Wzory Viète'a i równania kwadratowe z parametrem: teoria i zadania maturalne

Suma i iloczyn pierwiastków bez ich obliczania, wyrażenia symetryczne, warunki na znaki pierwiastków i klasyczne zadanie maturalne z parametrem $m$ (zwykle za 4–5 punktów).

Teoria

Wzory Viète'a

Jeśli równanie $ax^2+bx+c=0$ ( $a\neq0$ ) ma pierwiastki $x_1,x_2$ (czyli $\Delta\ge0$ ), to

x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1\cdot x_2=\frac ca.

Najpierw delta!

Wzory Viète'a działają tylko, gdy pierwiastki istnieją. W zadaniach z parametrem zawsze dopisz warunek $\Delta>0$ (dwa różne) lub $\Delta\ge0$ (dwa, być może równe).

Wyrażenia symetryczne: przez sumę i iloczyn

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ , $\ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$

Znaki pierwiastków

Chcemy	Warunki
dwa różne pierwiastki dodatnie	$\Delta>0,\ x_1x_2>0,\ x_1+x_2>0$
dwa różne pierwiastki ujemne	$\Delta>0,\ x_1x_2>0,\ x_1+x_2<0$
pierwiastki różnych znaków	$x_1x_2<0$ (wtedy $\Delta>0$ automatycznie)

Dwa pierwiastki dodatnie: parabola przecina oś

x

dwa razy (

\Delta>0

), oba razy na prawo od zera. Wtedy

x_1x_2>0

x_1+x_2>0

(wierzchołek leży na prawo od osi

y

Schemat zadania z parametrem

Współczynnik przy $x^2$ . Jeśli zależy od $m$ , rozważ osobno przypadek, gdy jest zerem (równanie staje się liniowe!).
Warunek na deltę: rozwiąż nierówność względem $m$ .
Warunek z treści: przełóż go na sumę i iloczyn (Viète) i rozwiąż.
Część wspólna wszystkich warunków: to odpowiedź.

Krótki przykład

Dla jakich $m$ równanie $x^2-5x+m=0$ ma pierwiastki różnych znaków? Wystarczy $x_1x_2=m<0$ . Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)$ .

Pułapka „jedno rozwiązanie”

Równanie $mx^2+4x+1=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie nie tylko dla $\Delta=0$ (czyli $m=4$ ), ale też dla $m=0$ : wtedy jest liniowe: $4x+1=0$ . Zapomnienie o $m=0$ kosztuje punkt.

Na maturze rozszerzonej

Zadanie z parametrem (4–5 pkt) jest niemal w każdym arkuszu. Punkty dostajesz osobno za: warunek na $\Delta$ , przekształcenie warunku z treści przez wzory Viète'a, rozwiązanie otrzymanej nierówności/równania i wyznaczenie części wspólnej. Pisz warunki w punktach: nawet niedokończone zadanie daje punkty częściowe.

Wzory

Suma pierwiastków

x_1+x_2=-\frac ba

Wzór Viète'a (gdy $\Delta\ge0$ ).

Iloczyn pierwiastków

x_1\cdot x_2=\frac ca

Wzór Viète'a (gdy $\Delta\ge0$ ). Znak iloczynu mówi, czy pierwiastki są tych samych znaków.

Suma kwadratów pierwiastków

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

Najczęstsze wyrażenie symetryczne w zadaniach z parametrem.

Suma odwrotności

\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}

Sprowadzenie do wspólnego mianownika.

Kwadrat różnicy pierwiastków

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{\Delta}{a^2}

Odległość pierwiastków: $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$ .

Suma sześcianów pierwiastków

x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)

Z rozwinięcia sześcianu sumy.

Pierwiastki dodatnie / ujemne

\Delta>0,\ x_1x_2>0,\ x_1+x_2\gtrless0

Dwa różne dodatnie: suma $>0$ ; dwa różne ujemne: suma $<0$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Współczynnik przy $x^2$ to $1\neq0$ : równanie zawsze kwadratowe.
Warunek 1: $\Delta>0$ . $\Delta=4m^2-4(m+2)=4(m^2-m-2)=4(m-2)(m+1)>0\Rightarrow m\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$ .
Warunek 2: $x_1x_2>0$ . $x_1x_2=m+2>0\Rightarrow m>-2$ .
Warunek 3: $x_1+x_2>0$ . $x_1+x_2=2m>0\Rightarrow m>0$ .
Część wspólna: z warunków 2 i 3: $m>0$ ; z warunkiem 1: $m>2$ .

m\in(2,+\infty)

Przykład 2

Wyznacz wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2+mx+m-1=0$ ma dwa pierwiastki spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=10$ .

Delta: $\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge0$ : pierwiastki istnieją dla każdego $m$ (dla $m=2$ : podwójny).
Viète: $x_1+x_2=-m$ , $x_1x_2=m-1$ .

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2(m-1)=m^2-2m+2.

Warunek: $m^2-2m+2=10\Rightarrow m^2-2m-8=0\Rightarrow(m-4)(m+2)=0$ .
Obie wartości dają $\Delta>0$ ( $\Delta=4$ i $\Delta=16$ ).

m=-2

lub

m=4

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Suma pierwiastków równania $2x^2-6x-5=0$ jest równa

$-3$
$3$
$-\frac52$
$6$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\Delta=36+40>0$ , więc pierwiastki istnieją. $x_1+x_2=-\frac{-6}{2}=3$ .

Odpowiedź B:

3

Zadanie 2 (1 pkt)

Iloczyn pierwiastków równania $3x^2+x-12=0$ jest równy

$4$
$-\frac13$
$-12$
$-4$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\Delta=1+144>0$ . $x_1x_2=\frac{-12}{3}=-4$ .

Odpowiedź D:

-4

Zadanie 3 (1 pkt)

Liczby $x_1$ , $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2-4x+1=0$ . Wartość wyrażenia $x_1^2+x_2^2$ jest równa

$16$
$18$
$14$
$15$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\Delta=16-4=12>0$ . $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14$ .

Odpowiedź C:

14

Zadanie 4 (2 pkt)

Liczby $x_1$ , $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2-6x+2=0$ . Oblicz $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ .

Odpowiedź: $3$

Rozwiązanie

$\Delta=36-8=28>0$ . $\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac62=3$ .

Wynik:

3

Zadanie 5 (1 pkt)

Równanie $x^2+bx+4=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

$b=4$
$b=-4$ lub $b=4$
$b=16$
$b=0$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$b^2-16=0\Rightarrow b=\pm4$ . Dla $b=4$ : $(x+2)^2$ , dla $b=-4$ : $(x-2)^2$ .

Odpowiedź B

Zadanie 6 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $mx^2+4x+1=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: $m\in\{0,4\}$

Rozwiązanie

Przypadek $m=0$ : $4x+1=0\Rightarrow x=-\frac14$ : dokładnie jedno rozwiązanie ✓.
Przypadek $m\neq0$ : równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie $\iff\Delta=0$ : $16-4m=0\Rightarrow m=4$ ✓.

m=0

lub

m=4

Zadanie 7 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2+(m+1)x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki ujemne.

Odpowiedź: $m\in(0,1)\cup(1,+\infty)$

Rozwiązanie

$\Delta>0$ : $\Delta=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2>0\iff m\neq1$ .
$x_1x_2>0$ : $m>0$ .
$x_1+x_2<0$ : $-(m+1)<0\iff m>-1$ .
Część wspólna: $m>0$ i $m\neq1$ .
(Kontrola: pierwiastki to $-1$ i $-m$ : oba ujemne i różne dokładnie dla $m>0$ , $m\neq1$ ✓.)

m\in(0,1)\cup(1,+\infty)

Zadanie 8 (4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których pierwiastki $x_1$ , $x_2$ równania $x^2+2mx+m^2-1=0$ spełniają warunek $x_1^2+x_2^2=10$ .

Odpowiedź: $m=-2$ lub $m=2$

Rozwiązanie

Delta: $\Delta=4m^2-4(m^2-1)=4>0$ dla każdego $m$ .
Viète: $x_1+x_2=-2m$ , $x_1x_2=m^2-1$ .
$x_1^2+x_2^2=4m^2-2(m^2-1)=2m^2+2$ .
Warunek: $2m^2+2=10\Rightarrow m^2=4\Rightarrow m=\pm2$ .

m=-2

lub

m=2

Zadanie 9 (1 pkt)

Równanie $x^2-5x+m=0$ ma dwa pierwiastki różnych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy

$m<0$
$m>0$
$m<\frac{25}{4}$
$0<m<\frac{25}{4}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$x_1x_2=\frac m1=m<0$ . (Wtedy $\Delta=25-4m>0$ automatycznie.)

Odpowiedź A:

m<0

Zadanie 10 (3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m-1)x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,1)\cup(1,2)$

Rozwiązanie

$a\neq0$ : $m\neq1$ (dla $m=1$ równanie jest liniowe i ma co najwyżej jedno rozwiązanie).
$\Delta>0$ : $\Delta=4m^2-4(m-1)(m+2)=4m^2-4(m^2+m-2)=4(2-m)>0\Rightarrow m<2$ .
Część wspólna: $m<2$ i $m\neq1$ .

m\in(-\infty,1)\cup(1,2)

Zadanie 11 (3 pkt)

Wyznacz wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2-mx+3=0$ ma dwa pierwiastki, których odległość na osi liczbowej jest równa $2$ .

Odpowiedź: $m=-4$ lub $m=4$

Rozwiązanie

Delta: $\Delta=m^2-12>0\iff|m|>2\sqrt3$ .
Warunek: $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=m^2-12=4\Rightarrow m^2=16\Rightarrow m=\pm4$ .
$|\pm4|=4>2\sqrt3\approx3{,}46$ ✓. (Dla $m=4$ pierwiastki to $1$ i $3$ .)

m=-4

lub

m=4

Inne tematy: Równania i nierówności kwadratowe · Równania i nierówności wielomianowe