Dział 3. Równania i nierówności

Równania i nierówności wymierne: teoria i zadania maturalne

Równania z niewiadomą w mianowniku: dziedzina, warunek „licznik zero, mianownik nie”, a na rozszerzeniu ogólne równania i nierówności wymierne oraz zadania tekstowe (prędkość, czas, praca).

Teoria

Zawsze zaczynamy od dziedziny

Mianownik nie może być zerem. Wyznacz liczby wykluczone przed rozwiązywaniem: na końcu odrzucisz rozwiązania spoza dziedziny.

Równanie typu V(x)W(x)=0\frac{V(x)}{W(x)}=0

V(x)W(x)=0  ⟺  V(x)=0 ∧ W(x)≠0.\frac{V(x)}{W(x)}=0\iff V(x)=0\ \land\ W(x)\neq0.

Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik nie).

Równanie z podstawy

(x−1)(x+3)x2−9=0\frac{(x-1)(x+3)}{x^2-9}=0. Dziedzina: x2−9≠0⇒x≠±3x^2-9\neq0\Rightarrow x\neq\pm3. Licznik: x=1x=1 lub x=−3x=-3. Ale −3∉D-3\notin D, więc jedynym rozwiązaniem jest x=1x=1.

Ogólne równania wymierneR

Przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika, albo pomnóż obie strony przez wspólny mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest on różny od zera). Np. x+6x=5x+\frac6x=5 dla x≠0x\neq0: x2+6=5x⇒x2−5x+6=0⇒x∈{2,3}x^2+6=5x\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x\in\{2,3\}.

Nierówności wymierneR

Nie mnożymy nierówności przez mianownik zawierający xx: jego znak jest nieznany! Postępujemy tak:

  1. Dziedzina.
  2. Wszystko na jedną stronę, wspólny mianownik: V(x)W(x)≷0\frac{V(x)}{W(x)}\gtrless0.
  3. Zamiana: VW>0  ⟺  V⋅W>0\frac{V}{W}>0\iff V\cdot W>0 (bo iloraz i iloczyn mają ten sam znak).
  4. Rozwiązanie nierówności wielomianowej (wężyk) z wyłączeniem pierwiastków mianownika.

Np. x+1x−2≤2⇒x+1−2(x−2)x−2≤0⇒−x+5x−2≤0⇒x−5x−2≥0⇒(x−5)(x−2)≥0 ∧ x≠2\frac{x+1}{x-2}\le2\Rightarrow\frac{x+1-2(x-2)}{x-2}\le0\Rightarrow\frac{-x+5}{x-2}\le0\Rightarrow\frac{x-5}{x-2}\ge0\Rightarrow(x-5)(x-2)\ge0\ \land\ x\neq2, czyli x∈(−∞,2)∪⟨5,+∞)x\in(-\infty,2)\cup\langle5,+\infty).

Mnożenie „na krzyż” w nierównościach

1x≥1x−2\frac1x\ge\frac{1}{x-2}: pomnożenie na krzyż daje fałszywy wynik. Poprawnie: 1x−1x−2≥0⇒−2x(x−2)≥0⇒x(x−2)<0⇒x∈(0,2)\frac1x-\frac{1}{x-2}\ge0\Rightarrow\frac{-2}{x(x-2)}\ge0\Rightarrow x(x-2)<0\Rightarrow x\in(0,2).

Zadania tekstowe: ruch i praca

Na maturze

Podstawa: równania postaci V(x)W(x)=0\frac{V(x)}{W(x)}=0 (pułapka: rozwiązanie spoza dziedziny). Rozszerzenie: nierówności wymierne, równania z parametrem, zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych.

Wzory

Równanie ułamkowe równe zero

V(x)W(x)=0  ⟺  V(x)=0∧W(x)≠0\frac{V(x)}{W(x)}=0\iff V(x)=0\land W(x)\neq0

Licznik zero, mianownik niezerowy: sprawdzaj dziedzinę!

Iloraz a iloczyn (znak)

VW>0  ⟺  V⋅W>0\frac VW>0\iff V\cdot W>0

Iloraz i iloczyn mają ten sam znak: zamieniamy nierówność wymierną na wielomianową (dziedzina!).

Droga, prędkość, czas

s=v⋅t,t=svs=v\cdot t,\qquad t=\frac sv

Podstawa zadań „o ruchu”: czasy przy różnych prędkościach dają równanie wymierne.

Wydajność pracy

1t1+1t2=1t\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac1t

Dwie osoby wykonujące pracę w czasie t1t_1 i t2t_2 razem robią ją w czasie tt.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż równanie (x−1)(x+3)x2−9=0\dfrac{(x-1)(x+3)}{x^2-9}=0.

Dziedzina: x2−9≠0⇒x≠3x^2-9\neq0\Rightarrow x\neq3 i x≠−3x\neq-3.
Licznik równy zero: (x−1)(x+3)=0⇒x=1(x-1)(x+3)=0\Rightarrow x=1 lub x=−3x=-3.
Sprawdzenie dziedziny: −3∉D-3\notin D: odrzucamy.

xy−6−4−2246−4−22460x = 3x = 1
Lewa strona to x−1x−3\frac{x-1}{x-3} z „dziurą” w x=−3x=-3 (poza dziedziną), więc jej wykres przecina oś xx tylko w x=1x=1.
x=1x=1

Przykład 2

Rowerzysta pokonał trasę długości 6060 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 55 km/h większą, przejechałby ją w czasie o 11 godzinę krótszym. Oblicz średnią prędkość rowerzysty.

Niech v>0v>0: prędkość (km/h). Czas: 60v\frac{60}{v}, przy większej prędkości 60v+5\frac{60}{v+5}.

60v−60v+5=1 ∣⋅v(v+5)⇒60(v+5)−60v=v(v+5)⇒v2+5v−300=0.\frac{60}{v}-\frac{60}{v+5}=1\ \Big|\cdot v(v+5)\Rightarrow60(v+5)-60v=v(v+5)\Rightarrow v^2+5v-300=0.

Δ=25+1200=1225\Delta=25+1200=1225, Δ=35\sqrt\Delta=35, v=−5+352=15v=\frac{-5+35}{2}=15 (ujemne rozwiązanie odrzucamy).
Sprawdzenie: 6015=4\frac{60}{15}=4 h, 6020=3\frac{60}{20}=3 h: różnica 11 h ✓.

Średnia prędkość: 1515 km/h.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozwiązaniem równania x+4x−1=0\dfrac{x+4}{x-1}=0 jest

  1. x=1x=1
  2. x=−4x=-4
  3. x=−4x=-4 lub x=1x=1
  4. równanie nie ma rozwiązań

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

x+4=0⇒x=−4x+4=0\Rightarrow x=-4, a −4≠1-4\neq1 (mianownik niezerowy).

Odpowiedź B: x=−4x=-4

Zadanie 2 (1 pkt)

Równanie x2−9x+3=0\dfrac{x^2-9}{x+3}=0

  1. ma dwa rozwiązania: −3-3 i 33
  2. ma jedno rozwiązanie: 33
  3. ma jedno rozwiązanie: −3-3
  4. nie ma rozwiązań

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

D: x≠−3D:\ x\neq-3. Licznik: x=±3x=\pm3. Zostaje tylko x=3x=3.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania x(x−5)(x−5)(x+1)=0\dfrac{x(x-5)}{(x-5)(x+1)}=0 jest

  1. {0,5}\{0,5\}
  2. {5}\{5\}
  3. {0}\{0\}
  4. {−1,0}\{-1,0\}

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

D=R∖{−1,5}D=\mathbb{R}\setminus\{-1,5\}. Licznik: x=0x=0 lub x=5x=5; 5∉D5\notin D. Zostaje x=0x=0.

Odpowiedź C: {0}\{0\}

Zadanie 4 (2 pkt)

Rozwiąż równanie (x2−1)(x+2)x2+2x=0\dfrac{(x^2-1)(x+2)}{x^2+2x}=0.

Odpowiedź: x∈{−1,1}x\in\{-1,1\}

Rozwiązanie

Dziedzina: x(x+2)≠0⇒x≠0x(x+2)\neq0\Rightarrow x\neq0, x≠−2x\neq-2.
Licznik: (x−1)(x+1)(x+2)=0⇒x∈{1,−1,−2}(x-1)(x+1)(x+2)=0\Rightarrow x\in\{1,-1,-2\}; −2∉D-2\notin D.

x∈{−1,1}x\in\{-1,1\}

Zadanie 5 (1 pkt)

Liczba rozwiązań równania x2−xx−1=0\dfrac{x^2-x}{x-1}=0 jest równa

  1. 00
  2. 11
  3. 22
  4. 33

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Licznik: x=0x=0 lub x=1x=1; 1∉D1\notin D. Jedno rozwiązanie: x=0x=0.

Odpowiedź B: 11

Zadanie 6 (2 pkt)

Rozwiąż równanie 3x−1=2x+1\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}.

Odpowiedź: x=−5x=-5

Rozwiązanie

D: x≠1, x≠−1D:\ x\neq1,\ x\neq-1. 3(x+1)=2(x−1)⇒3x+3=2x−2⇒x=−5∈D3(x+1)=2(x-1)\Rightarrow3x+3=2x-2\Rightarrow x=-5\in D.
Sprawdzenie: 3−6=−12\frac{3}{-6}=-\frac12, 2−4=−12\frac{2}{-4}=-\frac12 ✓.

x=−5x=-5

Zadanie 7 (2 pkt)

Rozwiąż równanie x+6x=5x+\dfrac6x=5.

Odpowiedź: x∈{2,3}x\in\{2,3\}

Rozwiązanie

D: x≠0D:\ x\neq0. Mnożymy przez xx: x2+6=5x⇒x2−5x+6=0⇒(x−2)(x−3)=0x^2+6=5x\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow(x-2)(x-3)=0.

x∈{2,3}x\in\{2,3\}

Zadanie 8 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności x−3x+1<0\dfrac{x-3}{x+1}<0 jest

  1. (−∞,−1)∪(3,+∞)(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)
  2. (−1,3⟩(-1,3\rangle
  3. (−1,3)(-1,3)
  4. (−∞,3)(-\infty,3)

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

(x−3)(x+1)<0  ⟺  x∈(−1,3)(x-3)(x+1)<0\iff x\in(-1,3); x=−1x=-1 i tak wyklucza dziedzina.

Odpowiedź C

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x−1x+3≥1\dfrac{2x-1}{x+3}\ge1.

Odpowiedź: x∈(−∞,−3)∪⟨4,+∞)x\in(-\infty,-3)\cup\langle4,+\infty)

Rozwiązanie

D: x≠−3D:\ x\neq-3. 2x−1−(x+3)x+3≥0⇒x−4x+3≥0⇒(x−4)(x+3)≥0∧x≠−3\frac{2x-1-(x+3)}{x+3}\ge0\Rightarrow\frac{x-4}{x+3}\ge0\Rightarrow(x-4)(x+3)\ge0\land x\neq-3.
Parabola ramionami w górę, pierwiastki −3-3 i 44: na zewnątrz, −3-3 wykluczone.

x∈(−∞,−3)∪⟨4,+∞)x\in(-\infty,-3)\cup\langle4,+\infty)

Zadanie 10 (3 pkt)

Rozwiąż nierówność 1x≥1x−2\dfrac1x\ge\dfrac{1}{x-2}.

Odpowiedź: x∈(0,2)x\in(0,2)

Rozwiązanie

D: x≠0, x≠2D:\ x\neq0,\ x\neq2.

1x−1x−2≥0⇒−2x(x−2)≥0.\frac1x-\frac{1}{x-2}\ge0\Rightarrow\frac{-2}{x(x-2)}\ge0.

Licznik −2<0-2<0, więc ułamek jest nieujemny   ⟺  \iff mianownik ujemny: x(x−2)<0  ⟺  x∈(0,2)x(x-2)<0\iff x\in(0,2). (Równości =0=0 nie ma, bo licznik ≠0\neq0.)

x∈(0,2)x\in(0,2)

Zadanie 11 (3 pkt)

Dwie koparki, pracując razem, wykonują wykop w ciągu 66 godzin. Pierwsza koparka, pracując sama, wykonałaby go o 55 godzin szybciej niż druga pracująca sama. W ciągu ilu godzin każda z koparek wykonałaby wykop, pracując sama?

Odpowiedź: Pierwsza w 1010 h, druga w 1515 h

Rozwiązanie

1t+1t+5=16 ∣⋅6t(t+5)⇒6(t+5)+6t=t(t+5)⇒t2−7t−30=0\frac1t+\frac{1}{t+5}=\frac16\ \big|\cdot6t(t+5)\Rightarrow6(t+5)+6t=t(t+5)\Rightarrow t^2-7t-30=0.
Δ=49+120=169\Delta=49+120=169, t=7+132=10t=\frac{7+13}{2}=10 (drugie rozwiązanie −3-3 odrzucamy).
Sprawdzenie: 110+115=3+230=16\frac1{10}+\frac1{15}=\frac{3+2}{30}=\frac16 ✓.

Pierwsza koparka: 1010 h, druga: 1515 h.

Inne tematy: Równania i nierówności wielomianowe · Równania i nierówności z wartością bezwzględną