Funkcja liniowa: teoria i zadania maturalne

Najprostsza funkcja i fundament geometrii analitycznej: współczynnik kierunkowy, wyraz wolny, monotoniczność, wzór z dwóch punktów, proste równoległe i prostopadłe oraz zastosowania w zadaniach z życia.

Teoria

Wzór i znaczenie współczynników

f(x)=ax+b

Wykresem jest prosta.

$a$ : współczynnik kierunkowy: mówi, o ile zmienia się $y$ , gdy $x$ rośnie o $1$ („nachylenie”),
$b$ : wyraz wolny: wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$ .

Przykład: odczytaj współczynniki

f(x)=2x+1

$a=2$ : idąc o $1$ w prawo, wchodzimy $2$ w górę.
$b=1$ : wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,1)$ .

Jak „czytać” współczynnik

a

Wyobraź sobie, że idziesz po wykresie w prawo o jedną kratkę. Jeśli $a=2$ : wchodzisz 2 kratki w górę. Jeśli $a=-\frac12$ : schodzisz pół kratki w dół. Im większe $|a|$ , tym bardziej stromo.

Trzy proste: rosnąca (a > 0), malejąca (a < 0) i stała (a = 0). Punkt przecięcia z osią OY to (0, b).

Monotoniczność

$a>0$ : funkcja rosnąca,
$a<0$ : funkcja malejąca,
$a=0$ : funkcja stała ( $f(x)=b$ , wykres poziomy).

Przykład: dla jakich

m

funkcja

f(x)=(m-3)x+1

jest rosnąca?

Rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni: $m-3>0$ .

m>3

Prosta

y=ax+b

rośnie dla

a>0

, maleje dla

a<0

i jest pozioma dla

a=0

Miejsce zerowe

Dla $a\neq0$ : $\ ax+b=0\Rightarrow x_0=-\frac ba$ . Funkcja stała $f(x)=b$ ma miejsca zerowe tylko gdy $b=0$ (wtedy każda liczba jest miejscem zerowym).

Przykład: miejsce zerowe

f(x)=2x-6

Przyrównujemy do zera: $2x-6=0$ , więc $2x=6$ .

x_0=3

Kąt nachylenia

Jeśli $\alpha$ to kąt między wykresem a dodatnią półosią $OX$ , to

a=\operatorname{tg}\alpha.

Kąt

\alpha

między prostą a dodatnią półosią

OX

: w trójkącie o przyprostokątnych

4

3

jest

\operatorname{tg}\alpha=\frac34

, czyli dokładnie współczynnik kierunkowy

a

Przykład: jaki kąt z osią

OX

tworzy prosta

y=\sqrt3x

Współczynnik kierunkowy to tangens kąta: $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3$ .
Z tabeli: $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ .

\alpha=60^\circ

(dla porównania:

y=x

daje

45^\circ

, a

y=-x

daje

135^\circ

)

Wzór z dwóch punktów

Dla $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ , $x_1\neq x_2$ :

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},

a $b$ wyznaczamy, podstawiając współrzędne jednego z punktów do $y=ax+b$ .

Przykład: wzór funkcji liniowej przez

A=(1,3)

B=(3,7)

a=\frac{7-3}{3-1}=2

Wstawiamy $A$ do $y=2x+b$ : $3=2+b$ , więc $b=1$ .

f(x)=2x+1

Szybki odczyt z wykresu

Znajdź na wykresie dwa punkty „kratkowe”. $b$ : gdzie prosta przecina $OY$ . $a$ : „ile w górę/dół na jedną w prawo”.

Proste równoległe i prostopadłe

Dla $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ :

równoległe $\iff a_1=a_2$ ,
prostopadłe $\iff a_1\cdot a_2=-1$ , czyli $a_2=-\frac{1}{a_1}$ .

Przykład: prosta równoległa do

y=2x-1

przez punkt

(0,2)

Równoległa ma to samo nachylenie: $a=2$ .
Punkt $(0,2)$ leży na osi $OY$ , więc $b=2$ .

y=2x+2

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik a = 2; prostopadła ma a = −½ (bo 2 · (−½) = −1).

Zastosowania

Funkcja liniowa opisuje każdą wielkość, która rośnie lub maleje równomiernie: koszt taksówki (opłata stała + stawka za km), temperatura wody podczas równomiernego podgrzewania, droga przy stałej prędkości. Wtedy $b$ to wartość początkowa, a $a$ : zmiana na jednostkę.

Przykład: taksówka kosztuje

8

zł za start i

3

zł za każdy km. Ile za

10

km?

Opłata stała to $b=8$ , stawka za km to $a=3$ : $f(x)=3x+8$ .

f(10)=3\cdot10+8=38

38

zł

Na maturze

Zadania zamknięte: miejsce zerowe, monotoniczność z parametrem, wzór z wykresu, prosta równoległa/prostopadła, kąt nachylenia. Zadania otwarte: wzór przez dwa punkty i zadania z kontekstem praktycznym.

Wzory

Funkcja liniowa

f(x)=ax+b

$a$ : współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ : wyraz wolny (punkt $(0,b)$ ).

Miejsce zerowe

x_0=-\frac ba\quad(a\neq0)

Punkt przecięcia wykresu z osią $OX$ .

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Iloraz przyrostu $y$ do przyrostu $x$ .

Kąt nachylenia

a=\operatorname{tg}\alpha

$\alpha$ : kąt między prostą a dodatnią półosią $OX$ .

Proste równoległe

a_1=a_2

Ten sam kierunek: równe współczynniki kierunkowe.

Proste prostopadłe

a_1\cdot a_2=-1

Współczynniki są „odwrotne i przeciwne”.

Monotoniczność

a>0\nearrow,\quad a<0\searrow,\quad a=0\ \text{stała}

Znak $a$ decyduje, czy funkcja rośnie czy maleje.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A=(-1,5)$ i $B=(3,-3)$ . Podaj miejsce zerowe.

Współczynnik kierunkowy:

a=\frac{-3-5}{3-(-1)}=\frac{-8}{4}=-2.

Wyraz wolny: podstawiamy $A$ : $5=-2\cdot(-1)+b\Rightarrow5=2+b\Rightarrow b=3$ .
Kontrola punktem $B$ : $-2\cdot3+3=-3$ ✓.
Miejsce zerowe: $-2x+3=0\Rightarrow x=\frac32$ .

f(x)=-2x+3

, miejsce zerowe

x=\frac32

Przykład 2

Taksówka pobiera opłatę początkową $8$ zł oraz $3{,}50$ zł za każdy kilometr. Zapisz wzór kosztu $K$ przejazdu $x$ km. Ile kosztuje kurs na $10$ km, a ile kilometrów można przejechać za $64$ zł?

Koszt rośnie równomiernie: funkcja liniowa: $b=8$ (opłata stała), $a=3{,}5$ (cena za km):

K(x)=3{,}5x+8.

$K(10)=35+8=43$ zł.

Koszt kursu to półprosta zaczynająca się w

(0,8)

(opłata początkowa); każdy kilometr podnosi go o

3{,}50

zł.

$3{,}5x+8=64\Rightarrow3{,}5x=56\Rightarrow x=16$ km.

K(x)=3{,}5x+8

;

10

km kosztuje

43

zł; za

64

zł:

16

km.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-3x+6$ jest liczba

$6$
$-2$
$2$
$-\frac12$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$-3x+6=0\Rightarrow-3x=-6\Rightarrow x=2$ .

Odpowiedź C:

2

Zadanie 2 (1 pkt)

Funkcja liniowa $f(x)=(m-2)x+1$ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy

$m>2$
$m<2$
$m>-2$
$m=2$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$a=m-2>0\iff m>2$ . (Dla $m=2$ funkcja jest stała.)

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Wykres funkcji $f(x)=2x-4$ przecina oś $OY$ w punkcie

$(2,0)$
$(0,2)$
$(-4,0)$
$(0,-4)$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$f(0)=-4$ , więc $(0,-4)$ . ( $(2,0)$ to punkt przecięcia z osią $OX$ .)

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty $(0,3)$ i $(2,7)$ , ma wzór

$f(x)=3x+2$
$f(x)=2x+3$
$f(x)=\frac12x+3$
$f(x)=2x+7$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$b=3$ , $a=\frac{7-3}{2-0}=2$ . Wzór: $f(x)=2x+3$ .

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Prosta równoległa do prostej $y=-3x+1$ i przechodząca przez punkt $(1,2)$ ma równanie

$y=-3x+5$
$y=\frac13x+\frac53$
$y=-3x-1$
$y=3x-1$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$a=-3$ : $2=-3\cdot1+b\Rightarrow b=5$ . Równanie: $y=-3x+5$ .

Odpowiedź A

Zadanie 6 (2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A=(-2,1)$ i $B=(4,4)$ . Oblicz jej miejsce zerowe.

Odpowiedź: $f(x)=\frac12x+2$ , miejsce zerowe $x=-4$

Rozwiązanie

$a=\frac{3}{6}=\frac12$ . Z punktu $A$ : $1=\frac12\cdot(-2)+b\Rightarrow b=2$ . Kontrola $B$ : $2+2=4$ ✓.
Miejsce zerowe: $\frac12x+2=0\Rightarrow x=-4$ .

f(x)=\frac12x+2

x_0=-4

Zadanie 7 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f$ .

Funkcja $f$ ma wzór

$f(x)=-\frac32x+2$
$f(x)=\frac23x+2$
$f(x)=-\frac23x+2$
$f(x)=-\frac23x+3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$b=2$ ; $a=\frac{0-2}{3-0}=-\frac23$ . Wzór: $f(x)=-\frac23x+2$ .

Odpowiedź C

Zadanie 8 (1 pkt)

Prosta $y=\sqrt3x-1$ tworzy z dodatnią półosią $OX$ kąt

$30^\circ$
$45^\circ$
$60^\circ$
$120^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3\Rightarrow\alpha=60^\circ$ .

Odpowiedź C

Zadanie 9 (2 pkt)

Taksówka pobiera opłatę stałą $8$ zł i $3{,}50$ zł za każdy kilometr. Zapisz wzór funkcji opisującej koszt przejazdu $x$ km, oblicz koszt kursu na $12$ km oraz długość trasy, za którą zapłacono $78$ zł.

Odpowiedź: $K(x)=3{,}5x+8$ ; $50$ zł; $20$ km

Rozwiązanie

$K(x)=3{,}5x+8$ . $K(12)=42+8=50$ zł. $3{,}5x+8=78\Rightarrow3{,}5x=70\Rightarrow x=20$ km.

K(x)=3{,}5x+8

;

50

zł;

20

Zadanie 10 (1 pkt)

Prosta $y=ax+2$ jest prostopadła do prostej $y=4x-1$ dla

$a=4$
$a=-4$
$a=\frac14$
$a=-\frac14$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Proste $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ są prostopadłe, gdy $a_1\cdot a_2=-1$ . Wyrazy wolne nie mają znaczenia.

a\cdot4=-1,\qquad a=-\frac14.

Skrót: odwracamy $4$ na $\frac14$ i zmieniamy znak.

Odpowiedź D

Zadanie 11 (2 pkt)

Funkcja liniowa $f$ spełnia warunki $f(1)=4$ i $f(3)=-2$ . Wyznacz jej wzór, wartość $f(0)$ oraz miejsce zerowe.

Odpowiedź: $f(x)=-3x+7$ ; $f(0)=7$ ; $x_0=\frac73$

Rozwiązanie

$a=\frac{-6}{2}=-3$ ; $4=-3+b\Rightarrow b=7$ . $f(x)=-3x+7$ , $f(0)=7$ , $-3x+7=0\Rightarrow x=\frac73$ .

f(x)=-3x+7

f(0)=7

x_0=\frac73

Zadanie 12 (2 pkt)

Dla jakiej wartości parametru $m$ miejscem zerowym funkcji $f(x)=(m+1)x-6$ jest liczba $2$ ?

Odpowiedź: $m=2$

Rozwiązanie

$2(m+1)-6=0\Rightarrow2m-4=0\Rightarrow m=2$ . Sprawdzenie: $f(x)=3x-6$ , $f(2)=0$ ✓.

m=2

Inne tematy: Przekształcenia wykresów funkcji · Funkcja kwadratowa