Dział 11. Rachunek różniczkowy i optymalizacja

Zadania optymalizacyjne: teoria i zadania maturalne

Jak znaleźć „najlepsze” rozwiązanie: największe pole, najmniejszy koszt, maksymalny zysk. Na podstawie: funkcja kwadratowa, na rozszerzeniu: pochodna. Pełny schemat, który daje komplet punktów.

Teoria

Schemat rozwiązania (zawsze ten sam)

Zmienna: oznacz wielkość, od której wszystko zależy (np. $x$ : długość boku).
Funkcja celu: zapisz optymalizowaną wielkość (pole, objętość, koszt) jako funkcję jednej zmiennej, korzystając z warunków zadania.
Dziedzina: z treści: długości dodatnie, liczba sztuk naturalna itd.
Ekstremum: podstawa: wierzchołek paraboli $p=\frac{-b}{2a}$ ; rozszerzenie: pochodna, jej miejsca zerowe i zmiana znaku.
Sprawdzenie i odpowiedź: czy wynik leży w dziedzinie; podaj żądane wymiary/wartość.

Dlaczego wierzchołek

Funkcja kwadratowa z $a<0$ to parabola „w dół”: jej najwyższy punkt to wierzchołek. Dlatego maksymalne pole prostokąta o danym obwodzie (iloczyn $x(L-x)$ ) zawsze wychodzi dla kwadratu.

Pole prostokąta o obwodzie 20 jako funkcja boku x: maksimum 25 dla x = 5 (kwadrat).

Zapomniana dziedzina

Wynik spoza dziedziny (np. ujemna długość) jest fałszywy. Gdy wierzchołek nie należy do dziedziny, ekstremum leży na jej końcu (lub nie istnieje).

Optymalizacja z pochodnąR

Gdy funkcja celu jest wielomianem stopnia $\ge3$ lub funkcją wymierną:

oblicz $f'(x)$ ,
rozwiąż $f'(x)=0$ w dziedzinie,
zbadaj znak $f'$ : zmiana z $+$ na $-$ oznacza maksimum, z $-$ na $+$ minimum,
jeśli w dziedzinie jest jeden punkt krytyczny i jest ekstremum lokalnym, to jest to wartość największa (najmniejsza).

Na maturze rozszerzonej to zadanie za 6–7 punktów: każdy etap jest punktowany osobno.

Na maturze

Podstawa: zadanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową (3–4 pkt), np. pole, przychód, iloczyn. Rozszerzenie: zadanie z pochodną (6–7 pkt): bryły, figury wpisane, koszty.

Wzory

Wierzchołek paraboli

p=\frac{-b}{2a}

Argument, dla którego funkcja kwadratowa osiąga ekstremum.

Prostokąt o danym obwodzie

P(x)=x\left(\frac{L}{2}-x\right)

Największe pole ma kwadrat o boku $\frac L4$ .

Warunek ekstremum (pochodna)

f'(x_0)=0\ \land\ \text{zmiana znaku}

Punkt krytyczny i zmiana znaku pochodnej.

Walec o danej objętości

P(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}

Pole jako funkcja promienia ( $H=\frac{V}{\pi r^2}$ ).

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Bilet do kina kosztuje $20$ zł i przychodzi $300$ widzów. Każda obniżka ceny o $1$ zł zwiększa liczbę widzów o $30$ . Jaką cenę ustalić, aby przychód był największy?

Niech $x$ : obniżka w zł, $x\in\langle0,20)$ . Cena: $20-x$ , widzów: $300+30x$ .

R(x)=(20-x)(300+30x)=30(20-x)(10+x).

Przychód

R(x)=30(20-x)(10+x)

zależnie od obniżki

x

: parabola o ramionach w dół, największa wartość dla

x=5

(cena

15

zł).

Miejsca zerowe paraboli: $20$ i $-10$ , ramiona w dół; wierzchołek $p=\frac{20+(-10)}{2}=5\in\langle0,20)$ .
Cena $15$ zł, widzów $450$ , przychód $15\cdot450=6750$ zł.

Cena

15

zł (przychód

6750

zł).

Przykład 2

Z kwadratowego arkusza tektury o boku $12$ cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty i zaginamy brzegi, otrzymując otwarte pudełko. Jaki bok powinny mieć wycięte kwadraty, aby objętość pudełka była największa?

Z rogów arkusza wycinamy kwadraty o boku

x

i zaginamy brzegi wzdłuż linii przerywanych: dno ma bok

12-2x

, a wysokość pudełka to

x

Niech $x$ : bok wyciętego kwadratu, $x\in(0,6)$ . Pudełko: podstawa $(12-2x)^2$ , wysokość $x$ :

V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x.

$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$ .
W dziedzinie $(0,6)$ : $V'>0$ dla $x<2$ , $V'<0$ dla $2<x<6$ : maksimum w $x=2$ .

Objętość pudełka

V(x)=x(12-2x)^2

dla

x\in(0,6)

: największa dla

x=2

, wynosi

128\ \text{cm}^3

$V(2)=2\cdot64=128\ \text{cm}^3$ .

Wycinamy kwadraty o boku

2

cm;

V_{\max}=128\ \text{cm}^3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Spośród prostokątów o obwodzie $20$ największe pole ma prostokąt, którego pole jest równe

$20$
$100$
$25$
$24$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Boki to $x$ i $y$ . Obwód $2x+2y=20$ , więc $x+y=10$ i $y=10-x$ .

Pole jako funkcja jednej zmiennej:

P(x)=x(10-x)=-x^2+10x.

To parabola z ramionami w dół, maksimum ma w wierzchołku:

x=\frac{-10}{2\cdot(-1)}=5,\qquad y=5,\qquad P=25.

Zapamiętaj: przy stałym obwodzie największe pole ma kwadrat.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Suma dwóch liczb jest równa $10$ . Największa możliwa wartość ich iloczynu to

$25$
$24$
$50$
$100$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Liczby to $x$ i $10-x$ . Ich iloczyn:

I(x)=x(10-x)=-x^2+10x.

Parabola z ramionami w dół, maksimum w wierzchołku $x=\frac{-10}{-2}=5$ . Wtedy obie liczby to $5$ :

I=5\cdot5=25.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (3 pkt)

Ogrodnik ma $60$ m siatki i chce ogrodzić prostokątną działkę przylegającą jednym bokiem do muru (ten bok nie wymaga siatki). Jakie wymiary powinna mieć działka, aby jej pole było największe?

Odpowiedź: $15$ m $\times$ $30$ m (pole $450\ \text{m}^2$ )

Rozwiązanie

$P(x)=x(60-2x)=-2x^2+60x$ , $x\in(0,30)$ . $p=\frac{-60}{-4}=15$ . Wymiary: $15$ m i $30$ m, $P=450\ \text{m}^2$ .

15\times30

450\ \text{m}^2

Zadanie 4 (3 pkt)

Zysk firmy ze sprzedaży $x$ sztuk produktu opisuje funkcja $Z(x)=-2x^2+120x-1000$ (w zł). Ile sztuk należy sprzedać, aby zysk był największy, i ile wynosi ten zysk?

Odpowiedź: $30$ sztuk, zysk $800$ zł

Rozwiązanie

Zysk to funkcja kwadratowa z $a=-2<0$ , więc ramiona idą w dół, a największa wartość jest w wierzchołku.

Liczba sztuk (pierwsza współrzędna wierzchołka):

p=\frac{-b}{2a}=\frac{-120}{2\cdot(-2)}=30.

Zysk dla $30$ sztuk:

Z(30)=-2\cdot900+120\cdot30-1000=-1800+3600-1000=800.

Należy sprzedać $30$ sztuk, zysk wyniesie $800$ zł.

30

sztuk,

800

zł

Zadanie 5 (1 pkt)

Różnica dwóch liczb jest równa $8$ . Najmniejsza możliwa wartość ich iloczynu to

$0$
$-16$
$16$
$-8$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$f(x)=x(x+8)=x^2+8x$ , $p=-4$ , $f(-4)=-16$ (liczby $-4$ i $4$ ).

Odpowiedź B

Zadanie 6 (6 pkt)

Puszka w kształcie walca ma mieć objętość $54\pi\ \text{cm}^3$ . Jakie powinny być jej wymiary, aby zużyć jak najmniej blachy (najmniejsze pole powierzchni całkowitej)?

Odpowiedź: $r=3$ cm, $H=6$ cm (pole $54\pi\ \text{cm}^2$ )

Rozwiązanie

$H=\frac{54\pi}{\pi r^2}=\frac{54}{r^2}$ , $P(r)=2\pi r^2+\frac{108\pi}{r}$ , $r>0$ .
$P'(r)=4\pi r-\frac{108\pi}{r^2}=\frac{4\pi(r^3-27)}{r^2}$ : ujemna dla $r<3$ , dodatnia dla $r>3$ : minimum w $r=3$ .
$H=6$ , $P=18\pi+36\pi=54\pi$ .

r=3

cm,

H=6

Zadanie 7 (5 pkt)

W obszar ograniczony wykresem funkcji $y=12-x^2$ i osią $OX$ wpisujemy prostokąt, którego jeden bok leży na osi $OX$ , a dwa wierzchołki na wykresie. Wyznacz największe możliwe pole takiego prostokąta.

Odpowiedź: $32$

Rozwiązanie

Wierzchołki $(\pm x,0)$ , $(\pm x,12-x^2)$ : $P(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3$ .
$P'(x)=24-6x^2=0\Rightarrow x=2$ ; $P'$ zmienia znak z $+$ na $-$ : maksimum. $P(2)=4\cdot8=32$ .

32

Zadanie 8 (5 pkt)

Wyznacz punkt paraboli $y=x^2$ położony najbliżej punktu $A=(0,3)$ i oblicz tę najmniejszą odległość.

Odpowiedź: $\left(\pm\sqrt{\frac52},\frac52\right)$ , odległość $\frac{\sqrt{11}}{2}$

Rozwiązanie

$d^2=x^2+(x^2-3)^2=x^4-5x^2+9$ . Z $t=x^2\ge0$ : $g(t)=t^2-5t+9$ , minimum w $t=\frac52$ (wierzchołek).
$g\left(\frac52\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+9=\frac{11}{4}$ , więc $d=\frac{\sqrt{11}}{2}$ . Punkty: $x=\pm\sqrt{\frac52}$ , $y=\frac52$ .

\left(\pm\frac{\sqrt{10}}{2},\frac52\right)

d=\frac{\sqrt{11}}2

Zadanie 9 (4 pkt)

Spośród trójkątów prostokątnych o przeciwprostokątnej długości $10$ wyznacz ten, który ma największe pole.

Odpowiedź: równoramienny, przyprostokątne $5\sqrt2$ ; pole $25$

Rozwiązanie

$P=\frac12a\sqrt{100-a^2}$ , $a\in(0,10)$ . $P^2=\frac14(100t-t^2)$ , $t=a^2$ : max dla $t=50$ , czyli $a=5\sqrt2=b$ .
$P=\frac12\cdot50=25$ .

Trójkąt równoramienny o przyprostokątnych

5\sqrt2

;

P_{\max}=25

Zadanie 10 (3 pkt)

Bilet na koncert kosztuje $50$ zł i sprzedaje się $400$ biletów. Każda podwyżka o $5$ zł zmniejsza sprzedaż o $20$ biletów. Przy jakiej cenie przychód jest największy?

Odpowiedź: $75$ zł (przychód $22\,500$ zł)

Rozwiązanie

$n$ : liczba podwyżek: $R(n)=(50+5n)(400-20n)=100(10+n)(20-n)$ . Zera $-10$ i $20$ , wierzchołek $n=5$ .
Cena $75$ zł, biletów $300$ , przychód $22\,500$ zł.

Cena

75

zł, przychód

22\,500

zł

Inne tematy: Monotoniczność, ekstrema i wartości największe