Pojęcie funkcji i jej własności: teoria i zadania maturalne

Dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, wartości największe i najmniejsze: wszystko odczytywane z wykresu i ze wzoru. Na rozszerzeniu: złożenie funkcji i dowodzenie monotoniczności.

Teoria

Czym jest funkcja

Funkcja $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ to przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x\in X$ przypisuje dokładnie jeden element $y\in Y$ . Piszemy $y=f(x)$ ; $x$ to argument, $f(x)$ : wartość funkcji.

Funkcję można opisać: wzorem ( $f(x)=x^2-1$ ), tabelą, wykresem, grafem (strzałki) lub opisem słownym.

Czy to wykres funkcji?

Każda pionowa prosta może przeciąć wykres funkcji co najwyżej raz: jednemu $x$ odpowiada jedno $y$ . Okrąg nie jest wykresem funkcji.

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina $D_f$ : zbiór argumentów. Gdy funkcja dana jest wzorem bez dziedziny, przyjmujemy dziedzinę naturalną: wszystkie $x$ , dla których wzór ma sens:

mianownik $\neq0$ : $\ f(x)=\frac{1}{x-2}\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ ,
pod pierwiastkiem stopnia parzystego $\ge0$ : $\ f(x)=\sqrt{x+3}\Rightarrow D=\langle-3,+\infty)$ ,
liczba logarytmowana $>0$ : $\ f(x)=\log(x-1)\Rightarrow D=(1,+\infty)$ .

Zbiór wartości $ZW_f$ : zbiór wszystkich wartości $f(x)$ . Na wykresie: „rzut” wykresu na oś $OY$ .

Własności odczytywane z wykresu

Funkcja f określona na przedziale ⟨−4, 5⟩.

Dla funkcji z rysunku:

dziedzina: $D=\langle-4,5\rangle$ („rzut” na oś $OX$ ),
zbiór wartości: $ZW=\langle-2,3\rangle$ ,
miejsca zerowe (punkty wspólne z osią $OX$ , czyli $f(x)=0$ ): $x=-2{,}5$ , $x=-1$ , $x=4$ ,
punkt przecięcia z osią $OY$ : $(0,f(0))=(0,1)$ ,
monotoniczność: malejąca w $\langle-4,-2\rangle$ , rosnąca w $\langle-2,1\rangle$ , stała w $\langle1,3\rangle$ , malejąca w $\langle3,5\rangle$ ,
wartość największa $3$ (dla $x=-4$ ), najmniejsza $-2$ (dla $x=5$ ),
$f(x)>0$ dla $x\in\langle-4;-2{,}5)\cup(-1,4)$ , $\ f(x)<0$ dla $x\in(-2{,}5;-1)\cup(4,5\rangle$ .

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca w zbiorze $A$ , gdy dla dowolnych $x_1<x_2$ z $A$ zachodzi $f(x_1)<f(x_2)$ (większy argument: większa wartość). Malejąca: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ . Stała: wszystkie wartości równe.

Przedziały monotoniczności

Przedziały monotoniczności podajemy dla argumentów (na osi $OX$ ), nie dla wartości! Nie piszemy też „rosnąca w $\langle-2,1\rangle\cup\langle5,7\rangle$ ”: każdy przedział osobno.

Złożenie funkcjiR

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$ : najpierw działa $g$ , potem $f$ . Np. dla $f(x)=x^2-1$ , $g(x)=2x+3$ : $(f\circ g)(x)=(2x+3)^2-1$ , a $(g\circ f)(x)=2(x^2-1)+3=2x^2+1$ . Złożenie zwykle nie jest przemienne. Dziedzina $f\circ g$ : te $x\in D_g$ , dla których $g(x)\in D_f$ .

Dowód monotoniczności z definicjiR

Bierzemy dowolne $x_1<x_2$ z przedziału i badamy znak różnicy $f(x_2)-f(x_1)$ . Dla $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$ w $(-2,+\infty)$ :

f(x_2)-f(x_1)=\frac{(2x_2-1)(x_1+2)-(2x_1-1)(x_2+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}=\frac{5(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}>0,

bo $x_2-x_1>0$ oraz oba czynniki mianownika są dodatnie. Zatem $f$ jest rosnąca w $(-2,+\infty)$ .

Na maturze

Bardzo częste zadania zamknięte z wykresem: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, liczba rozwiązań równania $f(x)=m$ , wartość $f(a)$ . Czytaj uważnie końce przedziałów (kółka pełne i puste!).

Wzory

Wartość funkcji

f(a)\ \text{(wstaw } x=a \text{ do wzoru)}

Obliczanie wartości dla konkretnego argumentu.

Miejsce zerowe

f(x_0)=0

Argument, dla którego wartość wynosi zero: punkt wspólny wykresu z osią $OX$ .

Punkt przecięcia z osią OY

(0,\ f(0))

Wstaw $x=0$ (o ile $0\in D_f$ ).

Dziedzina naturalna

\frac{1}{W(x)}:\ W(x)\neq0,\quad\sqrt{W(x)}:\ W(x)\ge0

Warunki istnienia wzoru: mianownik niezerowy, wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym nieujemne.

Funkcja rosnąca (definicja)

x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Większy argument daje większą wartość. Dla malejącej odwrotnie.

Złożenie funkcji

(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)

Wstawiamy całą funkcję wewnętrzną $g(x)$ w miejsce $x$ we wzorze $f$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ .

Dwa warunki:

pod pierwiastkiem: $x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3$ ,
mianownik: $x-2\neq0\Rightarrow x\neq2$ .

Część wspólna:

D_f=\langle-3,2)\cup(2,+\infty)

Przykład 2

Dana jest funkcja $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ . Oblicz $f(4)$ oraz argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $3$ .

$f(4)=\frac{8+1}{4-3}=9$ .
Szukamy $x\neq3$ takiego, że $\frac{2x+1}{x-3}=3$ : $2x+1=3x-9\Rightarrow x=10$ .
Sprawdzenie: $f(10)=\frac{21}{7}=3$ ✓.

Wykres

f(x)=\frac{2x+1}{x-3}

(asymptoty

x=3

y=2

): punkt

(4,9)

oraz jedyny punkt na wysokości

3

, dla

x=10

f(4)=9

; wartość

3

funkcja przyjmuje dla

x=10

Przykład 3

Dane są funkcje $f(x)=x^2-1$ i $g(x)=2x+3$ . Wyznacz wzory funkcji $f\circ g$ oraz $g\circ f$ .

$f\circ g$ : w miejsce $x$ we wzorze $f$ wstawiamy $g(x)$ :

(f\circ g)(x)=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+8.

$g\circ f$ : w miejsce $x$ we wzorze $g$ wstawiamy $f(x)$ :

(g\circ f)(x)=2(x^2-1)+3=2x^2+1.

(f\circ g)(x)=4x^2+12x+8

(g\circ f)(x)=2x^2+1

: złożenie nie jest przemienne.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Dana jest funkcja $f(x)=\dfrac{x-3}{x+1}$ . Wartość $f(2)$ jest równa

$\frac13$
$-\frac13$
$-1$
$3$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$f(2)=\frac{2-3}{2+1}=\frac{-1}{3}=-\frac13$ .

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{6-2x}$ jest

$(-\infty,3\rangle$
$\langle3,+\infty)$
$(-\infty,3)$
$\langle-3,+\infty)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$6-2x\ge0\Rightarrow-2x\ge-6\Rightarrow x\le3$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x+2}$ jest

tylko $-2$
$-2$ i $2$
tylko $2$
funkcja nie ma miejsc zerowych

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ . Licznik: $x=\pm2$ ; $-2\notin D$ , więc miejscem zerowym jest tylko $2$ .

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na przedziale $\langle-3,4\rangle$ .

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

$\langle-3,4\rangle$
$\langle-2,3\rangle$
$\langle-1,2\rangle$
$\langle-2,2\rangle$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Najniższy punkt: $(-3,-2)$ , najwyższy: $(4,3)$ . Wykres jest ciągły, więc przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy: $\langle-2,3\rangle$ . ( $\langle-3,4\rangle$ to dziedzina.)

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Funkcja $f$ , której wykres przedstawiono w poprzednim zadaniu (określona na $\langle-3,4\rangle$ ), jest malejąca w przedziale

$\langle-3,-1\rangle$
$\langle2,4\rangle$
$\langle-2,1\rangle$
$\langle-1,2\rangle$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Wykres opada od punktu $(-1,2)$ do $(2,-1)$ , więc funkcja maleje dla $x\in\langle-1,2\rangle$ . (Odpowiedź C to pomylenie z wartościami.)

Odpowiedź D

Zadanie 6 (2 pkt)

Dla funkcji $f$ z poprzednich zadań (wykres: odcinki łączące punkty $(-3,-2)$ , $(-1,2)$ , $(2,-1)$ , $(4,3)$ ) wyznacz miejsca zerowe oraz zbiór argumentów, dla których $f(x)>0$ .

Odpowiedź: Miejsca zerowe: $-2,\ 1,\ \frac52$ ; $f(x)>0$ dla $x\in(-2,1)\cup\left(\frac52,4\right\rangle$

Rozwiązanie

Odcinek 1 (od $(-3,-2)$ do $(-1,2)$ ): $a=\frac{4}{2}=2$ , $y=2x+4$ ; zero: $x=-2$ .
Odcinek 2 (od $(-1,2)$ do $(2,-1)$ ): $a=-1$ , $y=-x+1$ ; zero: $x=1$ .
Odcinek 3 (od $(2,-1)$ do $(4,3)$ ): $a=2$ , $y=2x-5$ ; zero: $x=\frac52$ .
Wykres jest nad osią $OX$ między $-2$ a $1$ oraz od $\frac52$ do końca dziedziny (włącznie z $x=4$ , bo $f(4)=3>0$ ).

Miejsca zerowe:

-2,\ 1,\ \frac52

;

f(x)>0\iff x\in(-2,1)\cup\left(\frac52,4\right\rangle

Zadanie 7 (1 pkt)

Wykres funkcji $f(x)=3x^2-2x+5$ przecina oś $OY$ w punkcie

$(5,0)$
$(0,3)$
$(0,5)$
$(0,-2)$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Na osi $OY$ każdy punkt ma $x=0$ . Wstawiamy więc $x=0$ :

f(0)=3\cdot0^2-2\cdot0+5=5.

Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,5)$ . Skrót: to po prostu wyraz wolny $c$ .

Pułapka: $(5,0)$ ma zamienione współrzędne. Najpierw $x$ , potem $y$ .

Odpowiedź C

Zadanie 8 (2 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}$ .

Odpowiedź: $D=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$

Rozwiązanie

Warunek: $x^2-4>0\iff(x-2)(x+2)>0\iff x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ .

D=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)

Zadanie 9 (1 pkt)

Funkcja $f$ określona jest tabelą:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

$\{-2,-1,0,1,2\}$
$\langle0,4\rangle$
$\{0,1,4\}$
$\{1,4\}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Wartości to $4,1,0,1,4$ , czyli zbiór $\{0,1,4\}$ . Dziedzina jest skończona, więc nie może to być przedział.

Odpowiedź C

Zadanie 10 (2 pkt)

Dane są funkcje $f(x)=\sqrt x$ i $g(x)=x^2-4x$ . Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $f\circ g$ .

Odpowiedź: $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4x}$ , $D=(-\infty,0\rangle\cup\langle4,+\infty)$

Rozwiązanie

$(f\circ g)(x)=\sqrt{g(x)}=\sqrt{x^2-4x}$ . Warunek: $x(x-4)\ge0$ : parabola ramionami w górę, pierwiastki $0$ i $4$ .

(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4x}

D=(-\infty,0\rangle\cup\langle4,+\infty)

Zadanie 11 (3 pkt)

Wykaż, korzystając z definicji, że funkcja $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$ jest rosnąca w przedziale $(-2,+\infty)$ .

Odpowiedź: $f(x_2)-f(x_1)=\frac{5(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}>0$ dla $-2<x_1<x_2$ .

Rozwiązanie

Niech $x_1,x_2\in(-2,+\infty)$ , $x_1<x_2$ .

f(x_2)-f(x_1)=\frac{(2x_2-1)(x_1+2)-(2x_1-1)(x_2+2)}{(x_1+2)(x_2+2)}.

Licznik: $2x_1x_2+4x_2-x_1-2-(2x_1x_2+4x_1-x_2-2)=5x_2-5x_1=5(x_2-x_1)$ .

$x_2-x_1>0$ (bo $x_1<x_2$ ),
$x_1+2>0$ i $x_2+2>0$ (bo $x_1,x_2>-2$ ).

Zatem $f(x_2)-f(x_1)>0$ , czyli $f(x_1)<f(x_2)$ : funkcja jest rosnąca w $(-2,+\infty)$ . ∎

Inne tematy: Przekształcenia wykresów funkcji