Dział 4. Funkcje

Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna: teoria i zadania maturalne

Hiperbola y=axy=\frac ax, wielkości odwrotnie proporcjonalne w zadaniach z życia, a na rozszerzeniu: funkcja homograficzna, jej asymptoty, dziedzina i zbiór wartości.

Teoria

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: x⋅y=ax\cdot y=a. Gdy jedna rośnie dwa razy, druga maleje dwa razy.

Przykłady z życia

Prędkość i czas przejazdu tej samej trasy (v⋅t=sv\cdot t=s), liczba pracowników i czas wykonania pracy, liczba osób i kwota przypadająca na osobę przy stałym budżecie.

Funkcja f(x)=axf(x)=\frac ax, a≠0a\neq0

xy−6−4−2246−6−4−22460y = 4/xy = −4/x(2, 2)(2, −2)
Hiperbole y = 4/x (I i III ćwiartka) oraz y = −4/x (II i IV ćwiartka).
Monotoniczność „na całej dziedzinie”

f(x)=4xf(x)=\frac4x nie jest malejąca w całej dziedzinie: −1<1-1<1, a f(−1)=−4<4=f(1)f(-1)=-4<4=f(1). Jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞,0)(-\infty,0) i (0,+∞)(0,+\infty) osobno: tak trzeba to zapisać.

Wyznaczanie aa

Wystarczy jeden punkt wykresu: a=x⋅ya=x\cdot y. Np. hiperbola przechodzi przez (2,−3)(2,-3), więc a=−6a=-6.

Funkcja homograficznaR

f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q: to hiperbola y=axy=\frac ax przesunięta o wektor [p,q][p,q]:

  • asymptota pionowa x=px=p, pozioma y=qy=q,
  • D=R∖{p}D=\mathbb{R}\setminus\{p\},  ZW=R∖{q}\ ZW=\mathbb{R}\setminus\{q\}.

Wzór f(x)=bx+cx−pf(x)=\frac{bx+c}{x-p} sprowadzamy do tej postaci, dzieląc licznik: np. 2x+1x−1=2(x−1)+3x−1=2+3x−1\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.

xy−224−22460y = 2 + 3/(x−1)
Asymptoty: x = 1 i y = 2.
Na maturze

Podstawa: współczynnik aa z punktu lub tabeli, ćwiartki, zadania z proporcjonalnością odwrotną. Rozszerzenie: asymptoty, przekształcenia hiperboli, liczba rozwiązań równania z parametrem.

Wzory

Proporcjonalność odwrotna

y=ax  ⟺  x⋅y=ay=\frac ax\iff x\cdot y=a

Iloczyn wielkości jest stały; aa to współczynnik proporcjonalności.

Współczynnik z punktu

a=x0⋅y0a=x_0\cdot y_0

Hiperbola y=axy=\frac ax przechodzi przez (x0,y0)(x_0,y_0).

Dziedzina i zbiór wartości

D=ZW=R∖{0}D=ZW=\mathbb{R}\setminus\{0\}

Dla f(x)=axf(x)=\frac ax: zero nie jest argumentem ani wartością.

Funkcja homograficzna

f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q

Asymptoty x=px=p i y=qy=q; D=R∖{p}D=\mathbb{R}\setminus\{p\}, ZW=R∖{q}ZW=\mathbb{R}\setminus\{q\}.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wykres funkcji f(x)=axf(x)=\frac ax przechodzi przez punkt A=(2,−3)A=(2,-3). Wyznacz aa, oblicz f(−6)f(-6) i podaj przedziały monotoniczności.

a=2⋅(−3)=−6a=2\cdot(-3)=-6, więc f(x)=−6xf(x)=-\frac6x.

xy−6−4−2246−6−4−22460y = −6/xA = (2, −3)(−6, 1)
Hiperbola y=−6xy=-\frac6x: gałęzie w II i IV ćwiartce, przechodzi przez A=(2,−3)A=(2,-3) i (−6,1)(-6,1).

f(−6)=−6−6=1f(-6)=-\frac{6}{-6}=1.
a<0a<0: gałęzie w II i IV ćwiartce; funkcja rosnąca w (−∞,0)(-\infty,0) i w (0,+∞)(0,+\infty).

a=−6a=-6, f(−6)=1f(-6)=1, rosnąca w (−∞,0)(-\infty,0) oraz w (0,+∞)(0,+\infty)

Przykład 2

Dana jest funkcja f(x)=2x+1x−1f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}. Zapisz ją w postaci ax−p+q\frac{a}{x-p}+q, podaj asymptoty, dziedzinę i zbiór wartości.

2x+1=2(x−1)+32x+1=2(x-1)+3, więc

f(x)=2(x−1)+3x−1=2+3x−1.f(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.

To hiperbola y=3xy=\frac3x przesunięta o [1,2][1,2].

xy−4−2246−4−224680y = 2
Hiperbola y=3xy=\frac3x przesunięta o wektor [1,2][1,2]: asymptoty x=1x=1 i y=2y=2.
Asymptoty: x=1x=1, y=2y=2; D=R∖{1}D=\mathbb{R}\setminus\{1\}, ZW=R∖{2}ZW=\mathbb{R}\setminus\{2\}

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Wykres funkcji f(x)=axf(x)=\frac ax przechodzi przez punkt (2,3)(2,3). Zatem

  1. a=32a=\frac32
  2. a=23a=\frac23
  3. a=5a=5
  4. a=6a=6

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Punkt (2,3)(2,3) leży na wykresie, więc po wstawieniu x=2x=2 musi wyjść y=3y=3:

3=a2.3=\frac a2.

Mnożymy obie strony przez 22:

a=2⋅3=6.a=2\cdot3=6.

Sprawdzenie: f(2)=62=3f(2)=\frac62=3. Zgadza się.

Odpowiedź D

Zadanie 2 (1 pkt)

Wielkości xx i yy są odwrotnie proporcjonalne. Dla x=4x=4 mamy y=3y=3. Dla x=6x=6 wartość yy jest równa

  1. 22
  2. 4,54{,}5
  3. 88
  4. 11

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Odwrotnie proporcjonalne znaczy, że iloczyn x⋅yx\cdot y jest zawsze taki sam. Gdy jedno rośnie, drugie maleje.

Z danych: x⋅y=4⋅3=12x\cdot y=4\cdot3=12. Dla x=6x=6:

6⋅y=12,y=2.6\cdot y=12,\qquad y=2.

Pułapka: 4,54{,}5 wyszłoby przy proporcjonalności prostej, a tu jest odwrotna.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Wykres funkcji f(x)=−4xf(x)=-\frac4x leży w ćwiartkach

  1. I i III
  2. II i IV
  3. I i II
  4. III i IV

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

a=−4<0a=-4<0: dla x>0x>0 mamy y<0y<0 (IV), dla x<0x<0: y>0y>0 (II).

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Sześciu pracowników wykonuje pewną pracę w ciągu 1010 dni. Piętnastu pracowników, pracujących w tym samym tempie, wykona tę pracę w ciągu

  1. 2525 dni
  2. 66 dni
  3. 44 dni
  4. 99 dni

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

6⋅10=606\cdot10=60, więc 15⋅t=60⇒t=415\cdot t=60\Rightarrow t=4.

Odpowiedź C

Zadanie 5 (2 pkt)

Funkcja f(x)=axf(x)=\frac ax spełnia warunek f(−2)=5f(-2)=5. Wyznacz aa i oblicz f(5)f(5).

Odpowiedź: a=−10a=-10, f(5)=−2f(5)=-2

Rozwiązanie

a=−2⋅5=−10a=-2\cdot5=-10, f(5)=−105=−2f(5)=\frac{-10}{5}=-2.

a=−10a=-10, f(5)=−2f(5)=-2

Zadanie 6 (1 pkt)

Które zdanie o funkcji f(x)=3xf(x)=\frac3x jest prawdziwe?

  1. ff jest malejąca w całej dziedzinie
  2. ff jest rosnąca w przedziale (0,+∞)(0,+\infty)
  3. ff jest malejąca w przedziale (0,+∞)(0,+\infty)
  4. zbiorem wartości ff jest (0,+∞)(0,+\infty)

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

W (0,+∞)(0,+\infty) funkcja maleje: prawda. A jest fałszywe (f(−1)=−3<3=f(1)f(-1)=-3<3=f(1)), D: zbiór wartości to R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f(x)=axf(x)=\frac ax.

xy−1123456789−11234560(1, 4)

Wyznacz aa oraz oblicz f(8)f(8).

Odpowiedź: a=4a=4, f(8)=12f(8)=\frac12

Rozwiązanie

a=1⋅4=4a=1\cdot4=4 (kontrola: (4,1)(4,1) też leży na wykresie). f(8)=48=12f(8)=\frac48=\frac12.

a=4a=4, f(8)=12f(8)=\frac12

Zadanie 8 (1 pkt)

Asymptotami wykresu funkcji f(x)=2x+3−1f(x)=\frac{2}{x+3}-1 są proste

  1. x=3x=3 i y=−1y=-1
  2. x=−3x=-3 i y=1y=1
  3. x=−3x=-3 i y=−1y=-1
  4. x=2x=2 i y=−1y=-1

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Funkcja f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q ma asymptotę pionową x=px=p i poziomą y=qy=q.

Przepisujemy wzór w tej postaci: x+3=x−(−3)x+3=x-(-3), więc

f(x)=2x−(−3)+(−1),p=−3,q=−1.f(x)=\frac{2}{x-(-3)}+(-1),\qquad p=-3,\quad q=-1.

Asymptoty: x=−3x=-3 (tam mianownik jest zerem) i y=−1y=-1.

Pułapka: przy x+3x+3 asymptota jest w −3-3, a nie w 33.

Odpowiedź C

Zadanie 9 (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji f(x)=1x−2+3f(x)=\frac{1}{x-2}+3 jest

  1. R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\}
  2. R∖{3}\mathbb{R}\setminus\{3\}
  3. R\mathbb{R}
  4. (3,+∞)(3,+\infty)

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Funkcja przyjmuje wszystkie wartości poza q=3q=3. (R∖{2}\mathbb{R}\setminus\{2\} to dziedzina.)

Odpowiedź B

Zadanie 10 (3 pkt)

Wykres funkcji f(x)=ax−p+qf(x)=\frac{a}{x-p}+q ma asymptoty x=2x=2 i y=1y=1 oraz przechodzi przez punkt (3,4)(3,4). Wyznacz wzór funkcji i oblicz jej miejsce zerowe.

Odpowiedź: f(x)=3x−2+1f(x)=\frac{3}{x-2}+1, miejsce zerowe x=−1x=-1

Rozwiązanie

p=2p=2, q=1q=1; 4=a1+1⇒a=34=\frac a1+1\Rightarrow a=3. f(x)=3x−2+1f(x)=\frac{3}{x-2}+1.
Zero: 3x−2=−1⇒x−2=−3⇒x=−1\frac{3}{x-2}=-1\Rightarrow x-2=-3\Rightarrow x=-1.

f(x)=3x−2+1f(x)=\frac{3}{x-2}+1, x0=−1x_0=-1

Inne tematy: Funkcja kwadratowa · Funkcja wykładnicza i logarytmiczna