Układy równań: teoria i zadania maturalne

Układy dwóch równań liniowych: metoda podstawiania i przeciwnych współczynników, interpretacja geometryczna (proste przecinające się, równoległe, pokrywające się), zadania tekstowe, a na rozszerzeniu: układy z równaniem kwadratowym.

Teoria

Układ równań liniowych

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Rozwiązaniem jest para liczb $(x,y)$ spełniająca oba równania jednocześnie.

Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą i wstaw do drugiego.

Metoda przeciwnych współczynników

Pomnóż równania tak, aby przy jednej niewiadomej współczynniki były liczbami przeciwnymi, i dodaj równania stronami.

Przykład:

\begin{cases}2x+3y=7\\3x-y=5\end{cases}

metodą podstawiania

Z drugiego równania wyznaczamy $y$ : $y=3x-5$ .
Wstawiamy do pierwszego: $2x+3(3x-5)=7$ , więc $11x=22$ i $x=2$ .
Wracamy po $y$ : $y=3\cdot2-5=1$ .

(x,y)=(2,1)

Przykład: ten sam układ metodą przeciwnych współczynników

Drugie równanie mnożymy przez $3$ : $9x-3y=15$ . Przy $y$ stoją teraz $3$ i $-3$ .
Dodajemy równania stronami, $y$ znika: $11x=22$ , więc $x=2$ .
Wstawiamy do drugiego: $3\cdot2-y=5$ , więc $y=1$ .

(x,y)=(2,1)

Interpretacja geometryczna

Każde równanie liniowe to prosta w układzie współrzędnych. Rozwiązanie układu to punkt wspólny prostych.

Proste przecinają się w punkcie (2, 1): to jedyne rozwiązanie układu.

Położenie prostych	Liczba rozwiązań	Nazwa układu
przecinają się	jedno	oznaczony
równoległe, różne	brak	sprzeczny
pokrywają się	nieskończenie wiele	nieoznaczony

Szybkie rozpoznanie

Zapisz oba równania w postaci $y=ax+b$ .
Różne $a$ : jedno rozwiązanie. Równe $a$ , różne $b$ : sprzeczny. Równe $a$ i $b$ : nieoznaczony.
Np. $\begin{cases}2x-y=3\\4x-2y=6\end{cases}$ : drugie to pierwsze razy $2$ , ta sama prosta, nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadania tekstowe

Dwie niewiadome: dwa równania. Typowe sytuacje: ceny biletów/produktów, mieszaniny, prędkości, wiek, liczby dwucyfrowe ( $10a+b$ ).

Przykład:

2

bilety normalne i

3

ulgowe kosztują

54

zł, a

1

normalny i

2

ulgowe

32

zł

Oznaczamy: $x$ to cena biletu normalnego, $y$ ulgowego.

\begin{cases}2x+3y=54\\x+2y=32\end{cases}

Z drugiego: $x=32-2y$ . Wstawiamy: $2(32-2y)+3y=54$ , więc $64-y=54$ i $y=10$ .
Wracamy po $x$ : $x=32-20=12$ .

normalny

12

zł, ulgowy

10

zł

Układy z równaniem kwadratowymR

Gdy jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe (np. prosta i parabola, prosta i okrąg), z liniowego wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawiamy do kwadratowego. Otrzymujemy równanie kwadratowe: $\Delta>0$ : dwa punkty wspólne, $\Delta=0$ : jeden (styczność), $\Delta<0$ : brak.
Np. $\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=1\end{cases}$ :
z liniowego $x=y+1$ , więc $(y+1)^2+y^2=25$ , czyli $y^2+y-12=0$ .
Stąd $y=3$ lub $y=-4$ . Rozwiązania: $(4,3)$ i $(-3,-4)$ .

Na maturze

Zadania zamknięte: rozwiązanie układu, liczba rozwiązań, odczyt z wykresu, para spełniająca układ. Zadania otwarte: zadania tekstowe prowadzące do układu. Rozszerzenie: układy z parametrem i z równaniem kwadratowym (często w geometrii analitycznej).

Wzory

Układ dwóch równań liniowych

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Rozwiązanie to para $(x,y)$ spełniająca oba równania: punkt przecięcia prostych.

Układ sprzeczny

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}

Proste równoległe, różne: brak rozwiązań (gdy współczynniki $a_2,b_2,c_2\neq0$ ).

Układ nieoznaczony

\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}

Jedno równanie jest wielokrotnością drugiego: nieskończenie wiele rozwiązań.

Układ oznaczony

\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}

Proste o różnych nachyleniach: dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Trzy bilety normalne i dwa ulgowe kosztują razem $68$ zł, a dwa normalne i trzy ulgowe: $62$ zł. Oblicz cenę biletu normalnego i ulgowego.

Niech $n$ : cena biletu normalnego, $u$ : ulgowego.

\begin{cases}3n+2u=68\\2n+3u=62\end{cases}

Dodajemy stronami: $5n+5u=130\Rightarrow n+u=26$ .
Odejmujemy stronami: $n-u=6$ .
Z układu $n+u=26$ , $n-u=6$ : $2n=32\Rightarrow n=16$ , $u=10$ .
Sprawdzenie: $48+20=68$ ✓, $32+30=62$ ✓.

Każde równanie to prosta; rozwiązaniem układu jest ich punkt wspólny

(16,10)

n=16

zł,

u=10

zł.

Bilet normalny

16

zł, ulgowy

10

zł.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań $\begin{cases}y=x^2\\y=2x+3\end{cases}$ i podaj interpretację geometryczną.

Porównujemy prawe strony: $x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0$ .
$\Delta=4+12=16$ , $x=\frac{2\pm4}{2}$ , czyli $x=3$ lub $x=-1$ .
Dla $x=3$ : $y=9$ ; dla $x=-1$ : $y=1$ .

Rozwiązania:

(3,9)

(-1,1)

: to punkty przecięcia paraboli

y=x^2

z prostą

y=2x+3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$ jest para

$(2,3)$
$(3,2)$
$(4,1)$
$(-3,-2)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Dodajemy: $2x=6\Rightarrow x=3$ , więc $y=2$ . Para $(2,3)$ nie spełnia drugiego równania ( $2-3=-1$ ).

Odpowiedź B:

(3,2)

Zadanie 2 (1 pkt)

Układ równań $\begin{cases}2x-y=3\\4x-2y=6\end{cases}$

nie ma rozwiązań
ma dokładnie jedno rozwiązanie
ma nieskończenie wiele rozwiązań
ma dokładnie dwa rozwiązania

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Drugie równanie po podzieleniu przez $2$ to $2x-y=3$ : identyczne z pierwszym. Obie proste się pokrywają.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Układ równań $\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=5\end{cases}$

jest sprzeczny
ma jedno rozwiązanie $(1,1)$
ma nieskończenie wiele rozwiązań
ma jedno rozwiązanie $(3,0)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pierwsze razy $2$ : $2x+4y=6$ , a drugie mówi $2x+4y=5$ . Ta sama lewa strona nie może być równa jednocześnie $6$ i $5$ : sprzeczność (proste równoległe).

Odpowiedź A

Zadanie 4 (2 pkt)

Rozwiąż układ równań $\begin{cases}3x+2y=12\\x-2y=-4\end{cases}$ .

Odpowiedź: $x=2$ , $y=3$

Rozwiązanie

Dodajemy: $4x=8\Rightarrow x=2$ . Z drugiego: $2-2y=-4\Rightarrow y=3$ .
Sprawdzenie: $6+6=12$ ✓, $2-6=-4$ ✓.

(x,y)=(2,3)

Zadanie 5 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykresy dwóch funkcji liniowych.

Rozwiązaniem układu równań odpowiadającego tym prostym jest para

$(1,2)$
$(2,1)$
$(0,3)$
$(0,-3)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Proste przecinają się w punkcie o $x=2$ i $y=1$ . (Można sprawdzić: $y=2x-3$ i $y=-x+3$ dają $2x-3=-x+3\Rightarrow x=2$ , $y=1$ .)

Odpowiedź B:

(2,1)

Zadanie 6 (2 pkt)

Liczba $a$ jest o $4$ większa od liczby $b$ , a $30\%$ liczby $a$ jest równe $40\%$ liczby $b$ . Wyznacz $a$ i $b$ .

Odpowiedź: $a=16$ , $b=12$

Rozwiązanie

$0{,}3(b+4)=0{,}4b\Rightarrow0{,}3b+1{,}2=0{,}4b\Rightarrow b=12$ , $a=16$ .
Sprawdzenie: $0{,}3\cdot16=4{,}8=0{,}4\cdot12$ ✓.

a=16

b=12

Zadanie 7 (1 pkt)

Układ równań $\begin{cases}x+ay=1\\2x+4y=3\end{cases}$ jest sprzeczny dla

$a=-2$
$a=4$
$a=2$
$a=\frac12$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Warunek równoległości: $\frac12=\frac a4\Rightarrow a=2$ . Wtedy $\frac{c_1}{c_2}=\frac13\neq\frac12$ , więc proste są różne: układ sprzeczny.
Sprawdzenie: dla $a=2$ pierwsze razy $2$ daje $2x+4y=2$ , a drugie $2x+4y=3$ : sprzeczność ✓.

Odpowiedź C:

a=2

Zadanie 8 (2 pkt)

W kasie jest $40$ monet o nominałach $2$ zł i $5$ zł o łącznej wartości $125$ zł. Ile jest monet każdego rodzaju?

Odpowiedź: $25$ monet dwuzłotowych i $15$ pięciozłotowych

Rozwiązanie

$\begin{cases}x+y=40\\2x+5y=125\end{cases}$ . $x=40-y\Rightarrow80-2y+5y=125\Rightarrow3y=45\Rightarrow y=15$ , $x=25$ .
Sprawdzenie: $50+75=125$ ✓.

25

monet po

2

zł i

15

monet po

5

zł.

Zadanie 9 (3 pkt)

Rozwiąż układ równań $\begin{cases}x^2+y^2=10\\x+y=4\end{cases}$ .

Odpowiedź: $(1,3)$ oraz $(3,1)$

Rozwiązanie

$y=4-x$ , więc $x^2+(4-x)^2=10\Rightarrow x^2+16-8x+x^2=10\Rightarrow2x^2-8x+6=0\Rightarrow x^2-4x+3=0$ .
$(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1\lor x=3$ . Wtedy $y=3$ lub $y=1$ .
Geometrycznie: prosta $x+y=4$ przecina okrąg $x^2+y^2=10$ w dwóch punktach.

(1,3)

(3,1)

Zadanie 10 (2 pkt)

Rozwiąż układ równań $\begin{cases}y=x^2-4\\y=-x+2\end{cases}$ .

Odpowiedź: $(2,0)$ oraz $(-3,5)$

Rozwiązanie

$x^2+x-6=0\Rightarrow(x+3)(x-2)=0\Rightarrow x=2\lor x=-3$ .
$x=2\Rightarrow y=0$ ; $x=-3\Rightarrow y=5$ .

(2,0)

(-3,5)

Inne tematy: Równania i nierówności liniowe · Równania i nierówności kwadratowe