Funkcja kwadratowa: teoria i zadania maturalne

Parabola od środka: trzy postacie wzoru, wierzchołek, oś symetrii, zbiór wartości, monotoniczność i: najważniejsze na maturze: wartość największa i najmniejsza w przedziale oraz proste zadania optymalizacyjne.

Teoria

Trzy postacie wzoru

Postać	Wzór	Co od razu widać
ogólna	$f(x)=ax^2+bx+c$	punkt $(0,c)$ na osi $OY$
kanoniczna	$f(x)=a(x-p)^2+q$	wierzchołek $W=(p,q)$
iloczynowa	$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$	miejsca zerowe $x_1,x_2$

Zawsze $a\neq0$ . Postać iloczynowa istnieje tylko, gdy $\Delta\ge0$ .

Przykład: jedna funkcja w trzech postaciach

Ogólna: $f(x)=x^2-4x+3$ , więc wykres przecina oś $OY$ w $(0,3)$ .
Kanoniczna: $f(x)=(x-2)^2-1$ , więc wierzchołek $W=(2,-1)$ .
Iloczynowa: $f(x)=(x-1)(x-3)$ , więc miejsca zerowe to $1$ i $3$ .

Kształt paraboli

$a>0$ : ramiona w górę, wierzchołek to najniższy punkt,
$a<0$ : ramiona w dół, wierzchołek to najwyższy punkt,
im większe $|a|$ , tym parabola „węższa”.

f(x) = (x − 2)² − 3: wierzchołek W(2, −3), oś symetrii x = 2 (przerywana), miejsca zerowe symetryczne względem osi.

Wierzchołek

$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}=f(p).$

Przykład: wierzchołek paraboli

f(x)=2x^2-8x+5

Odczytujemy $a=2$ , $b=-8$ .
$p=\frac{-b}{2a}=\frac{8}{4}=2$
$q=f(2)=2\cdot4-16+5=-3$ .

W=(2,-3)

Wierzchołek

W=(p,q)

leży na osi symetrii paraboli

x=p

, w połowie między miejscami zerowymi.

Wierzchołek bez wzoru na

q

Najpierw policz $p$ , potem $q=f(p)$ : mniej rachunków niż z deltą. A gdy znasz miejsca zerowe: $p=\frac{x_1+x_2}{2}$ (wierzchołek leży dokładnie w połowie między nimi).

Własności odczytywane z wierzchołka

Dla $a>0$ :

zbiór wartości: $\langle q,+\infty)$ ,
malejąca w $(-\infty,p\rangle$ , rosnąca w $\langle p,+\infty)$ ,
najmniejsza wartość $q$ dla $x=p$ (największej brak).

Dla $a<0$ odwrotnie: $ZW=(-\infty,q\rangle$ , rosnąca w $(-\infty,p\rangle$ , malejąca w $\langle p,+\infty)$ , największa wartość $q$ .

Przykład:

f(x)=-(x-1)^2+4

Postać kanoniczna: $W=(1,4)$ , a $a=-1<0$ , więc ramiona w dół.
Zbiór wartości: $(-\infty,4\rangle$ .
Rosnąca w $(-\infty,1\rangle$ , malejąca w $\langle1,+\infty)$ .

największa wartość

4

dla

x=1

Wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym $\langle m,n\rangle$

Oblicz $p$ .
Jeśli $p\in\langle m,n\rangle$ : kandydaci: $f(m)$ , $f(n)$ , $f(p)$ .
Jeśli $p\notin\langle m,n\rangle$ : funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, kandydaci: tylko $f(m)$ i $f(n)$ .
Największa z liczb to wartość największa, najmniejsza: wartość najmniejsza.

Przykład:

f(x)=x^2-4x+1

w przedziale

\langle-1,3\rangle

$p=\frac{4}{2}=2$ leży w przedziale, więc liczymy trzy wartości.
$f(-1)=1+4+1=6$ , $\ f(3)=9-12+1=-2$ , $\ f(2)=4-8+1=-3$ .

największa

6

, najmniejsza

-3

f(x) = x² − 4x + 1 na przedziale ⟨−1, 3⟩: największa wartość 6 (na końcu przedziału), najmniejsza −3 (w wierzchołku).

Pominięcie wierzchołka

Nie wystarczy policzyć wartości na końcach przedziału! Jeśli wierzchołek leży w środku przedziału, to tam jest najmniejsza (dla $a>0$ ) lub największa (dla $a<0$ ) wartość.

Wyznaczanie wzoru

znany wierzchołek $(p,q)$ i punkt: postać kanoniczna, z punktu wyznacz $a$ ,
znane miejsca zerowe i punkt: postać iloczynowa, z punktu wyznacz $a$ ,
trzy punkty: układ równań z postaci ogólnej.

Przykład: wierzchołek

W=(1,2)

, wykres przechodzi przez

(3,10)

Znamy wierzchołek, więc postać kanoniczna: $f(x)=a(x-1)^2+2$ .
Wstawiamy punkt $(3,10)$ : $10=a\cdot4+2$ , więc $a=2$ .

f(x)=2(x-1)^2+2

Optymalizacja

Gdy wielkość (pole, zysk, iloczyn) da się zapisać jako funkcja kwadratowa jednej zmiennej, jej wartość największa/najmniejsza jest w wierzchołku: pamiętaj o dziedzinie wynikającej z treści (długości dodatnie itp.).

Przykład: dwie liczby dodatnie o sumie

10

. Kiedy iloczyn jest największy?

Jedna liczba to $x$ , druga $10-x$ , gdzie $x\in(0,10)$ .
Iloczyn: $P(x)=x(10-x)=-x^2+10x$ , ramiona w dół.
Wierzchołek: $p=\frac{-10}{-2}=5$ , a $P(5)=25$ .

obie liczby równe

5

, iloczyn

25

Na maturze

Pewne punkty: wierzchołek, oś symetrii, zbiór wartości, monotoniczność, wzór z wykresu. Zadanie otwarte: wartość największa/najmniejsza w przedziale albo optymalizacja (3–4 pkt).

Wzory

Postać ogólna

f(x)=ax^2+bx+c,\ a\neq0

Punkt przecięcia z $OY$ : $(0,c)$ .

Postać kanoniczna

f(x)=a(x-p)^2+q

Od razu widać wierzchołek $W=(p,q)$ : wygodna do zbioru wartości i monotoniczności.

Postać iloczynowa

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Od razu widać miejsca zerowe (gdy $\Delta\ge0$ ).

Współrzędne wierzchołka

p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}

Wierzchołek paraboli: najniższy ( $a>0$ ) lub najwyższy ( $a<0$ ) punkt.

Oś symetrii

x=p=\frac{x_1+x_2}{2}

Pionowa prosta przez wierzchołek; miejsca zerowe są symetryczne względem niej.

Zbiór wartości

a>0:\ \langle q,+\infty),\qquad a<0:\ (-\infty,q\rangle

Wynika z położenia wierzchołka i kierunku ramion.

Wartość ekstremalna w przedziale

\max/\min\ \text{z}\ \{f(m),\,f(n),\,f(p)\ \text{gdy}\ p\in\langle m,n\rangle\}

Schemat dla przedziału domkniętego $\langle m,n\rangle$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Dla funkcji $f(x)=2x^2-8x+6$ wyznacz wierzchołek, postać kanoniczną, postać iloczynową, zbiór wartości i przedziały monotoniczności.

Wierzchołek: $p=\frac{8}{4}=2$ , $q=f(2)=8-16+6=-2$ . $W=(2,-2)$ .
Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$ .
Miejsca zerowe: $\Delta=64-48=16$ , $x=\frac{8\pm4}{4}\in\{1,3\}$ , więc $f(x)=2(x-1)(x-3)$ .
Zbiór wartości: $a=2>0$ , więc $ZW=\langle-2,+\infty)$ .
Monotoniczność: malejąca w $(-\infty,2\rangle$ , rosnąca w $\langle2,+\infty)$ .

W=(2,-2)

;

f(x)=2(x-2)^2-2=2(x-1)(x-3)

;

ZW=\langle-2,+\infty)

Przykład 2

Z drutu długości $40$ cm należy wygiąć prostokąt o największym możliwym polu. Wyznacz jego wymiary i pole.

Niech $x$ : długość jednego boku. Obwód $40$ , więc drugi bok ma długość $20-x$ . Dziedzina: $x\in(0,20)$ .
Pole: $P(x)=x(20-x)=-x^2+20x$ : funkcja kwadratowa, $a=-1<0$ , więc największa wartość w wierzchołku.
$p=\frac{-20}{-2}=10\in(0,20)$ ✓, $P(10)=10\cdot10=100$ .

Pole jako funkcja boku

x

to parabola skierowana w dół: największa wartość jest w wierzchołku, dla

x=10

(kwadrat).

Kwadrat o boku

10

cm, pole

100\ \text{cm}^2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli $y=(x-3)^2+2$ jest punkt

$(-3,2)$
$(3,2)$
$(3,-2)$
$(2,3)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ od razu podaje wierzchołek $W=(p,q)$ .

Tu $(x-3)^2$ , więc $p=3$ (liczba z nawiasu ze zmienionym znakiem), a $q=2$ .

W=(3,\ 2).

Pułapka: $x-3$ to $p=3$ , a nie $-3$ .

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Osią symetrii paraboli $y=-2x^2+8x-1$ jest prosta

$x=-2$
$x=4$
$x=2$
$y=2$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$p=\frac{-8}{-4}=2$ . Oś symetrii: $x=2$ .

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=-(x+1)^2+4$ jest

$(-\infty,4\rangle$
$\langle4,+\infty)$
$(-\infty,-1\rangle$
$\langle-1,+\infty)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$W=(-1,4)$ , $a=-1<0$ , więc $ZW=(-\infty,4\rangle$ .

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Funkcja $f(x)=x^2-6x+5$ jest malejąca w przedziale

$\langle3,+\infty)$
$(-\infty,-3\rangle$
$\langle-3,+\infty)$
$(-\infty,3\rangle$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$p=3$ , $a>0$ : maleje na lewo od wierzchołka: $(-\infty,3\rangle$ .

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Postacią iloczynową funkcji $f(x)=2x^2-2x-12$ jest

$2(x+3)(x-2)$
$2(x-3)(x+2)$
$(x-3)(x+2)$
$2(x-6)(x+1)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$2(x^2-x-6)$ ; $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ . Zatem $f(x)=2(x-3)(x+2)$ . (C gubi współczynnik $a=2$ .)

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Dla funkcji $f(x)=x^2+4x-5$ wyznacz współrzędne wierzchołka, postać kanoniczną, miejsca zerowe i zbiór wartości.

Odpowiedź: $W=(-2,-9)$ ; $f(x)=(x+2)^2-9$ ; zera: $-5$ i $1$ ; $ZW=\langle-9,+\infty)$

Rozwiązanie

$p=\frac{-4}{2}=-2$ , $q=f(-2)=4-8-5=-9$ . Kanoniczna: $(x+2)^2-9$ .
Zera: $(x+2)^2=9\Rightarrow x+2=\pm3\Rightarrow x\in\{-5,1\}$ .
$a>0$ : $ZW=\langle-9,+\infty)$ .

W=(-2,-9)

;

f(x)=(x+2)^2-9

;

x\in\{-5,1\}

;

ZW=\langle-9,+\infty)

Zadanie 7 (3 pkt)

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=-x^2+2x+3$ w przedziale $\langle0,3\rangle$ .

Odpowiedź: Największa: $4$ (dla $x=1$ ), najmniejsza: $0$ (dla $x=3$ )

Rozwiązanie

$p=\frac{-2}{-2}=1\in\langle0,3\rangle$ .
$f(1)=-1+2+3=4$ , $\ f(0)=3$ , $\ f(3)=-9+6+3=0$ .
Największa z nich: $4$ , najmniejsza: $0$ .

f_{\max}=4

dla

x=1

f_{\min}=0

dla

x=3

Zadanie 8 (2 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek $W=(2,-1)$ i przechodzi przez punkt $(0,3)$ . Zapisz go w postaci ogólnej.

Odpowiedź: $f(x)=x^2-4x+3$

Rozwiązanie

$f(x)=a(x-2)^2-1$ ; $3=4a-1\Rightarrow a=1$ . $f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$ .

f(x)=x^2-4x+3

Zadanie 9 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ .

Funkcja $f$ może być opisana wzorem

$f(x)=(x-1)(x+3)$
$f(x)=(x+1)(x-3)$
$f(x)=-(x+1)(x-3)$
$f(x)=(x-1)^2+4$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Zera: $-1$ i $3$ , $a>0$ : $f(x)=a(x+1)(x-3)$ . Wierzchołek $(1,-4)$ : $a\cdot2\cdot(-2)=-4\Rightarrow a=1$ .

Odpowiedź B

Zadanie 10 (3 pkt)

Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $-2$ i $4$ , a jej największa wartość jest równa $18$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.

Odpowiedź: $f(x)=-2x^2+4x+16$

Rozwiązanie

$f(x)=a(x+2)(x-4)$ . Wierzchołek: $p=\frac{-2+4}{2}=1$ ; największa wartość $\Rightarrow a<0$ i $f(1)=18$ :
$a\cdot3\cdot(-3)=-9a=18\Rightarrow a=-2$ .
$f(x)=-2(x+2)(x-4)=-2(x^2-2x-8)=-2x^2+4x+16$ .

f(x)=-2x^2+4x+16

Zadanie 11 (3 pkt)

Suma dwóch liczb nieujemnych jest równa $12$ . Wyznacz te liczby, jeśli suma ich kwadratów ma być najmniejsza.

Odpowiedź: $6$ i $6$ (suma kwadratów $72$ )

Rozwiązanie

$S(x)=x^2+(12-x)^2=2x^2-24x+144$ , $x\in\langle0,12\rangle$ .
$p=\frac{24}{4}=6\in\langle0,12\rangle$ , $a>0$ : minimum w wierzchołku: $S(6)=72$ . (Na końcach: $S(0)=S(12)=144$ .)

Liczby

6

6

Zadanie 12 (1 pkt)

Wykres funkcji $y=x^2+c$ przechodzi przez punkt $(2,1)$ . Zatem

$c=5$
$c=3$
$c=-1$
$c=-3$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Punkt $(2,1)$ leży na wykresie, więc dla $x=2$ wychodzi $y=1$ :

1=2^2+c,\qquad 1=4+c,\qquad c=-3.

Odpowiedź D

Zadanie 13 (1 pkt)

Funkcja $f(x)=a(x-1)^2+3$ przyjmuje najmniejszą wartość równą $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$a>0$
$a<0$
$a=3$
$a\neq0$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Najmniejsza wartość istnieje tylko dla ramion w górę ( $a>0$ ) i wynosi $q=3$ . Dla $a<0$ funkcja ma wartość największą $3$ , a najmniejszej nie ma.

Odpowiedź A

Inne tematy: Funkcja liniowa · Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna

Funkcja kwadratowa: teoria i zadania maturalne

Teoria

Trzy postacie wzoru

Kształt paraboli

Wierzchołek

Własności odczytywane z wierzchołka

Wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym ⟨m,n⟩\langle m,n\rangle⟨m,n⟩

Wyznaczanie wzoru

Optymalizacja

Wzory

Postać ogólna

Postać kanoniczna

Postać iloczynowa

Współrzędne wierzchołka

Oś symetrii

Zbiór wartości

Wartość ekstremalna w przedziale

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (2 pkt)

Zadanie 7 (3 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (1 pkt)

Zadanie 10 (3 pkt)

Zadanie 11 (3 pkt)

Zadanie 12 (1 pkt)

Zadanie 13 (1 pkt)

Wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym $\langle m,n\rangle$