Dział 11. Rachunek różniczkowy i optymalizacja

Pochodna funkcji i równanie stycznej: teoria i zadania maturalne

Pochodna jako „szybkość zmian” i nachylenie stycznej, wzory na pochodne (potęgi, suma, iloczyn, iloraz, pierwiastek), pochodna z definicji i równanie stycznej do wykresu.

Teoria

Czym jest pochodna

Pochodna funkcji ff w punkcie x0x_0 to granica ilorazu różnicowego:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h.f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Geometrycznie: f′(x0)f'(x_0) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)). Fizycznie: chwilowa szybkość zmian (np. prędkość jako pochodna drogi po czasie).

xy−11234−11234560fstyczna(x₀, f(x₀))
Styczna w punkcie x₀ = 2 ma współczynnik kierunkowy f′(2) = 2.

Wzory

funkcjapochodna
cc (stała)00
xnx^nnxn−1nx^{n-1}
1x\frac1x−1x2-\frac1{x^2}
x\sqrt x12x\frac{1}{2\sqrt x}
c⋅fc\cdot fc⋅f′c\cdot f'
f±gf\pm gf′±g′f'\pm g'
f⋅gf\cdot gf′g+fg′f'g+fg'
fg\frac fgf′g−fg′g2\frac{f'g-fg'}{g^2}
f(g(x))f(g(x))f′(g(x))⋅g′(x)f'(g(x))\cdot g'(x)
Pochodna ilorazu bez pomyłek

„Pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, przez mianownik do kwadratu”. Kolejność w liczniku ma znaczenie (odejmowanie!).

Równanie stycznej

Styczna do wykresu ff w punkcie x0x_0:

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0).y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).
xy−2−1123456−2−112345601f′(x₀)y = f(x)stycznaP
Styczna w punkcie P=(x0,f(x0))P=(x_0,f(x_0)) ma współczynnik kierunkowy f′(x0)f'(x_0): o tyle rośnie, gdy xx wzrośnie o 11. Stąd y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).

Schemat: oblicz f(x0)f(x_0), f′(x)f'(x), f′(x0)f'(x_0), wstaw do wzoru. Styczna równoległa do prostej y=ax+by=ax+b: szukasz x0x_0 z równania f′(x0)=af'(x_0)=a.

Na maturze rozszerzonej

Pochodna to narzędzie w zadaniach o stycznej (3–4 pkt) i w optymalizacji (6–7 pkt). Wzory na pochodne są w tablicach CKE, ale szybkie liczenie trzeba mieć wyćwiczone.

Wzory

Definicja pochodnej

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Granica ilorazu różnicowego.

Pochodna potęgi

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}

Najczęściej używany wzór.

Pochodna iloczynu

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'

Dla iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna ilorazu

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Funkcje wymierne.

Pochodna pierwiastka i odwrotności

(x)′=12x,(1x)′=−1x2(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x},\qquad\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}

Szczególne przypadki potęgi.

Pochodna złożenia

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

„Pochodna zewnętrznej razy pochodna wewnętrznej”.

Równanie stycznej

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Styczna do wykresu w punkcie o odciętej x0x_0.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=x+1x−1f(x)=\dfrac{x+1}{x-1} w punkcie o odciętej x0=2x_0=2.

f(2)=31=3f(2)=\frac31=3.
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=−2(x−1)2f'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}, więc f′(2)=−2f'(2)=-2.
Styczna: y=−2(x−2)+3=−2x+7y=-2(x-2)+3=-2x+7.

xy−2246−4−224680y = −2x + 7(2, 3)
Styczna do wykresu f(x)=x+1x−1f(x)=\frac{x+1}{x-1} w punkcie (2,3)(2,3) ma nachylenie f′(2)=−2f'(2)=-2, czyli y=−2x+7y=-2x+7.
y=−2x+7y=-2x+7

Przykład 2

Oblicz z definicji pochodną funkcji f(x)=x2f(x)=x^2 w punkcie x0=3x_0=3.

f′(3)=lim⁡h→0(3+h)2−9h=lim⁡h→06h+h2h=lim⁡h→0(6+h)=6.f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-9}{h}=\lim_{h\to0}\frac{6h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(6+h)=6.

Zgadza się ze wzorem: (x2)′=2x(x^2)'=2x, 2⋅3=62\cdot3=6.

f′(3)=6f'(3)=6

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Dla funkcji f(x)=x3−2xf(x)=x^3-2x wartość f′(2)f'(2) jest równa

  1. 44
  2. 1010
  3. 1212
  4. 66

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Liczymy pochodną wyraz po wyrazie ze wzoru (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}:

f′(x)=3x2−2.f'(x)=3x^2-2.

Wstawiamy x=2x=2:

f′(2)=3⋅22−2=3⋅4−2=12−2=10.f'(2)=3\cdot2^2-2=3\cdot4-2=12-2=10.

Pułapka: f(2)=8−4=4f(2)=8-4=4 to wartość funkcji, a nie pochodnej.

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Pochodna funkcji f(x)=1xf(x)=\frac1x w punkcie x=−2x=-2 jest równa

  1. 14\frac14
  2. −12-\frac12
  3. −14-\frac14
  4. 12\frac12

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Pochodna funkcji 1x\frac1x (karta wzorów): (1x)′=−1x2\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}.

f′(−2)=−1(−2)2=−14.f'(-2)=-\frac{1}{(-2)^2}=-\frac14.

Uwaga: (−2)2=4(-2)^2=4 jest dodatnie, a minus pochodzi ze wzoru.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Pochodna funkcji f(x)=2x−1x+1f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1} jest równa

  1. 3(x+1)2\frac{3}{(x+1)^2}
  2. −3(x+1)2\frac{-3}{(x+1)^2}
  3. 4x+1(x+1)2\frac{4x+1}{(x+1)^2}
  4. 22

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pochodna ilorazu:

(fg)′=f′g−fg′g2.\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.

Tu f=2x−1f=2x-1, f′=2f'=2, g=x+1g=x+1, g′=1g'=1:

f′(x)=2(x+1)−(2x−1)⋅1(x+1)2=2x+2−2x+1(x+1)2=3(x+1)2.f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}.
Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x)=x4f(x)=x^4 w punkcie o odciętej −1-1 jest równy

  1. 44
  2. 11
  3. −1-1
  4. −4-4

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w tym punkcie. Ze wzoru (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}:

f′(x)=4x3,f′(−1)=4⋅(−1)3=4⋅(−1)=−4.f'(x)=4x^3,\qquad f'(-1)=4\cdot(-1)^3=4\cdot(-1)=-4.
Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Pochodna funkcji f(x)=xf(x)=\sqrt x w punkcie 44 jest równa

  1. 12\frac12
  2. 14\frac14
  3. 22
  4. 18\frac18

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Pochodna pierwiastka (jest w karcie wzorów):

(x)′=12x.\left(\sqrt x\right)'=\frac{1}{2\sqrt x}.

Wstawiamy x=4x=4, a 4=2\sqrt4=2:

f′(4)=12⋅2=14.f'(4)=\frac{1}{2\cdot2}=\frac14.
Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x w punkcie o odciętej x0=1x_0=1.

Odpowiedź: y=−x−1y=-x-1

Rozwiązanie

f(1)=−2f(1)=-2, f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3, f′(1)=−1f'(1)=-1. y=−1⋅(x−1)−2=−x−1y=-1\cdot(x-1)-2=-x-1.

y=−x−1y=-x-1

Zadanie 7 (2 pkt)

Oblicz pochodną funkcji f(x)=(x2+1)(x−2)f(x)=(x^2+1)(x-2).

Odpowiedź: f′(x)=3x2−4x+1f'(x)=3x^2-4x+1

Rozwiązanie

2x2−4x+x2+1=3x2−4x+12x^2-4x+x^2+1=3x^2-4x+1. (Kontrola: f(x)=x3−2x2+x−2f(x)=x^3-2x^2+x-2, f′=3x2−4x+1f'=3x^2-4x+1 ✓.)

3x2−4x+13x^2-4x+1

Zadanie 8 (3 pkt)

Wyznacz punkty wykresu funkcji f(x)=x3f(x)=x^3, w których styczna jest równoległa do prostej y=12x+1y=12x+1.

Odpowiedź: (2,8)(2,8) i (−2,−8)(-2,-8)

Rozwiązanie

3x02=12⇒x0=±23x_0^2=12\Rightarrow x_0=\pm2; f(2)=8f(2)=8, f(−2)=−8f(-2)=-8.

(2,8)(2,8) i (−2,−8)(-2,-8)

Zadanie 9 (3 pkt)

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=x+1x−1f(x)=\dfrac{x+1}{x-1} w punkcie o odciętej x0=3x_0=3.

Odpowiedź: y=−12x+72y=-\frac12x+\frac72

Rozwiązanie

f(3)=42=2f(3)=\frac42=2, f′(3)=−24=−12f'(3)=\frac{-2}{4}=-\frac12. y=−12(x−3)+2=−12x+72y=-\frac12(x-3)+2=-\frac12x+\frac72.

y=−12x+72y=-\frac12x+\frac72

Zadanie 10 (2 pkt)

Oblicz pochodną funkcji f(x)=(2x+1)3f(x)=(2x+1)^3 i wartość f′(0)f'(0).

Odpowiedź: f′(x)=6(2x+1)2f'(x)=6(2x+1)^2, f′(0)=6f'(0)=6

Rozwiązanie

f′(x)=3(2x+1)2⋅2=6(2x+1)2f'(x)=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2; f′(0)=6f'(0)=6.

6(2x+1)26(2x+1)^2; 66

Inne tematy: Granica i ciągłość funkcji · Monotoniczność, ekstrema i wartości największe