Dział 11. Rachunek różniczkowy i optymalizacja

Granica i ciągłość funkcji: teoria i zadania maturalne

Granica funkcji w punkcie i w nieskończoności, granice jednostronne, symbol $\frac00$ , asymptoty oraz ciągłość funkcji (także „sklejonej” z kawałków).

Teoria

Granica w punkcie: intuicja

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=g$ oznacza, że gdy $x$ zbliża się do $a$ (ale $x\neq a$ ), wartości $f(x)$ zbliżają się do $g$ . Wartość w samym punkcie $a$ nie ma znaczenia: funkcja może nawet nie być tam określona.

Funkcja nie jest określona w x = 2 (puste kółko), ale jej granica w tym punkcie wynosi 4.

Obliczanie granic

Wstaw $a$ . Jeśli wyjdzie liczba: to granica (dla funkcji wielomianowych, wymiernych w dziedzinie, pierwiastków).
Symbol $\frac00$ : rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skróć czynnik $(x-a)$ ; przy pierwiastkach mnóż przez sprzężenie.
$\frac{c}{0}$ , $c\neq0$ : granica nieskończona; zbadaj granice jednostronne (znak mianownika z lewej i prawej).
$x\to\pm\infty$ : dziel przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika (jak w ciągach).

Symbol

\frac00

$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4$ .
$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$ .

Granice jednostronne

$\lim\limits_{x\to a^-}$ : z lewej, $\lim\limits_{x\to a^+}$ : z prawej. Granica w punkcie istnieje $\iff$ obie jednostronne istnieją i są równe. Np. $\lim\limits_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty$ .

Asymptoty

pionowa $x=a$ : gdy granica (choć jednostronna) w $a$ jest nieskończona,
pozioma $y=b$ : gdy $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$ .

Dla $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ : pionowa $x=3$ , pozioma $y=2$ .

f(x)=\frac{2x+1}{x-3}

: przy

x\to3

wartości uciekają do

\pm\infty

(asymptota pionowa

x=3

), a przy

x\to\pm\infty

zbliżają się do

2

(asymptota pozioma

y=2

Ciągłość

Funkcja jest ciągła w punkcie $a$ , gdy $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ (wykres „bez przerwy”). Wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach. Przy funkcji określonej „kawałkami” sprawdzamy punkt sklejenia: granice z obu stron muszą być równe wartości.

Na maturze rozszerzonej

Granice pojawiają się w zadaniach zamkniętych lub z kodowaną odpowiedzią oraz w zadaniach o ciągłości funkcji z parametrem. Pamiętaj o skracaniu przy $\frac00$ !

Wzory

Granica przez podstawienie

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Dla funkcji ciągłych w $a$ : wystarczy wstawić.

Symbol 0/0: skracanie

\lim_{x\to a}\frac{(x-a)g(x)}{(x-a)h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}

Rozkład i skrócenie czynnika zerującego się w $a$ .

Granica w nieskończoności

\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\ldots}{b_nx^n+\ldots}=\frac{a_n}{b_n}

Równe stopnie: iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.

Ciągłość w punkcie

\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)

Warunek ciągłości (sprawdzany w punktach sklejenia).

Asymptoty

x=a:\ \lim_{x\to a}f=\pm\infty;\qquad y=b:\ \lim_{x\to\pm\infty}f=b

Pionowa i pozioma.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}$ .

Wstawienie daje $\frac00$ . Rozkładamy: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ , $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .

\lim_{x\to2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}=\frac{4+4+4}{4}=3.

3

Przykład 2

Wyznacz $a$ , dla którego funkcja $f(x)=\begin{cases}x^2-1, & x\le2\\ ax+1, & x>2\end{cases}$ jest ciągła.

Poza punktem $2$ funkcja jest ciągła (wielomiany). W $x=2$ : $f(2)=\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=3$ , $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=2a+1$ .
Warunek: $2a+1=3\Rightarrow a=1$ .

Dla

a=1

obie części spotykają się w punkcie

(2,3)

: wykres jest bez przerwy. Dla innego

a

, np.

2

(linia przerywana), w

x=2

byłby skok.

a=1

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Granica $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ jest równa

$0$
$2$
$4$
nie istnieje

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Po wstawieniu $x=2$ wychodzi $\frac00$ , więc najpierw upraszczamy. Licznik ze wzoru skróconego mnożenia: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .

\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\qquad(x\neq2).

Teraz już można wstawić $2$ :

\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Granica $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}$ jest równa

$2$
$-\frac13$
$+\infty$
$0$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$\lim\frac{2+\frac1{x^2}}{1-\frac3{x^2}}=2$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Granica $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{1}{x-1}$ jest równa

$0$
$1$
$-\infty$
$+\infty$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$x-1\to0^+$ , więc $\frac{1}{x-1}\to+\infty$ .

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Granica $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ jest równa

$\frac14$
$0$
$\frac12$
$2$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$\frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac14$ .

Odpowiedź A

Zadanie 5 (2 pkt)

Oblicz $\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2+3x+2}{x+1}$ .

Odpowiedź: $1$

Rozwiązanie

Po wstawieniu $x=-1$ wychodzi $\frac00$ , więc najpierw rozkładamy licznik na czynniki. Pierwiastki $x^2+3x+2$ to $-1$ i $-2$ , więc

x^2+3x+2=(x+1)(x+2).

Skracamy $(x+1)$ , co wolno, bo $x\neq-1$ :

\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2.

Teraz wstawiamy $-1$ :

\lim_{x\to-1}(x+2)=-1+2=1.

1

Zadanie 6 (2 pkt)

Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ .

Odpowiedź: pionowa $x=3$ , pozioma $y=2$

Rozwiązanie

W $x=3$ licznik $7\neq0$ , mianownik $\to0$ : asymptota pionowa $x=3$ . $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=2$ : pozioma $y=2$ .

x=3

y=2

Zadanie 7 (2 pkt)

Wyznacz $a$ , dla którego funkcja $f(x)=\begin{cases}x^2-1, & x\le2\\ ax+1, & x>2\end{cases}$ jest ciągła w punkcie $2$ .

Odpowiedź: $a=1$

Rozwiązanie

$f(2)=3$ , granica prawostronna $2a+1$ . $2a+1=3\Rightarrow a=1$ .

a=1

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}$ .

Odpowiedź: $3$

Rozwiązanie

$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}\to\frac{12}{4}=3$ .

3

Zadanie 9 (1 pkt)

Granica $\lim\limits_{x\to\infty}\left(3-\dfrac1x\right)$ jest równa

$2$
$3$
$+\infty$
$0$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Gdy $x$ rośnie do nieskończoności, ułamek $\frac1x$ robi się coraz mniejszy i dąży do $0$ (np. $\frac1{1000}=0{,}001$ ).

\lim_{x\to\infty}\left(3-\frac1x\right)=3-0=3.

Odpowiedź B

Zadanie 10 (3 pkt)

Wyznacz $m$ , dla którego funkcja $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3}, & x\neq3\\ m, & x=3\end{cases}$ jest ciągła.

Odpowiedź: $m=6$

Rozwiązanie

$\lim\limits_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6$ , więc $m=f(3)=6$ .

m=6

Inne tematy: Pochodna funkcji i równanie stycznej