Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: teoria i zadania maturalne

Wzrost i zanik wykładniczy (bakterie, lokaty, rozpad promieniotwórczy), wykresy $y=a^x$ i $y=\log_a x$ , a na rozszerzeniu: równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Teoria

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ ( $a>0$ , $a\neq1$ )

dziedzina $\mathbb{R}$ , zbiór wartości $(0,+\infty)$ : zawsze dodatnia,
wykres przechodzi przez $(0,1)$ , bo $a^0=1$ , oraz przez $(1,a)$ ,
$a>1$ : rosnąca, $0<a<1$ : malejąca,
asymptota pozioma $y=0$ (wykres zbliża się do osi $OX$ , ale jej nie dotyka).

y = 2ˣ rośnie, y = (½)ˣ maleje; oba wykresy są symetryczne względem osi OY i przechodzą przez (0, 1).

Wzrost wykładniczy

Wielkość rośnie wykładniczo, gdy w równych odstępach czasu mnoży się przez ten sam czynnik (np. podwaja się co godzinę): a nie zwiększa o tę samą liczbę. Dlatego na początku rośnie wolno, a potem „eksploduje”.

Zastosowania

wzrost: $N(t)=N_0\cdot a^t$ ( $a>1$ ), np. bakterie podwajające się co godzinę: $N(t)=N_0\cdot2^t$ ,
zanik: $m(t)=m_0\cdot\left(\frac12\right)^{t/T}$ : rozpad z okresem połowicznego rozpadu $T$ ,
procent składany: $K_n=K(1+\frac p{100})^n$ : to też funkcja wykładnicza.

Funkcja logarytmiczna $f(x)=\log_a x$

dziedzina $(0,+\infty)$ , zbiór wartości $\mathbb{R}$ ,
wykres przechodzi przez $(1,0)$ oraz $(a,1)$ ,
$a>1$ : rosnąca, $0<a<1$ : malejąca,
asymptota pionowa $x=0$ ,
to funkcja odwrotna do wykładniczej: wykresy $y=a^x$ i $y=\log_a x$ są symetryczne względem prostej $y=x$ .

Wykres logarytmu to odbicie wykresu funkcji wykładniczej względem prostej y = x.

Równania i nierówności wykładniczeR

Sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)$ . W nierównościach: dla $a>1$ zwrot bez zmian, dla $0<a<1$ : zmieniamy zwrot. Np. $\left(\frac13\right)^x>9\iff3^{-x}>3^2\iff-x>2\iff x<-2$ . Równania typu $4^x-3\cdot2^x-4=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=2^x>0$ .

Równania i nierówności logarytmiczneR

Zawsze zaczynamy od dziedziny (liczby logarytmowane dodatnie). Potem łączymy logarytmy i korzystamy z $\log_a f(x)=\log_a g(x)\iff f(x)=g(x)$ albo z definicji logarytmu. Np. $\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1$ : dziedzina $x>1$ ; $\log_3(x^2-1)=1\Rightarrow x^2-1=3\Rightarrow x=2$ .

Na maturze

Podstawa: odczyt własności z wykresu, wzór $f(x)=a^x$ z punktu, zadania z kontekstem (wzrost, zanik, lokaty). Rozszerzenie: równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, przekształcenia wykresów.

Wzory

Funkcja wykładnicza

f(x)=a^x,\ a>0,\ a\neq1

$D=\mathbb{R}$ , $ZW=(0,+\infty)$ , punkt $(0,1)$ ; rosnąca dla $a>1$ , malejąca dla $0<a<1$ .

Wzrost / zanik wykładniczy

N(t)=N_0\cdot a^t

$N_0$ : wartość początkowa, $a$ : czynnik w jednostce czasu ( $a>1$ wzrost, $a<1$ zanik).

Rozpad połowiczny

m(t)=m_0\left(\tfrac12\right)^{t/T}

$T$ : czas połowicznego rozpadu.

Funkcja logarytmiczna

f(x)=\log_a x

$D=(0,+\infty)$ , $ZW=\mathbb{R}$ , punkt $(1,0)$ ; odwrotna do $a^x$ .

Równanie wykładnicze

a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)

Po sprowadzeniu do wspólnej podstawy porównujemy wykładniki.

Nierówność wykładnicza

a^{f(x)}>a^{g(x)}\iff\begin{cases}f>g,& a>1\\ f<g,& 0<a<1\end{cases}

Dla podstawy mniejszej od $1$ zwrot się zmienia.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Liczba bakterii w hodowli podwaja się co godzinę. Na początku było $500$ bakterii. Zapisz wzór $N(t)$ i oblicz, po ilu godzinach bakterii będzie $8000$ .

Co godzinę mnożymy przez $2$ : $N(t)=500\cdot2^t$ .
$500\cdot2^t=8000\Rightarrow2^t=16=2^4\Rightarrow t=4$ .

Liczba bakterii podwaja się co godzinę:

500

1000

2000

4000

8000

. Poziom

8000

osiąga po

4

godzinach.

N(t)=500\cdot2^t

; po

4

godzinach.

Przykład 2

Rozwiąż równania: a) $3^{2x-1}=27$ ; b) $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$ .

a) $27=3^3$ , więc $2x-1=3\Rightarrow x=2$ .
b) Dziedzina: $x-1>0$ i $x+1>0$ , czyli $x>1$ .
$\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3\Rightarrow x^2-1=2^3=8\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3$ .
Z dziedziną: $x=3$ .

x=2

; b)

x=3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Do wykresu funkcji $f(x)=3^x$ należy punkt

$(0,0)$
$(1,0)$
$(0,1)$
$(3,1)$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Sprawdzamy, który punkt spełnia wzór. Dla $x=0$ :

f(0)=3^0=1,

bo każda liczba (różna od zera) do potęgi zerowej to $1$ . Punkt $(0,1)$ leży na wykresie.

Skrót: każda funkcja $a^x$ przechodzi przez $(0,1)$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Która z funkcji jest rosnąca?

$f(x)=\left(\frac13\right)^x$
$f(x)=0{,}9^x$
$f(x)=\left(\sqrt2\right)^x$
$f(x)=\left(\frac25\right)^x$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\sqrt2\approx1{,}41>1$ : rosnąca. Pozostałe podstawy są mniejsze od $1$ .

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=2^x-3$ jest

$(0,+\infty)$
$(-3,+\infty)$
$(3,+\infty)$
$\mathbb{R}$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$2^x>0\Rightarrow2^x-3>-3$ . $ZW=(-3,+\infty)$ .

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Do wykresu funkcji $f(x)=\log_3 x$ należy punkt

$(9,2)$
$(2,9)$
$(3,0)$
$(0,1)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$f(9)=\log_3 9=2$ , więc $(9,2)$ ✓. ( $f(3)=1$ , a $0\notin D$ .)

Odpowiedź A

Zadanie 5 (2 pkt)

Masa izotopu promieniotwórczego maleje zgodnie ze wzorem $m(t)=64\cdot\left(\frac12\right)^{t/5}$ , gdzie $m$ : masa w gramach, $t$ : czas w latach. Po ilu latach zostaną $4$ g izotopu?

Odpowiedź: po $20$ latach

Rozwiązanie

$64\cdot\left(\frac12\right)^{t/5}=4\Rightarrow\left(\frac12\right)^{t/5}=\frac1{16}=\left(\frac12\right)^4\Rightarrow\frac t5=4\Rightarrow t=20$ .
Masa połowi się co $5$ lat: $64\to32\to16\to8\to4$ : cztery okresy.

20

latach.

Zadanie 6 (1 pkt)

Dziedziną funkcji $f(x)=\log(4-x)$ jest

$(4,+\infty)$
$(-\infty,4\rangle$
$\mathbb{R}\setminus\{4\}$
$(-\infty,4)$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Logarytm liczymy tylko z liczb dodatnich, więc to, co stoi pod logarytmem, musi być większe od zera:

4-x>0,\qquad 4>x,\qquad x<4.

Dziedzina: $(-\infty,\ 4)$ . Nawias przy $4$ jest otwarty, bo $\log0$ nie istnieje.

Odpowiedź D

Zadanie 7 (2 pkt)

Wykres funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ przechodzi przez punkt $\left(2,\frac94\right)$ . Wyznacz $a$ i oblicz $f(-1)$ .

Odpowiedź: $a=\frac32$ , $f(-1)=\frac23$

Rozwiązanie

$a^2=\frac94\Rightarrow a=\frac32$ (podstawa dodatnia). $f(-1)=\left(\frac32\right)^{-1}=\frac23$ .

a=\frac32

f(-1)=\frac23

Zadanie 8 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f(x)=2^x+b$ .

Liczba $b$ jest równa

$3$
$2$
$1$
$-2$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$f(0)=2^0+b=1+b=3\Rightarrow b=2$ (zgodne z asymptotą $y=2$ ).

Odpowiedź B

Zadanie 9 (1 pkt)

Rozwiązaniem równania $2^{x+1}=\frac18$ jest

$x=-4$
$x=-3$
$x=-2$
$x=4$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$2^{x+1}=2^{-3}\Rightarrow x+1=-3\Rightarrow x=-4$ .

Odpowiedź A

Zadanie 10 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $\left(\frac13\right)^x>9$ .

Odpowiedź: $x<-2$

Rozwiązanie

$3^{-x}>3^2$ , podstawa $3>1$ : $-x>2\Rightarrow x<-2$ .
(Albo: $\left(\frac13\right)^x>\left(\frac13\right)^{-2}$ , podstawa $<1$ , więc $x<-2$ .)

x\in(-\infty,-2)

Zadanie 11 (3 pkt)

Rozwiąż równanie $\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1$ .

Odpowiedź: $x=2$

Rozwiązanie

Dziedzina: $x+1>0$ i $x-1>0\Rightarrow x>1$ .
$\log_3\big((x+1)(x-1)\big)=1\Rightarrow x^2-1=3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2$ .
Z dziedziną: $x=2$ .

x=2

Zadanie 12 (3 pkt)

Rozwiąż równanie $4^x-3\cdot2^x-4=0$ .

Odpowiedź: $x=2$

Rozwiązanie

$t=2^x>0$ : $t^2-3t-4=0\Rightarrow(t-4)(t+1)=0\Rightarrow t=4$ lub $t=-1$ (odrzucamy, bo $t>0$ ).
$2^x=4\Rightarrow x=2$ .

x=2

Inne tematy: Proporcjonalność odwrotna i funkcja homograficzna

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna: teoria i zadania maturalne

Teoria

Funkcja wykładnicza f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax (a>0a>0a>0, a≠1a\neq1a=1)

Zastosowania

Funkcja logarytmiczna f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x

Wzory

Funkcja wykładnicza

Wzrost / zanik wykładniczy

Rozpad połowiczny

Funkcja logarytmiczna

Równanie wykładnicze

Nierówność wykładnicza

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (2 pkt)

Zadanie 6 (1 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (1 pkt)

Zadanie 9 (1 pkt)

Zadanie 10 (2 pkt)

Zadanie 11 (3 pkt)

Zadanie 12 (3 pkt)

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ ( $a>0$ , $a\neq1$ )

Funkcja logarytmiczna $f(x)=\log_a x$