Dział 3. Równania i nierówności

Równania i nierówności z wartością bezwzględną: teoria i zadania maturalne

Metoda przedziałów dla kilku wartości bezwzględnych, równania „moduł w module” i nierówności typu ∣x+3∣+∣x−5∣>12|x+3|+|x-5|>12: klasyka matury rozszerzonej.

Teoria

Przypomnienie

∣a∣=a|a|=a dla a≥0a\ge0, ∣a∣=−a|a|=-a dla a<0a<0;  ∣x−a∣\ |x-a|: odległość xx od aa. Proste przypadki: ∣x−a∣=r|x-a|=r, ∣x−a∣<r|x-a|<r, ∣x−a∣>r|x-a|>r: patrz temat „Przedziały i wartość bezwzględna”.

Metoda przedziałów (kilka modułów)

  1. Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod modułami.
  2. Podziel nimi oś na przedziały.
  3. W każdym przedziale opuść moduły z odpowiednim znakiem (sprawdź znak wyrażenia, wstawiając dowolną liczbę z przedziału).
  4. Rozwiąż równanie/nierówność w danym przedziale i weź część wspólną z tym przedziałem.
  5. Odpowiedź to suma wyników ze wszystkich przedziałów.
∣x+3∣+∣x−5∣>12|x+3|+|x-5|>12

Miejsca zerowe: −3-3 i 55.

  • x<−3x<-3: −(x+3)−(x−5)=−2x+2>12⇒x<−5-(x+3)-(x-5)=-2x+2>12\Rightarrow x<-5. Część wspólna: x<−5x<-5.
  • −3≤x<5-3\le x<5: (x+3)−(x−5)=8>12(x+3)-(x-5)=8>12: fałsz, brak rozwiązań.
  • x≥5x\ge5: (x+3)+(x−5)=2x−2>12⇒x>7(x+3)+(x-5)=2x-2>12\Rightarrow x>7.

Odpowiedź: x∈(−∞,−5)∪(7,+∞)x\in(-\infty,-5)\cup(7,+\infty).

Interpretacja geometryczna sumy modułów

∣x+3∣+∣x−5∣|x+3|+|x-5| to suma odległości xx od −3-3 i od 55. Dla xx między nimi suma jest stała i równa 88 (odległość −3-3 od 55). Dlatego np. ∣x∣+∣x−4∣=4|x|+|x-4|=4 spełnia cały przedział ⟨0,4⟩\langle0,4\rangle.

Moduł w module

Opuszczamy moduły „od zewnątrz”: ∣∣x+1∣−2∣=3  ⟺  ∣x+1∣−2=3 ∨ ∣x+1∣−2=−3  ⟺  ∣x+1∣=5 ∨ ∣x+1∣=−1\big||x+1|-2\big|=3\iff|x+1|-2=3\ \lor\ |x+1|-2=-3\iff|x+1|=5\ \lor\ |x+1|=-1. Drugie nie ma rozwiązań, pierwsze daje x=4x=4 lub x=−6x=-6.

Równanie ∣f(x)∣=g(x)|f(x)|=g(x)

Warunek konieczny: g(x)≥0g(x)\ge0. Wtedy f(x)=g(x) ∨ f(x)=−g(x)f(x)=g(x)\ \lor\ f(x)=-g(x). Rozwiązania sprawdzamy z warunkiem.

Porównanie dwóch modułów

∣A∣>∣B∣  ⟺  A2>B2|A|>|B|\iff A^2>B^2 (obie strony nieujemne, więc wolno podnieść do kwadratu). Np. ∣x−1∣>∣x+3∣  ⟺  (x−1)2>(x+3)2  ⟺  −8x>8  ⟺  x<−1|x-1|>|x+3|\iff(x-1)^2>(x+3)^2\iff-8x>8\iff x<-1.

xy−4−2246246810120y = |x+3|+|x−5|
Wykres sumy modułów: płaski odcinek y = 8 między −3 a 5. Nad prostą y = 12 wykres jest dla x < −5 oraz x > 7.
Na maturze rozszerzonej

Typowe zadanie (3–4 pkt): równanie lub nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi. Punkty za: podział na przedziały, poprawne opuszczenie modułów, rozwiązania w przedziałach i końcową sumę. Nie zapomnij o części wspólnej z przedziałem!

Wzory

Opuszczanie modułu

∣A∣={A,A≥0−A,A<0|A|=\begin{cases}A, & A\ge0\\-A, & A<0\end{cases}

W każdym przedziale metody przedziałów ustalasz znak wyrażenia i opuszczasz moduł.

Równanie |A| = B

∣A∣=B  ⟺  B≥0∧(A=B∨A=−B)|A|=B\iff B\ge0\land(A=B\lor A=-B)

Prawa strona musi być nieujemna.

Moduł w module

∣∣A∣−c∣=r  ⟺  ∣A∣=c+r∨∣A∣=c−r\big||A|-c\big|=r\iff|A|=c+r\lor|A|=c-r

Opuszczamy kolejne moduły od zewnątrz (odrzucamy równania z ujemną prawą stroną).

Porównanie modułów

∣A∣<∣B∣  ⟺  A2<B2|A|<|B|\iff A^2<B^2

Podniesienie do kwadratu jest równoważne, bo obie strony są nieujemne.

Suma odległości

∣x−a∣+∣x−b∣≥∣a−b∣|x-a|+|x-b|\ge|a-b|

Równość zachodzi dokładnie dla xx między aa i bb.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż nierówność ∣x+3∣+∣x−5∣>12|x+3|+|x-5|>12.

Miejsca zerowe wyrażeń pod modułami: x=−3x=-3 i x=5x=5.
Przedział I: x∈(−∞,−3)x\in(-\infty,-3). Oba wyrażenia ujemne: −(x+3)−(x−5)>12⇒−2x+2>12⇒x<−5-(x+3)-(x-5)>12\Rightarrow-2x+2>12\Rightarrow x<-5. Część wspólna z przedziałem: (−∞,−5)(-\infty,-5).
Przedział II: x∈⟨−3,5)x\in\langle-3,5). x+3≥0x+3\ge0, x−5<0x-5<0: (x+3)−(x−5)>12⇒8>12(x+3)-(x-5)>12\Rightarrow8>12: fałsz. Brak rozwiązań.
Przedział III: x∈⟨5,+∞)x\in\langle5,+\infty). Oba nieujemne: (x+3)+(x−5)>12⇒2x>14⇒x>7(x+3)+(x-5)>12\Rightarrow2x>14\Rightarrow x>7. Część wspólna: (7,+∞)(7,+\infty).

xy−8−6−4−22468104812160y = 12y = |x + 3| + |x − 5|
Wykres y=∣x+3∣+∣x−5∣y=|x+3|+|x-5| leży powyżej prostej y=12y=12 dla x<−5x<-5 i dla x>7x>7; na odcinku ⟨−3,5⟩\langle-3,5\rangle jest płaski (y=8y=8).
x∈(−∞,−5)∪(7,+∞)x\in(-\infty,-5)\cup(7,+\infty)

Przykład 2

Rozwiąż równanie ∣∣x+1∣−2∣=3\big||x+1|-2\big|=3.

Zewnętrzny moduł: ∣x+1∣−2=3|x+1|-2=3 lub ∣x+1∣−2=−3|x+1|-2=-3.

Sprawdzenie: x=4x=4: ∣∣5∣−2∣=3\big||5|-2\big|=3 ✓; x=−6x=-6: ∣∣−5∣−2∣=3\big||-5|-2\big|=3 ✓.

xy−8−6−4−22462460y = 3x = −6x = 4
Wykres y=∣∣x+1∣−2∣y=\big||x+1|-2\big| (kształt litery W) przecina prostą y=3y=3 tylko w dwóch punktach: x=−6x=-6 i x=4x=4.
x∈{−6,4}x\in\{-6,4\}

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Równanie ∣x−3∣=−2|x-3|=-2

  1. ma rozwiązania 11 i 55
  2. ma jedno rozwiązanie 11
  3. ma jedno rozwiązanie 55
  4. nie ma rozwiązań

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc nigdy nie jest równa −2-2.

Odpowiedź D

Zadanie 2 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania ∣2x+1∣=5|2x+1|=5 jest

  1. {2}\{2\}
  2. {−3,2}\{-3,2\}
  3. {−2,3}\{-2,3\}
  4. {−3}\{-3\}

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

2x+1=5⇒x=22x+1=5\Rightarrow x=2; 2x+1=−5⇒x=−32x+1=-5\Rightarrow x=-3.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (3 pkt)

Rozwiąż równanie ∣x−1∣+∣x+2∣=5|x-1|+|x+2|=5.

Odpowiedź: x∈{−3,2}x\in\{-3,2\}

Rozwiązanie

x<−2x<-2: −(x−1)−(x+2)=5⇒−2x−1=5⇒x=−3-(x-1)-(x+2)=5\Rightarrow-2x-1=5\Rightarrow x=-3 ✓ (−3<−2-3<-2).
−2≤x<1-2\le x<1: −(x−1)+(x+2)=3=5-(x-1)+(x+2)=3=5: fałsz.
x≥1x\ge1: (x−1)+(x+2)=5⇒2x+1=5⇒x=2(x-1)+(x+2)=5\Rightarrow2x+1=5\Rightarrow x=2 ✓.

x∈{−3,2}x\in\{-3,2\}

Zadanie 4 (3 pkt)

Rozwiąż nierówność ∣x+2∣<2x−1|x+2|<2x-1.

Odpowiedź: x∈(3,+∞)x\in(3,+\infty)

Rozwiązanie

x≥−2x\ge-2: x+2<2x−1⇒x>3x+2<2x-1\Rightarrow x>3. Część wspólna: (3,+∞)(3,+\infty).
x<−2x<-2: −x−2<2x−1⇒−1<3x⇒x>−13-x-2<2x-1\Rightarrow-1<3x\Rightarrow x>-\frac13: sprzeczne z x<−2x<-2.

x∈(3,+∞)x\in(3,+\infty)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań równania ∣x∣+∣x−4∣=4|x|+|x-4|=4 jest

  1. {0,4}\{0,4\}
  2. ⟨0,4⟩\langle0,4\rangle
  3. R\mathbb{R}
  4. ∅\varnothing

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Suma odległości punktu xx od 00 i od 44 jest równa 44 dokładnie wtedy, gdy xx leży na odcinku ⟨0,4⟩\langle0,4\rangle. Algebraicznie: dla 0≤x≤40\le x\le4: x+(4−x)=4x+(4-x)=4 ✓; dla x<0x<0: −2x+4=4⇒x=0-2x+4=4\Rightarrow x=0 ✗; dla x>4x>4: 2x−4=4⇒x=42x-4=4\Rightarrow x=4 ✗.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Rozwiąż równanie ∣∣x−2∣−3∣=1\big||x-2|-3\big|=1.

Odpowiedź: x∈{−2,0,4,6}x\in\{-2,0,4,6\}

Rozwiązanie

∣x−2∣=4⇒x=6∨x=−2|x-2|=4\Rightarrow x=6\lor x=-2.
∣x−2∣=2⇒x=4∨x=0|x-2|=2\Rightarrow x=4\lor x=0.

x∈{−2,0,4,6}x\in\{-2,0,4,6\}

Zadanie 7 (4 pkt)

Rozwiąż nierówność ∣x+1∣+∣x−3∣≥6|x+1|+|x-3|\ge6.

Odpowiedź: x∈(−∞,−2⟩∪⟨4,+∞)x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle4,+\infty)

Rozwiązanie

x<−1x<-1: −(x+1)−(x−3)=−2x+2≥6⇒x≤−2-(x+1)-(x-3)=-2x+2\ge6\Rightarrow x\le-2. Część wspólna: (−∞,−2⟩(-\infty,-2\rangle.
−1≤x<3-1\le x<3: (x+1)−(x−3)=4≥6(x+1)-(x-3)=4\ge6: fałsz.
x≥3x\ge3: 2x−2≥6⇒x≥42x-2\ge6\Rightarrow x\ge4. Część wspólna: ⟨4,+∞)\langle4,+\infty).

x∈(−∞,−2⟩∪⟨4,+∞)x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle4,+\infty)

Zadanie 8 (1 pkt)

Najmniejsza wartość funkcji f(x)=∣x−2∣−1f(x)=|x-2|-1 jest równa

  1. 11
  2. 22
  3. −1-1
  4. −2-2

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

∣x−2∣≥0|x-2|\ge0, a minimum 00 osiąga dla x=2x=2. Wtedy f(2)=−1f(2)=-1.

Odpowiedź C: −1-1

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność ∣3−2x∣≤7|3-2x|\le7.

Odpowiedź: x∈⟨−2,5⟩x\in\langle-2,5\rangle

Rozwiązanie

−7≤3−2x≤7⇒−10≤−2x≤4⇒5≥x≥−2-7\le3-2x\le7\Rightarrow-10\le-2x\le4\Rightarrow5\ge x\ge-2 (dzielenie przez −2-2 odwraca nierówności).

x∈⟨−2,5⟩x\in\langle-2,5\rangle

Zadanie 10 (3 pkt)

Rozwiąż równanie ∣x2−4∣=3x|x^2-4|=3x.

Odpowiedź: x∈{1,4}x\in\{1,4\}

Rozwiązanie

Warunek: 3x≥0⇒x≥03x\ge0\Rightarrow x\ge0.
x2−4=3x⇒x2−3x−4=0⇒x=4∨x=−1x^2-4=3x\Rightarrow x^2-3x-4=0\Rightarrow x=4\lor x=-1; z warunkiem: x=4x=4.
x2−4=−3x⇒x2+3x−4=0⇒x=1∨x=−4x^2-4=-3x\Rightarrow x^2+3x-4=0\Rightarrow x=1\lor x=-4; z warunkiem: x=1x=1.
Sprawdzenie: ∣1−4∣=3|1-4|=3 ✓, ∣16−4∣=12|16-4|=12 ✓.

x∈{1,4}x\in\{1,4\}

Zadanie 11 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność ∣x−1∣>∣x+3∣|x-1|>|x+3|.

Odpowiedź: x∈(−∞,−1)x\in(-\infty,-1)

Rozwiązanie

(x−1)2>(x+3)2⇒x2−2x+1>x2+6x+9⇒−8x>8⇒x<−1(x-1)^2>(x+3)^2\Rightarrow x^2-2x+1>x^2+6x+9\Rightarrow-8x>8\Rightarrow x<-1.
Geometrycznie: xx jest dalej od 11 niż od −3-3, czyli leży na lewo od środka odcinka, −1-1.

x∈(−∞,−1)x\in(-\infty,-1)

Inne tematy: Równania i nierówności wymierne