Równania i nierówności kwadratowe: teoria i zadania maturalne

Wyróżnik $\Delta$ , wzory na pierwiastki, równania niepełne, rozkład trójmianu na czynniki i rozwiązywanie nierówności kwadratowych za pomocą szkicu paraboli: absolutny „must have” matury.

Teoria

Równanie kwadratowe

ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq0.

Równania niepełne: bez delty!

$c=0$ : $ax^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0\Rightarrow x=0\ \lor\ x=-\frac ba$ .
$b=0$ : $ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac ca$ .

Przykład:

x^2-7x=0

(brak

c

)

Wyciągamy $x$ przed nawias:
$x(x-7)=0$
Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem: $x=0$ albo $x=7$ .

x\in\{0,7\}

Przykład:

2x^2-18=0

(brak

b

)

Przenosimy liczbę i dzielimy przez $2$ : $x^2=9$ .
Pierwiastek z obu stron daje dwa wyniki: $x=3$ albo $x=-3$ .

x=\pm3

x^2=-4

nie miałoby rozwiązań)

Dzielenie przez

x

W równaniu $x^2=4x$ nie wolno podzielić przez $x$ (zgubisz rozwiązanie $x=0$ )! Poprawnie: $x^2-4x=0\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow x\in\{0,4\}$ .

Wyróżnik (delta)

\Delta=b^2-4ac

$\Delta$	liczba rozwiązań	wzory
$\Delta>0$	dwa	$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$
$\Delta=0$	jedno (podwójne)	$x_0=\frac{-b}{2a}$
$\Delta<0$	brak	:

Parabole

y=x^2-2x+c

dla

c=-3

1

3

: dwa miejsca zerowe (

\Delta>0

), jedno (

\Delta=0

) i żadnego (

\Delta<0

Przykład:

2x^2-5x-3=0

Odczytujemy współczynniki: $a=2$ , $b=-5$ , $c=-3$ .
Delta: $\Delta=b^2-4ac=25+24=49$ , więc $\sqrt\Delta=7$ .
$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5+7}{4}=3$

x\in\left\{-\frac12,\ 3\right\}

Postać iloczynowa (rozkład trójmianu)

Gdy $\Delta\ge0$ : $\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Przykład: rozłóż

2x^2-5x-3

Pierwiastki już znamy: $x_1=-\frac12$ , $x_2=3$ , a $a=2$ .
$2x^2-5x-3=2\left(x+\frac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3)$

Nierówności kwadratowe: metoda „parabolki”

Przenieś wszystko na jedną stronę: $ax^2+bx+c>0$ (lub $<,\ \ge,\ \le$ ).
Znajdź miejsca zerowe (deltą lub rozkładem).
Naszkicuj parabolę: ramiona w górę, gdy $a>0$ , w dół, gdy $a<0$ .
Odczytaj, gdzie wykres jest nad osią ( $>0$ ) lub pod osią ( $<0$ ). Przy $\ge,\le$ dołącz miejsca zerowe.

Przykład: rozwiąż

x^2-2x-3<0

Miejsca zerowe: $\Delta=4+12=16$ , więc $x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ , $x_2=\frac{2+4}{2}=3$ .
$a=1>0$ : ramiona w górę.
Szukamy, gdzie wykres jest pod osią: między pierwiastkami.

x\in(-1,\ 3)

y = (x + 1)(x − 3): wartości dodatnie dla x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞), ujemne dla x ∈ (−1, 3).

Zapamiętaj (dla

a>0

i dwóch pierwiastków

x_1<x_2

)

$>0$ : „na zewnątrz”: $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$ . $\ <0$ : „w środku”: $x\in(x_1,x_2)$ . Dla $a<0$ odwrotnie.

Przypadki szczególne

$\Delta=0$ , np. $x^2-6x+9=(x-3)^2$ : $(x-3)^2>0$ dla $x\neq3$ ; $(x-3)^2\le0$ tylko dla $x=3$ ; $(x-3)^2<0$ : brak rozwiązań.
$\Delta<0$ , np. $x^2+x+1$ : parabola cała nad osią, więc $x^2+x+1>0$ dla każdego $x$ , a $x^2+x+1<0$ nie ma rozwiązań.

Na maturze

Zawsze jest zadanie otwarte (2 pkt) „Rozwiąż nierówność kwadratową”. Punktacja: 1 pkt za poprawne pierwiastki, 1 pkt za zbiór rozwiązań. Zapisz wynik jako przedział lub sumę przedziałów, możesz dodać szkic paraboli.

Równania sprowadzalne do kwadratowychR

Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ , $t\ge0$ . Np. $x^4-5x^2+4=0\Rightarrow t^2-5t+4=0\Rightarrow t\in\{1,4\}\Rightarrow x\in\{-2,-1,1,2\}$ . Ujemne $t$ odrzucamy.

Wzory

Wyróżnik trójmianu

\Delta=b^2-4ac

Decyduje o liczbie rozwiązań równania kwadratowego.

Pierwiastki (Δ > 0)

x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Dwa różne rozwiązania równania $ax^2+bx+c=0$ .

Pierwiastek podwójny (Δ = 0)

x_0=\frac{-b}{2a}

Jedno rozwiązanie: wierzchołek paraboli leży na osi $OX$ .

Postać iloczynowa

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Rozkład trójmianu na czynniki (gdy $\Delta\ge0$ ). Ułatwia nierówności i skracanie ułamków.

Równanie niepełne (c = 0)

ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0

Wyłącz $x$ przed nawias: nie dziel przez $x$ !

Nierówność, a > 0, Δ > 0

a(x-x_1)(x-x_2)>0\iff x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)

Ramiona w górę: wartości dodatnie „na zewnątrz” pierwiastków, ujemne „w środku”.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż nierówność $2x^2-5x-3\ge0$ .

Miejsca zerowe: $\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49$ , $\sqrt\Delta=7$ .

x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{5+7}{4}=3.

Szkic: $a=2>0$ : ramiona w górę.

Odczyt: $\ge0$ : część paraboli nad osią lub na osi, czyli „na zewnątrz” pierwiastków, z pierwiastkami włącznie.

x\in\left(-\infty,-\frac12\right\rangle\cup\langle3,+\infty)

Przykład 2

Prostokąt ma pole $48\ \text{cm}^2$ , a jeden z jego boków jest o $2$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków.

Niech $x>0$ : krótszy bok, $x+2$ : dłuższy. Pole: $x(x+2)=48\Rightarrow x^2+2x-48=0$ .
$\Delta=4+192=196$ , $\sqrt\Delta=14$ , $x=\frac{-2\pm14}{2}$ , czyli $x=6$ lub $x=-8$ .
Długość boku jest dodatnia, więc $x=-8$ odrzucamy.

Boki mają długości

6

cm i

8

cm.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozwiązaniami równania $x^2-5x+6=0$ są liczby

$-2$ i $-3$
$2$ i $3$
$1$ i $6$
$-1$ i $6$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\Delta=25-24=1$ , $x=\frac{5\pm1}{2}$ , więc $x=2$ lub $x=3$ . Albo rozkład: $(x-2)(x-3)=0$ .

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania $x^2-7x=0$ jest

$\{7\}$
$\{-7,0\}$
$\{0,7\}$
$\{-\sqrt7,\sqrt7\}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$x(x-7)=0\Rightarrow x=0\lor x=7$ . Odpowiedź A gubi rozwiązanie $x=0$ (błąd dzielenia przez $x$ ).

Odpowiedź C:

\{0,7\}

Zadanie 3 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2-9<0$ jest

$(-3,3)$
$(-\infty,3)$
$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$
$(-9,9)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pierwiastki: $-3$ i $3$ ; $a=1>0$ ; $<0$ : między pierwiastkami: $x\in(-3,3)$ .
Błąd typowy: „ $x<3$ ” (B): pomija, że np. $x=-5$ daje $25-9>0$ .

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności $x^2\ge4x$ jest

$\langle4,+\infty)$
$(-\infty,0\rangle\cup\langle4,+\infty)$
$\langle0,4\rangle$
$(-\infty,4\rangle$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$x(x-4)\ge0$ : pierwiastki $0$ i $4$ , $a>0$ , więc „na zewnątrz” z końcami: $x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle4,+\infty)$ .
Odpowiedź A to efekt dzielenia przez $x$ (niedozwolone!).

Odpowiedź B

Zadanie 5 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $3x^2-2x-1\le0$ .

Odpowiedź: $x\in\left\langle-\frac13,1\right\rangle$

Rozwiązanie

$\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$ , $\sqrt\Delta=4$ .
$x_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13$ , $x_2=\frac{2+4}{6}=1$ .
$a=3>0$ (ramiona w górę), szukamy $\le0$ : między pierwiastkami, z pierwiastkami.

x\in\left\langle-\frac13,1\right\rangle

Zadanie 6 (1 pkt)

Równanie $x^2+4x+c=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy

$c=-4$
$c=16$
$c=2$
$c=4$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\Delta=16-4c=0\Rightarrow c=4$ . Wtedy $x^2+4x+4=(x+2)^2$ .

Odpowiedź D:

c=4

Zadanie 7 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+2)>2x-6$ .

Odpowiedź: $x\in(-\infty,0)\cup(3,+\infty)$

Rozwiązanie

$x^2-x-6>2x-6\Rightarrow x^2-3x>0\Rightarrow x(x-3)>0$ .
Pierwiastki $0$ i $3$ , $a>0$ , $>0$ : na zewnątrz, bez końców.
(Inny sposób: $2x-6=2(x-3)$ , więc $(x-3)(x+2)-2(x-3)>0\Rightarrow(x-3)\cdot x>0$ .)

x\in(-\infty,0)\cup(3,+\infty)

Zadanie 8 (1 pkt)

Równanie $x^2+x+1=0$

ma dwa rozwiązania dodatnie
nie ma rozwiązań rzeczywistych
ma jedno rozwiązanie
ma dwa rozwiązania ujemne

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\Delta=1-4=-3<0$ : brak rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź B

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $-2x^2+8>0$ .

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$

Rozwiązanie

$-2x^2>-8\ \big|:(-2)\Rightarrow x^2<4\Rightarrow-2<x<2$ .
Albo: pierwiastki $\pm2$ , $a=-2<0$ (ramiona w dół), więc dodatnie wartości między pierwiastkami.

x\in(-2,2)

Zadanie 10 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności $-x^2+6x-9\ge0$ jest

$\mathbb{R}$
$\varnothing$
$\{3\}$
$(-\infty,3\rangle$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$-x^2+6x-9=-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2$ . Ta liczba jest zawsze $\le0$ , a równa $0$ tylko dla $x=3$ . Zatem nierówność $\ge0$ spełnia tylko $x=3$ .

Odpowiedź C:

\{3\}

Zadanie 11 (2 pkt)

Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa $113$ . Wyznacz te liczby.

Odpowiedź: $7$ i $8$

Rozwiązanie

$n^2+n^2+2n+1=113\Rightarrow2n^2+2n-112=0\Rightarrow n^2+n-56=0$ .
$\Delta=1+224=225$ , $n=\frac{-1\pm15}{2}$ , czyli $n=7$ lub $n=-8$ . Liczba naturalna: $n=7$ .
Sprawdzenie: $49+64=113$ ✓.

7

8

Zadanie 12 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $x^4-5x^2+4=0$ .

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$

Rozwiązanie

$t=x^2\ge0$ : $t^2-5t+4=0\Rightarrow(t-1)(t-4)=0\Rightarrow t=1\lor t=4$ (oba nieujemne ✓).
$x^2=1\Rightarrow x=\pm1$ ; $\ x^2=4\Rightarrow x=\pm2$ .

x\in\{-2,-1,1,2\}

Inne tematy: Układy równań · Wzory Viète'a i równania kwadratowe z parametrem