Dział 3. Równania i nierówności

Równania i nierówności liniowe: teoria i zadania maturalne

Przekształcenia równoważne, równania sprzeczne i tożsamościowe, nierówności liniowe (z pułapką dzielenia przez liczbę ujemną), wyznaczanie zmiennej ze wzoru i zadania tekstowe.

Teoria

Równanie liniowe

Równanie liniowe z niewiadomą xx można zawsze sprowadzić do postaci ax=bax=b. Możliwe są trzy sytuacje:

Trzy przypadki

3(x−2)=2x+1⇒3x−6=2x+1⇒x=73(x-2)=2x+1\Rightarrow 3x-6=2x+1\Rightarrow x=7 (jedno rozwiązanie).
2(x+1)=2x+2⇒0=02(x+1)=2x+2\Rightarrow 0=0 (tożsamościowe, x∈Rx\in\mathbb{R}).
2(x+1)=2x+5⇒2=52(x+1)=2x+5\Rightarrow 2=5 (sprzeczne, brak rozwiązań).

Przekształcenia równoważne

Rozwiązania nie zmieniają się, gdy:

Równanie z ułamkami najpierw mnożymy przez wspólny mianownik, aby pozbyć się ułamków.

Nierówność liniowa

Rozwiązujemy tak jak równanie, z jedną ważną różnicą:

Mnożenie przez liczbę ujemną

Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności: −2x>6⇒x<−3-2x>6\Rightarrow x<-3. To najczęstszy błąd w nierównościach! Uwaga też na liczby ujemne „w przebraniu”, np. 1−3<01-\sqrt3<0.

Wynik zapisujemy jako przedział i zaznaczamy na osi:

x−6−5−4−3−2−1012
x < −3, czyli x ∈ (−∞, −3)

Wyznaczanie zmiennej ze wzoru

Traktujemy wskazaną literę jak niewiadomą, a pozostałe jak liczby. Np. z V=13πr2hV=\frac13\pi r^2h: mnożymy przez 33: 3V=πr2h3V=\pi r^2h, dzielimy przez πr2\pi r^2: h=3Vπr2h=\frac{3V}{\pi r^2}.

Zadania tekstowe: schemat

  1. Oznacz niewiadomą (np. „xx: wiek syna obecnie”).
  2. Zapisz pozostałe wielkości za pomocą xx.
  3. Ułóż równanie (nierówność) z treści.
  4. Rozwiąż i sprawdź z treścią (np. liczba osób musi być naturalna).
  5. Napisz odpowiedź słowami.
Na maturze

Równania i nierówności liniowe pojawiają się w zadaniach zamkniętych (rozwiązanie, najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność, wyznaczenie zmiennej ze wzoru) i jako element większych zadań otwartych.

Wzory

Rozwiązanie równania liniowego

ax=b, a≠0 ⇒ x=baax=b,\ a\neq0\ \Rightarrow\ x=\frac ba

Gdy współczynnik przy xx jest niezerowy: jedno rozwiązanie.

Równanie tożsamościowe i sprzeczne

0⋅x=0  (x∈R),0⋅x=b≠0  (∅)0\cdot x=0\ \ (x\in\mathbb{R}),\qquad 0\cdot x=b\neq0\ \ (\varnothing)

Gdy xx się redukuje: prawdziwa równość: każda liczba; fałszywa: brak rozwiązań.

Zmiana zwrotu nierówności

−x>a  ⟺  x<−a-x>a\iff x<-a

Mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

Proporcja

ab=cd  ⟺  ad=bc(b,d≠0)\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\quad(b,d\neq0)

„Mnożenie na krzyż”: usuwa ułamki z równania.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż nierówność x−12−2x+13≥1\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x+1}{3}\ge1.

Krok 1: mnożymy przez wspólny mianownik 66 (liczba dodatnia, zwrot bez zmian):

3(x−1)−2(2x+1)≥6.3(x-1)-2(2x+1)\ge6.

Krok 2: nawiasy (uwaga na minus przed drugim nawiasem):

3x−3−4x−2≥6 ⇒ −x−5≥6 ⇒ −x≥11.3x-3-4x-2\ge6\ \Rightarrow\ -x-5\ge6\ \Rightarrow\ -x\ge11.

Krok 3: dzielimy przez −1-1 i zmieniamy zwrot: x≤−11x\le-11.

x−14−13−12−11−10−9−8
x∈(−∞,−11⟩x\in(-\infty,-11\rangle

Przykład 2

Ojciec ma 4242 lata, a syn 1212 lat. Za ile lat ojciec będzie 2,52{,}5 raza starszy od syna?

Niech xx: liczba lat, po których to nastąpi. Wtedy ojciec będzie miał 42+x42+x, a syn 12+x12+x lat:

42+x=2,5(12+x) ⇒ 42+x=30+2,5x ⇒ 12=1,5x ⇒ x=8.42+x=2{,}5(12+x)\ \Rightarrow\ 42+x=30+2{,}5x\ \Rightarrow\ 12=1{,}5x\ \Rightarrow\ x=8.

Sprawdzenie: za 88 lat: ojciec 5050, syn 2020, a 50=2,5⋅2050=2{,}5\cdot20 ✓.

Za 88 lat.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Rozwiązaniem równania 3(x−2)=2x+13(x-2)=2x+1 jest liczba

  1. −7-7
  2. 11
  3. 77
  4. 55

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

3x−6=2x+1⇒3x−2x=1+6⇒x=73x-6=2x+1\Rightarrow3x-2x=1+6\Rightarrow x=7. Sprawdzenie: 3⋅5=15=14+13\cdot5=15=14+1 ✓.

Odpowiedź C: 77

Zadanie 2 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności −2x+4>10-2x+4>10 jest

  1. (−3,+∞)(-3,+\infty)
  2. (−∞,−3)(-\infty,-3)
  3. (3,+∞)(3,+\infty)
  4. (−∞,7)(-\infty,7)

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

−2x>6⇒x<−3-2x>6\Rightarrow x<-3 (zwrot zmieniony, bo dzielimy przez −2-2).

Odpowiedź B: (−∞,−3)(-\infty,-3)

Zadanie 3 (1 pkt)

Równanie 2(x+1)=2x+22(x+1)=2x+2

  1. nie ma rozwiązań
  2. ma dokładnie jedno rozwiązanie x=0x=0
  3. ma dokładnie dwa rozwiązania
  4. ma nieskończenie wiele rozwiązań

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

2x+2=2x+2⇒0=02x+2=2x+2\Rightarrow0=0: prawda dla każdego xx. Równanie tożsamościowe.

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 5−3x<2x−105-3x<2x-10 jest

  1. 33
  2. 44
  3. −3-3
  4. 55

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

5+10<2x+3x⇒15<5x⇒x>35+10<2x+3x\Rightarrow15<5x\Rightarrow x>3. Najmniejsza liczba całkowita większa od 33 to 44.

Odpowiedź B: 44

Zadanie 5 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x−13−x−32<x\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x-3}{2}<x.

Odpowiedź: x∈(75,+∞)x\in\left(\frac75,+\infty\right)

Rozwiązanie

Mnożymy przez 66: 2(2x−1)−3(x−3)<6x2(2x-1)-3(x-3)<6x.
4x−2−3x+9<6x⇒x+7<6x⇒7<5x⇒x>754x-2-3x+9<6x\Rightarrow x+7<6x\Rightarrow7<5x\Rightarrow x>\frac75.

x∈(75,+∞)x\in\left(\frac75,+\infty\right)

Zadanie 6 (1 pkt)

Ze wzoru V=13πr2hV=\frac13\pi r^2h (gdzie r>0r>0) wyznaczono hh. Wynik to

  1. h=V3πr2h=\frac{V}{3\pi r^2}
  2. h=3Vπr2h=\frac{3V}{\pi r^2}
  3. h=3V−πr2h=3V-\pi r^2
  4. h=3πr2Vh=\frac{3\pi r^2}{V}

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

V=13πr2h ∣⋅3⇒3V=πr2h ∣:πr2⇒h=3Vπr2V=\frac13\pi r^2h\ \big|\cdot3\Rightarrow3V=\pi r^2h\ \big|:\pi r^2\Rightarrow h=\frac{3V}{\pi r^2}.

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

Cenę towaru obniżono o 20%20\%, a następnie podniesiono o 3030 zł. Teraz cena jest taka sama jak przed obniżką. Ile wynosiła cena początkowa?

Odpowiedź: 150150 zł

Rozwiązanie

Niech xx: cena początkowa. 0,8x+30=x⇒30=0,2x⇒x=1500{,}8x+30=x\Rightarrow30=0{,}2x\Rightarrow x=150.
Sprawdzenie: 0,8⋅150=1200{,}8\cdot150=120, 120+30=150120+30=150 ✓.

Cena początkowa: 150150 zł.

Zadanie 8 (1 pkt)

Rozwiązaniem równania x2+1=3x\sqrt2+1=3 jest liczba

  1. 222\sqrt2
  2. 24\frac{\sqrt2}{4}
  3. 44
  4. 2\sqrt2

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

x2=2⇒x=22=222=2x\sqrt2=2\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.

Odpowiedź D: 2\sqrt2

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność (1−3)x>2(1-\sqrt3)x>2.

Odpowiedź: x<−1−3x<-1-\sqrt3, czyli x∈(−∞,−1−3)x\in(-\infty,-1-\sqrt3)

Rozwiązanie

3≈1,73\sqrt3\approx1{,}73, więc 1−3<01-\sqrt3<0. Dzielimy przez liczbę ujemną: zmiana zwrotu:

x<21−3=2(1+3)(1−3)(1+3)=2(1+3)1−3=−(1+3).x<\frac{2}{1-\sqrt3}=\frac{2(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}=\frac{2(1+\sqrt3)}{1-3}=-(1+\sqrt3).
x∈(−∞, −1−3)x\in(-\infty,\,-1-\sqrt3)

Zadanie 10 (2 pkt)

Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych jest równa 8787. Wyznacz te liczby.

Odpowiedź: 27, 29, 3127,\ 29,\ 31

Rozwiązanie

3n+6=87⇒3n=81⇒n=273n+6=87\Rightarrow3n=81\Rightarrow n=27. Liczby: 27,29,3127,29,31; suma 8787 ✓, wszystkie nieparzyste ✓.

27, 29, 3127,\ 29,\ 31

Zadanie 11 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności 2x−1≤3x+42x-1\le3x+4 jest przedział

  1. (−∞,−5⟩(-\infty,-5\rangle
  2. ⟨−5,+∞)\langle-5,+\infty)
  3. ⟨5,+∞)\langle5,+\infty)
  4. (−∞,5⟩(-\infty,5\rangle

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

2x−3x≤4+1⇒−x≤5⇒x≥−52x-3x\le4+1\Rightarrow-x\le5\Rightarrow x\ge-5.

Odpowiedź B: ⟨−5,+∞)\langle-5,+\infty)

Inne tematy: Układy równań