2g(x)=\sqrt{x+1}-2, wychodząc od wykresu f(x)=xf(x)=\sqrt x. Podaj dziedzinę, zbiór wartości i miejsce zerowe funkcji gg.

g(x)=f(x+1)−2g(x)=f(x+1)-2, czyli przesuwamy wykres ff o wektor [−1,−2][-1,-2] (1 w lewo, 2 w dół).

xy−2−1123456−3−2−11230fg(−1, −2)(3, 0)
Dg=⟨−1,+∞)D_g=\langle-1,+\infty), ZWg=⟨−2,+∞)ZW_g=\langle-2,+\infty), miejsce zerowe x=3x=3

Przykład 2

Dana jest funkcja f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3. Naszkicuj wykres funkcji y=∣f(x)∣y=|f(x)| i podaj liczbę rozwiązań równania ∣f(x)∣=m|f(x)|=m w zależności od mm.

f(x)=(x−3)(x+1)f(x)=(x-3)(x+1), wierzchołek (1,−4)(1,-4). Część paraboli pod osią (dla x∈(−1,3)x\in(-1,3)) odbijamy nad oś: wierzchołek przechodzi do (1,4)(1,4).

xy−3−2−112345−112345670(1, 4)

Prowadzimy poziome proste y=my=m:

Liczba rozwiązań: 00 (m<0m<0), 22 (m=0m=0 lub m>4m>4), 44 (0<m<40<m<4), 33 (m=4m=4).

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Wykres funkcji g(x)=f(x−3)+2g(x)=f(x-3)+2 powstaje z wykresu funkcji ff przez przesunięcie o wektor

  1. [−3,2][-3,2]
  2. [3,2][3,2]
  3. [3,−2][3,-2]
  4. [2,3][2,3]

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

a=3a=3 (w prawo), b=2b=2 (w górę): wektor [3,2][3,2].

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Parabolę y=x2y=x^2 przesunięto o wektor [−1,4][-1,4]. Otrzymano wykres funkcji

  1. y=(x−1)2+4y=(x-1)^2+4
  2. y=(x+4)2−1y=(x+4)^2-1
  3. y=(x+1)2+4y=(x+1)^2+4
  4. y=(x+1)2−4y=(x+1)^2-4

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Przesunięcie o wektor [a,b][a,b] zmienia wzór y=f(x)y=f(x) na y=f(x−a)+by=f(x-a)+b: aa wpisujemy do nawiasu ze znakiem minus, bb dodajemy na końcu.

Tu a=−1a=-1 (w lewo), b=4b=4 (w górę):

y=(x−(−1))2+4=(x+1)2+4.y=(x-(-1))^2+4=(x+1)^2+4.

Pułapka: przesunięcie w lewo daje plus w nawiasie.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Funkcja ff ma dokładnie dwa miejsca zerowe: −2-2 i 55. Miejscami zerowymi funkcji g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3) są

  1. 11 i 88
  2. −5-5 i 22
  3. −2-2 i 55
  4. −6-6 i 1515

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

g(x)=0  ⟺  f(x+3)=0  ⟺  x+3∈{−2,5}  ⟺  x∈{−5,2}g(x)=0\iff f(x+3)=0\iff x+3\in\{-2,5\}\iff x\in\{-5,2\}. Cały wykres przesunął się o 33 w lewo.

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Wykres funkcji y=−f(x)y=-f(x) jest symetryczny do wykresu funkcji y=f(x)y=f(x) względem

  1. osi OYOY
  2. prostej y=xy=x
  3. osi OXOX
  4. początku układu współrzędnych

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

(x,y)↦(x,−y)(x,y)\mapsto(x,-y) to symetria względem osi OXOX.

Odpowiedź C

Zadanie 5 (1 pkt)

Wykres funkcji f(x)=2xf(x)=2^x przekształcono przez symetrię względem osi OYOY. Otrzymano wykres funkcji

  1. y=−2xy=-2^x
  2. y=(12)xy=\left(\frac12\right)^x
  3. y=−(12)xy=-\left(\frac12\right)^x
  4. y=2x−1y=2^x-1

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

f(−x)=2−x=(12)xf(-x)=2^{-x}=\left(\frac12\right)^x. (−2x-2^x to symetria względem OXOX.)

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział ⟨−3,5⟩\langle-3,5\rangle. Wyznacz zbiór wartości funkcji g(x)=f(x−2)+1g(x)=f(x-2)+1 oraz funkcji h(x)=−f(x)h(x)=-f(x).

Odpowiedź: ZWg=⟨−2,6⟩ZW_g=\langle-2,6\rangle, ZWh=⟨−5,3⟩ZW_h=\langle-5,3\rangle

Rozwiązanie

gg: przesunięcie o 22 w prawo (bez wpływu na wartości) i o 11 w górę: ⟨−3+1,5+1⟩=⟨−2,6⟩\langle-3+1,5+1\rangle=\langle-2,6\rangle.
hh: każdą wartość mnożymy przez −1-1: ⟨−5,3⟩\langle-5,3\rangle.

ZWg=⟨−2,6⟩ZW_g=\langle-2,6\rangle, ZWh=⟨−5,3⟩ZW_h=\langle-5,3\rangle

Zadanie 7 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ff.

xy−3−2−112345−3−2−112340(1, −2)

Funkcja ff może być opisana wzorem

  1. f(x)=∣x+1∣−2f(x)=|x+1|-2
  2. f(x)=∣x−1∣+2f(x)=|x-1|+2
  3. f(x)=∣x−1∣−2f(x)=|x-1|-2
  4. f(x)=∣x+2∣−1f(x)=|x+2|-1

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Wykres y=∣x∣y=|x| przesunięto o wektor [1,−2][1,-2], więc f(x)=∣x−1∣−2f(x)=|x-1|-2. Sprawdzenie: f(3)=0f(3)=0 ✓.

Odpowiedź C

Zadanie 8 (1 pkt)

Punkt A=(2,5)A=(2,5) należy do wykresu funkcji ff. Do wykresu funkcji g(x)=f(x)−3g(x)=f(x)-3 należy punkt

  1. (−1,5)(-1,5)
  2. (2,2)(2,2)
  3. (5,5)(5,5)
  4. (2,8)(2,8)

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Wykres g(x)=f(x)−3g(x)=f(x)-3 to wykres ff przesunięty o 33 w dół. Każdy punkt zostaje na tej samej wysokości xx, a jego yy maleje o 33.

(2, 5) → (2, 5−3)=(2, 2).(2,\ 5)\ \to\ (2,\ 5-3)=(2,\ 2).

Ze wzoru: g(2)=f(2)−3=5−3=2g(2)=f(2)-3=5-3=2.

Odpowiedź B

Zadanie 9 (1 pkt)

Równanie ∣x2−4∣=3|x^2-4|=3 ma

  1. 22 rozwiązania
  2. 33 rozwiązania
  3. 44 rozwiązania
  4. 00 rozwiązań

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

x2−4=3⇒x=±7x^2-4=3\Rightarrow x=\pm\sqrt7;  x2−4=−3⇒x=±1\ x^2-4=-3\Rightarrow x=\pm1. Razem 44 rozwiązania (zgodnie z wykresem: 0<3<40<3<4).

Odpowiedź C

Zadanie 10 (3 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=x2−4∣x∣f(x)=x^2-4|x| i wyznacz, dla jakich wartości parametru mm równanie f(x)=mf(x)=m ma dokładnie dwa rozwiązania.

Odpowiedź: m∈{−4}∪(0,+∞)m\in\{-4\}\cup(0,+\infty)

Rozwiązanie

f(x)=g(∣x∣)f(x)=g(|x|), gdzie g(x)=x2−4xg(x)=x^2-4x. Dla x≥0x\ge0 rysujemy parabolę z wierzchołkiem (2,−4)(2,-4) i miejscami zerowymi 00, 44, a potem odbijamy ją względem OYOY („W”).

xy−6−4−2246−4−2240(−2, −4)(2, −4)

Proste y=my=m: m<−4m<-4: 00 rozw.; m=−4m=-4: 22 rozw.; −4<m<0-4<m<0: 44 rozw.; m=0m=0: 33 rozw. (−4,0,4-4,0,4); m>0m>0: 22 rozw.

Dokładnie dwa rozwiązania dla m=−4m=-4 lub m>0m>0.

Zadanie 11 (1 pkt)

Wykres funkcji y=f(2x)y=f(2x) powstaje z wykresu funkcji y=f(x)y=f(x) przez

  1. dwukrotne rozciągnięcie w pionie
  2. dwukrotne ściśnięcie w poziomie (do osi OYOY)
  3. przesunięcie o 22 w lewo
  4. dwukrotne rozciągnięcie w poziomie

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Punkt (x0,y0)(x_0,y_0) wykresu ff przechodzi w (x02,y0)\left(\frac{x_0}{2},y_0\right): wykres „zbliża się” do osi OYOY dwukrotnie.

Odpowiedź B

Inne tematy: Pojęcie funkcji i jej własności · Funkcja liniowa