Dział 3. Równania i nierówności

Równania i nierówności wielomianowe: teoria i zadania maturalne

Równania wielomianowe rozwiązywane przez rozkład na czynniki (podstawa) oraz nierówności wielomianowe metodą „wężyka”, z uwzględnieniem krotności pierwiastków (rozszerzenie).

Teoria

Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej

Kluczowa zasada: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.

(x−2)(x+5)(2x−1)=0  ⟺  x=2 ∨ x=−5 ∨ x=12.(x-2)(x+5)(2x-1)=0\iff x=2\ \lor\ x=-5\ \lor\ x=\tfrac12.

Czynnik bez pierwiastków (np. x2+1x^2+1) nie daje rozwiązań.

Sprowadzanie do postaci iloczynowej

  1. Wyłączanie wspólnego czynnika: x3−9x=x(x2−9)=x(x−3)(x+3)x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3).
  2. Grupowanie: x3+2x2−9x−18=x2(x+2)−9(x+2)=(x+2)(x−3)(x+3)x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x-3)(x+3).
  3. Wzory skróconego mnożenia: x4−16=(x2−4)(x2+4)=(x−2)(x+2)(x2+4)x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4).
  4. (R) Twierdzenie Bezouta i schemat Hornera: gdy powyższe nie działają: szukaj pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego.
Dzielenie przez wyrażenie z xx

W równaniu x3=4xx^3=4x nie dziel przez xx! Poprawnie: x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0⇒x∈{−2,0,2}x^3-4x=0\Rightarrow x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x\in\{-2,0,2\}.

Nierówności wielomianowe: metoda „wężyka”R
  1. Przenieś wszystko na jedną stronę i rozłóż wielomian na czynniki.
  2. Zaznacz pierwiastki na osi liczbowej.
  3. Rysuj linię znaku od prawej strony: zaczynasz nad osią, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni (pod osią: gdy ujemny).
  4. Przy pierwiastku nieparzystej krotności linia przechodzi przez oś, przy parzystej: odbija się (nie zmienia znaku).
  5. Odczytaj przedziały nad osią (>0>0) lub pod osią (<0<0); przy ≥,≤\ge,\le dołącz pierwiastki.
xy−3−2−11234−15−10−5510150W(x)
W(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 3): przy x = 1 (pierwiastek podwójny) wykres odbija się od osi, przy −2 i 3 przechodzi na drugą stronę.
Odczyt z „wężyka”

Dla W(x)=(x+2)(x−1)2(x−3)W(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3): W(x)>0W(x)>0 dla x∈(−∞,−2)∪(3,+∞)x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty), W(x)<0W(x)<0 dla x∈(−2,1)∪(1,3)x\in(-2,1)\cup(1,3), a W(x)≤0W(x)\le0 dla x∈⟨−2,3⟩x\in\langle-2,3\rangle.

Na maturze

Podstawa: równanie wielomianowe stopnia 3 do rozwiązania grupowaniem (zadanie otwarte za 2–3 pkt). Rozszerzenie: nierówności wielomianowe, równania wymagające twierdzenia Bezouta, wielomiany z parametrem.

Wzory

Iloczyn równy zero

A⋅B⋅C=0  ⟺  A=0∨B=0∨C=0A\cdot B\cdot C=0\iff A=0\lor B=0\lor C=0

Podstawa rozwiązywania równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

Grupowanie wyrazów

x3+ax2+bx+ab=(x+a)(x2+b)x^3+ax^2+bx+ab=(x+a)(x^2+b)

Typowy układ współczynników, przy którym działa grupowanie.

Zmiana znaku przy pierwiastku

(x−a)k: k nieparzyste⇒zmiana znaku(x-a)^k:\ k\ \text{nieparzyste}\Rightarrow\text{zmiana znaku}

Przy pierwiastku krotności parzystej wielomian nie zmienia znaku („odbicie”).

Znak dla dużych x

sgn W(x)=sgn an dla x→+∞\text{sgn}\,W(x)=\text{sgn}\,a_n\ \text{dla}\ x\to+\infty

Od prawej strony wężyk zaczyna się nad osią, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż równanie x3+2x2−9x−18=0x^3+2x^2-9x-18=0.

Grupowanie:

x2(x+2)−9(x+2)=0 ⇒ (x+2)(x2−9)=0 ⇒ (x+2)(x−3)(x+3)=0.x^2(x+2)-9(x+2)=0\ \Rightarrow\ (x+2)(x^2-9)=0\ \Rightarrow\ (x+2)(x-3)(x+3)=0.

Każdy czynnik przyrównujemy do zera: x=−2x=-2, x=3x=3, x=−3x=-3.

xy−4−3−2−11234−24−18−12−66120y = x³ + 2x² − 9x − 18
Rozwiązania równania to miejsca zerowe wykresu lewej strony: −3-3, −2-2 i 33.
x∈{−3,−2,3}x\in\{-3,-2,3\}

Przykład 2

Rozwiąż nierówność x3−3x2−4x+12≥0x^3-3x^2-4x+12\ge0.

Rozkład: x2(x−3)−4(x−3)=(x−3)(x2−4)=(x−3)(x−2)(x+2)x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2).
Pierwiastki (wszystkie jednokrotne): −2, 2, 3-2,\ 2,\ 3. Współczynnik przy x3x^3 dodatni: wężyk zaczyna od prawej nad osią.

xy−3−2−11234−6−5−4−3−2−1123456780−223

Znaki: (3,∞)(3,\infty): ++; (2,3)(2,3): −-; (−2,2)(-2,2): ++; (−∞,−2)(-\infty,-2): −-.

x∈⟨−2,2⟩∪⟨3,+∞)x\in\langle-2,2\rangle\cup\langle3,+\infty)

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania (x−2)(x+5)(2x−1)=0(x-2)(x+5)(2x-1)=0 jest

  1. {−2,5,−1}\{-2,5,-1\}
  2. {2,−5,1}\{2,-5,1\}
  3. {2,−5,12}\{2,-5,\frac12\}
  4. {−2,5,−12}\{-2,5,-\frac12\}

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

x−2=0⇒x=2x-2=0\Rightarrow x=2; x+5=0⇒x=−5x+5=0\Rightarrow x=-5; 2x−1=0⇒x=122x-1=0\Rightarrow x=\frac12.

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Równanie x(x2−4)(x2+1)=0x(x^2-4)(x^2+1)=0 ma dokładnie

  1. 55 rozwiązań
  2. 33 rozwiązania
  3. 22 rozwiązania
  4. 11 rozwiązanie

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

x=0x=0, x=2x=2, x=−2x=-2; czynnik x2+1x^2+1 nie daje rozwiązań. Razem 33.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania x3−9x=0x^3-9x=0 jest

  1. {−3,0,3}\{-3,0,3\}
  2. {3}\{3\}
  3. {−3,3}\{-3,3\}
  4. {0,9}\{0,9\}

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

x(x−3)(x+3)=0⇒x∈{−3,0,3}x(x-3)(x+3)=0\Rightarrow x\in\{-3,0,3\}. (Odpowiedź C: skutek dzielenia przez xx.)

Odpowiedź A

Zadanie 4 (2 pkt)

Rozwiąż równanie x3−2x2−3x+6=0x^3-2x^2-3x+6=0.

Odpowiedź: x∈{2,−3,3}x\in\{2,-\sqrt3,\sqrt3\}

Rozwiązanie

x2(x−2)−3(x−2)=(x−2)(x2−3)=(x−2)(x−3)(x+3)=0x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)=(x-2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0.

x∈{−3,3,2}x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}

Zadanie 5 (2 pkt)

Rozwiąż równanie 4x3−4x2−x+1=04x^3-4x^2-x+1=0.

Odpowiedź: x∈{−12,12,1}x\in\{-\frac12,\frac12,1\}

Rozwiązanie

4x2(x−1)−1⋅(x−1)=(x−1)(4x2−1)=(x−1)(2x−1)(2x+1)=04x^2(x-1)-1\cdot(x-1)=(x-1)(4x^2-1)=(x-1)(2x-1)(2x+1)=0.

x∈{−12,12,1}x\in\{-\frac12,\frac12,1\}

Zadanie 6 (1 pkt)

Równanie x4−16=0x^4-16=0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych

  1. 44 rozwiązania
  2. 11 rozwiązanie
  3. 22 rozwiązania
  4. 00 rozwiązań

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

(x−2)(x+2)(x2+4)=0(x-2)(x+2)(x^2+4)=0. Czynnik x2+4x^2+4 nie ma pierwiastków, więc rozwiązania to ±2\pm2: dwa.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Rozwiąż równanie x4−2x3−x+2=0x^4-2x^3-x+2=0.

Odpowiedź: x∈{1,2}x\in\{1,2\}

Rozwiązanie

x3(x−2)−(x−2)=(x−2)(x3−1)=(x−2)(x−1)(x2+x+1)x^3(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^3-1)=(x-2)(x-1)(x^2+x+1).
x2+x+1x^2+x+1: Δ=1−4<0\Delta=1-4<0: brak pierwiastków.

x∈{1,2}x\in\{1,2\}

Zadanie 8 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x(x−2)(x+3)>0x(x-2)(x+3)>0 jest

  1. (−3,0)∪(2,+∞)(-3,0)\cup(2,+\infty)
  2. (−∞,−3)∪(0,2)(-\infty,-3)\cup(0,2)
  3. (2,+∞)(2,+\infty)
  4. (−3,2)(-3,2)

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pierwiastki jednokrotne: −3,0,2-3,0,2. Znaki od prawej: (2,∞) +(2,\infty)\ +, (0,2) −(0,2)\ -, (−3,0) +(-3,0)\ +, (−∞,−3) −(-\infty,-3)\ -.
>0>0: (−3,0)∪(2,+∞)(-3,0)\cup(2,+\infty).

Odpowiedź A

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność x3+x2−4x−4<0x^3+x^2-4x-4<0.

Odpowiedź: x∈(−∞,−2)∪(−1,2)x\in(-\infty,-2)\cup(-1,2)

Rozwiązanie

(x+1)(x−2)(x+2)<0(x+1)(x-2)(x+2)<0. Pierwiastki: −2,−1,2-2,-1,2. Znaki od prawej: (2,∞) +(2,\infty)\ +, (−1,2) −(-1,2)\ -, (−2,−1) +(-2,-1)\ +, (−∞,−2) −(-\infty,-2)\ -.

x∈(−∞,−2)∪(−1,2)x\in(-\infty,-2)\cup(-1,2)

Zadanie 10 (3 pkt)

Rozwiąż nierówność (x−1)2(x+2)(x−4)≤0(x-1)^2(x+2)(x-4)\le0.

Odpowiedź: x∈⟨−2,4⟩x\in\langle-2,4\rangle

Rozwiązanie

Znaki od prawej (współczynnik przy x4x^4 dodatni): (4,∞) +(4,\infty)\ +, (1,4) −(1,4)\ -, przy x=1x=1 odbicie: (−2,1) −(-2,1)\ -, (−∞,−2) +(-\infty,-2)\ +.
≤0\le0: ⟨−2,1⟩∪⟨1,4⟩=⟨−2,4⟩\langle-2,1\rangle\cup\langle1,4\rangle=\langle-2,4\rangle (liczba 11 też, bo W(1)=0W(1)=0).

x∈⟨−2,4⟩x\in\langle-2,4\rangle

Zadanie 11 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność x3−7x+6≤0x^3-7x+6\le0.

Odpowiedź: x∈(−∞,−3⟩∪⟨1,2⟩x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle1,2\rangle

Rozwiązanie

W(1)=1−7+6=0W(1)=1-7+6=0, Horner (współczynniki 1,0,−7,61,0,-7,6; a=1a=1): 1,1,−6,01,1,-6,0, więc W(x)=(x−1)(x2+x−6)=(x−1)(x−2)(x+3)W(x)=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).
Pierwiastki: −3,1,2-3,1,2. Znaki od prawej: (2,∞) +(2,\infty)\ +, (1,2) −(1,2)\ -, (−3,1) +(-3,1)\ +, (−∞,−3) −(-\infty,-3)\ -.

x∈(−∞,−3⟩∪⟨1,2⟩x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle1,2\rangle

Inne tematy: Wzory Viète'a i równania kwadratowe z parametrem · Równania i nierówności wymierne