Dział 11. Rachunek różniczkowy i optymalizacja

Monotoniczność, ekstrema i wartości największe: teoria i zadania maturalne

Jak z pochodnej odczytać, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, jak znaleźć maksima i minima lokalne oraz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym.

Teoria

Pochodna a monotoniczność

Jeśli w przedziale:

xy−2−112−3−2−112340f′(x)f(x)maxmin
f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x i jej pochodna f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3 (przerywana): gdzie f′>0f'>0, ff rośnie, a gdzie f′<0f'<0, maleje. Zera pochodnej, ±1\pm1, to ekstrema.

Ekstrema lokalne

Funkcja ma w x0x_0 maksimum lokalne, gdy w pobliżu x0x_0 wszystkie wartości są nie większe od f(x0)f(x_0) (minimum: nie mniejsze).

Warunek konieczny: jeśli ff ma ekstremum w x0x_0 i jest tam różniczkowalna, to f′(x0)=0f'(x_0)=0.
Warunek wystarczający: f′f' zmienia znak w x0x_0: z ++ na −-: maksimum, z −- na ++: minimum.

xy−2−112−3−2−11230f(x) = x³ − 3xmax (−1, 2)min (1, −2)
f′(x) = 3x² − 3: dodatnia dla |x| > 1 (funkcja rośnie), ujemna dla |x| < 1 (maleje).
f′(x0)=0f'(x_0)=0 to jeszcze nie ekstremum

f(x)=x3f(x)=x^3 ma f′(0)=0f'(0)=0, ale pochodna 3x23x^2 nie zmienia znaku: w 00 nie ma ekstremum (wykres ma tam „płaski” punkt przegięcia). Zawsze sprawdź zmianę znaku!

Schemat badania funkcji

  1. Dziedzina.
  2. Pochodna f′(x)f'(x), najlepiej w postaci iloczynowej.
  3. Miejsca zerowe pochodnej i jej znak (wężyk / parabola).
  4. Tabela: przedziały monotoniczności, ekstrema i ich wartości.
xx(−∞,−1)(-\infty,-1)−1-1(−1,1)(-1,1)11(1,∞)(1,\infty)
f′(x)f'(x)++00−-00++
f(x)f(x)rośniemax 22malejemin −2-2rośnie

Wartość największa i najmniejsza w przedziale ⟨a,b⟩\langle a,b\rangle

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga swoje wartości największą i najmniejszą. Kandydaci:

Porównaj wszystkie liczby.

Na maturze rozszerzonej

Badanie monotoniczności i ekstremów to obowiązkowa część zadania optymalizacyjnego. Zapisz znak pochodnej i wyciągnij wniosek słowami („pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc…”).

Wzory

Monotoniczność z pochodnej

f′>0⇒f↗,f′<0⇒f↘f'>0\Rightarrow f\nearrow,\qquad f'<0\Rightarrow f\searrow

Znak pochodnej w przedziale.

Warunek konieczny ekstremum

f′(x0)=0f'(x_0)=0

Punkty krytyczne: kandydaci na ekstrema.

Warunek wystarczający

f′ zmienia znak: +→− max, −→+ minf'\ \text{zmienia znak}:\ +\to-\ \text{max},\ -\to+\ \text{min}

Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak.

Wartości ekstremalne w przedziale

max⁡/min⁡{f(a),f(b),f(xk)}, xk∈(a,b), f′(xk)=0\max/\min\{f(a),f(b),f(x_k)\},\ x_k\in(a,b),\ f'(x_k)=0

Porównaj wartości na końcach i w punktach krytycznych.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}.

D=RD=\mathbb{R}. f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
Mianownik dodatni, znak zależy od 1−x21-x^2: dodatni dla x∈(−1,1)x\in(-1,1), ujemny dla ∣x∣>1|x|>1.
Malejąca w (−∞,−1⟩(-\infty,-1\rangle i ⟨1,+∞)\langle1,+\infty), rosnąca w ⟨−1,1⟩\langle-1,1\rangle.
Minimum w x=−1x=-1: f(−1)=−12f(-1)=-\frac12; maksimum w x=1x=1: f(1)=12f(1)=\frac12.

xy−5−4−3−2−112345−1−0,50,510y = x/(x² + 1)minmax
Wykres f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}: maleje do minimum (−1,−12)(-1,-\frac12), rośnie do maksimum (1,12)(1,\frac12) i znów maleje.
min −12-\frac12 (dla x=−1x=-1), max 12\frac12 (dla x=1x=1)

Przykład 2

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1 w przedziale ⟨−1,3⟩\langle-1,3\rangle.

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2), zera 00 i 22 (oba wewnątrz przedziału).
f(−1)=−3f(-1)=-3, f(0)=1f(0)=1, f(2)=−3f(2)=-3, f(3)=1f(3)=1.

xy−1123−3−2−110f(0) = 1f(3) = 1f(−1) = −3f(2) = −3
Na ⟨−1,3⟩\langle-1,3\rangle (linia ciągła) największa wartość 11 jest w x=0x=0 i na końcu x=3x=3, a najmniejsza −3-3 w x=−1x=-1 i w x=2x=2.
Największa wartość 11 (dla x=0x=0 i x=3x=3), najmniejsza −3-3 (dla x=−1x=-1 i x=2x=2).

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Funkcja f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x jest malejąca w przedziale

  1. ⟨−2,2⟩\langle-2,2\rangle
  2. ⟨2,+∞)\langle2,+\infty)
  3. (−∞,−2⟩(-\infty,-2\rangle
  4. ⟨0,12⟩\langle0,12\rangle

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

3x2−12<0  ⟺  x2<4  ⟺  x∈(−2,2)3x^2-12<0\iff x^2<4\iff x\in(-2,2); z końcami: ⟨−2,2⟩\langle-2,2\rangle.

Odpowiedź A

Zadanie 2 (1 pkt)

Funkcja f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x ma

  1. dwa ekstrema lokalne
  2. jedno maksimum lokalne
  3. jedno minimum lokalne
  4. żadnego ekstremum lokalnego

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

f′(x)=3x2+3>0f'(x)=3x^2+3>0 zawsze: funkcja rosnąca, brak ekstremów.

Odpowiedź D

Zadanie 3 (1 pkt)

Funkcja ff ma pochodną f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). Funkcja ff ma

  1. maksimum w x=1x=1
  2. minimum w x=−2x=-2 i brak ekstremum w x=1x=1
  3. minimum w x=1x=1
  4. ekstrema w x=1x=1 i x=−2x=-2

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Znak f′f' to znak x+2x+2 (poza x=1x=1): ujemny dla x<−2x<-2, dodatni dla x>−2x>-2. W x=−2x=-2 zmiana −→+-\to+: minimum. W x=1x=1 brak zmiany znaku.

Odpowiedź B

Zadanie 4 (2 pkt)

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x.

Odpowiedź: maksimum 22 dla x=−1x=-1, minimum −2-2 dla x=1x=1

Rozwiązanie

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1): ++ dla x<−1x<-1, −- dla −1<x<1-1<x<1, ++ dla x>1x>1.
Maksimum: f(−1)=−1+3=2f(-1)=-1+3=2; minimum: f(1)=1−3=−2f(1)=1-3=-2.

max 22 (x=−1x=-1), min −2-2 (x=1x=1)

Zadanie 5 (2 pkt)

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2.

Odpowiedź: minima −1-1 dla x=±1x=\pm1, maksimum 00 dla x=0x=0

Rozwiązanie

f′(x)=4x(x−1)(x+1)f'(x)=4x(x-1)(x+1), znaki od prawej: +,−,+,−+,-,+,-. Minimum w ±1\pm1: f(±1)=1−2=−1f(\pm1)=1-2=-1; maksimum w 00: f(0)=0f(0)=0.

min −1-1 (x=±1x=\pm1), max 00 (x=0x=0)

Zadanie 6 (3 pkt)

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x w przedziale ⟨0,2⟩\langle0,2\rangle.

Odpowiedź: największa 22, najmniejsza −2-2

Rozwiązanie

Największa i najmniejsza wartość w przedziale domkniętym mogą być tylko w punktach, gdzie f′(x)=0f'(x)=0, albo na końcach przedziału.

Krok 1: pochodna i jej miejsca zerowe:

f′(x)=3x2−3=0,x2=1,x=1 lub x=−1.f'(x)=3x^2-3=0,\qquad x^2=1,\qquad x=1\ \text{lub}\ x=-1.

Do przedziału ⟨0,2⟩\langle0,2\rangle należy tylko x=1x=1.

Krok 2: wartości w kandydatach:

f(0)=0,f(1)=1−3=−2,f(2)=8−6=2.f(0)=0,\qquad f(1)=1-3=-2,\qquad f(2)=8-6=2.

Największa 22 (dla x=2x=2), najmniejsza −2-2 (dla x=1x=1).

max 22 (dla x=2x=2), min −2-2 (dla x=1x=1)

Zadanie 7 (3 pkt)

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x)=x+4xf(x)=x+\dfrac4x dla x>0x>0.

Odpowiedź: 44 (dla x=2x=2)

Rozwiązanie

f′(x)=x2−4x2f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}: ujemna dla 0<x<20<x<2, dodatnia dla x>2x>2: minimum w x=2x=2: f(2)=2+2=4f(2)=2+2=4.

44

Zadanie 8 (4 pkt)

Funkcja f(x)=x3+ax2+bf(x)=x^3+ax^2+b ma w punkcie x=2x=2 ekstremum równe −1-1. Wyznacz aa i bb oraz określ rodzaj tego ekstremum.

Odpowiedź: a=−3a=-3, b=3b=3; minimum

Rozwiązanie

f′(2)=12+4a=0⇒a=−3f'(2)=12+4a=0\Rightarrow a=-3. f(2)=8−12+b=−1⇒b=3f(2)=8-12+b=-1\Rightarrow b=3.
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) zmienia znak w 22 z −- na ++: minimum.

a=−3a=-3, b=3b=3, minimum

Zadanie 9 (2 pkt)

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1 i jej ekstrema.

Odpowiedź: rosnąca w (−∞,1⟩(-\infty,1\rangle i ⟨3,∞)\langle3,\infty), malejąca w ⟨1,3⟩\langle1,3\rangle; max 55, min 11

Rozwiązanie

f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x)=3(x-1)(x-3): ++ poza ⟨1,3⟩\langle1,3\rangle, −- wewnątrz. f(1)=1−6+9+1=5f(1)=1-6+9+1=5 (max), f(3)=27−54+27+1=1f(3)=27-54+27+1=1 (min).

max 55 (x=1x=1), min 11 (x=3x=3)

Zadanie 10 (1 pkt)

Jeśli f′(x)>0f'(x)>0 dla każdego x∈Rx\in\mathbb{R}, to funkcja ff

  1. ma maksimum w x=0x=0
  2. jest stała
  3. jest rosnąca w R\mathbb{R}
  4. jest malejąca w R\mathbb{R}

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Znak pochodnej mówi, co robi funkcja: f′>0f'>0 to funkcja rośnie, f′<0f'<0 to maleje. Skoro f′(x)>0f'(x)>0 dla każdego xx, funkcja rośnie na całej osi i nie ma żadnego ekstremum.

Odpowiedź C

Inne tematy: Pochodna funkcji i równanie stycznej · Zadania optymalizacyjne