Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur: teoria i zadania maturalne

Proporcje odcinków na ramionach kąta, cechy podobieństwa trójkątów, skala podobieństwa, stosunek pól i obwodów: oraz klasyczne zastosowania: cienie, wysokość w trójkącie prostokątnym, trapez.

Teoria

Twierdzenie Talesa

Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

AA′ ∥ BB′ ⇒ a / b = a′ / b′ oraz |OA| / |OB| = |AA′| / |BB′|.

\frac{|OA|}{|AB|}=\frac{|OA'|}{|A'B'|},\qquad\frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|OA'|}{|OB'|}=\frac{|AA'|}{|BB'|}.

Twierdzenie odwrotne: jeśli odcinki są proporcjonalne, to proste są równoległe.

Podobieństwo trójkątów: cechy

Trójkąty są podobne, gdy:

(kkk) mają dwa kąty równe (trzeci wtedy też),
(bbb) stosunki trzech par boków są równe,
(bkb) stosunki dwóch par boków są równe i kąty między nimi są równe.

Trójkąty o równych kątach

\alpha

\beta

są podobne (cecha kkk): boki większego są

k=\frac{4{,}5}{3}=1{,}5

razy dłuższe.

Skala podobieństwa $k$

Jeśli figura $F'$ jest podobna do $F$ w skali $k$ , to:

odcinki (boki, wysokości, obwody) $F'$ są $k$ razy dłuższe: $\text{Obw}'=k\cdot\text{Obw}$ ,
pola są $k^2$ razy większe: $P'=k^2P$ .

Dlaczego pole rośnie z kwadratem

Powiększ kwadrat $1\times1$ dwukrotnie: dostajesz kwadrat $2\times2$ , w którym mieszczą się cztery małe kwadraty. Długość $\times2$ , pole $\times4$ . (W bryłach objętość rośnie $k^3$ razy.)

Typowe sytuacje z podobieństwem

odcinek równoległy do boku trójkąta odcina trójkąt podobny,
cienie: słupek i drzewo w tym samym momencie: trójkąty podobne,
wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną dzieli go na dwa trójkąty podobne do całego: $h^2=p\cdot q$ ( $p,q$ : odcinki przeciwprostokątnej),
trapez: przekątne dzielą się w stosunku podstaw, a trójkąty przy podstawach są podobne.

Na maturze

Zadania zamknięte: Tales (oblicz odcinek), skala i stosunek pól. Zadania otwarte: obliczenia w trapezie, trójkącie z odcinkiem równoległym, dowód podobieństwa (2–3 pkt).

Wzory

Twierdzenie Talesa

\frac{|OA|}{|AB|}=\frac{|OA'|}{|A'B'|}

Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają proporcjonalne odcinki.

Odcinek równoległy w trójkącie

\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|CA|}

$DE\parallel AB$ : trójkąt $DEC$ jest podobny do $ABC$ .

Skala: odcinki i obwody

\text{Obw}'=k\cdot\text{Obw}

Wszystkie wymiary liniowe mnożą się przez $k$ .

Skala: pola

P'=k^2\cdot P

Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali.

Wysokość na przeciwprostokątną

h^2=p\cdot q

$p,q$ : odcinki, na które spodek wysokości dzieli przeciwprostokątną.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AB$ ( $D\in AC$ , $E\in BC$ ). Wiadomo, że $|CD|=4$ , $|DA|=6$ , $|DE|=5$ . Oblicz $|AB|$ .

Trójkąty $DEC$ i $ABC$ są podobne (kąt przy $C$ wspólny, kąty przy $D$ i $A$ odpowiadające). Skala: $\frac{|CA|}{|CD|}=\frac{4+6}{4}=\frac52$ .

DE\parallel AB

, więc trójkąt

DEC

to pomniejszony trójkąt

ABC

w skali

\frac{4}{10}

|AB|=\frac52\cdot5=12{,}5

$|AB|=\frac52\cdot|DE|=\frac52\cdot5=12{,}5$ .

|AB|=12{,}5

Przykład 2

Słupek o wysokości $1{,}5$ m rzuca cień długości $2$ m. W tym samym czasie cień drzewa ma długość $14$ m. Oblicz wysokość drzewa.

Promienie słońca są równoległe, więc trójkąty (obiekt, cień, promień) są podobne:

Promienie słońca padają pod tym samym kątem

\alpha

, więc trójkąty słupka i drzewa są podobne:

\frac{h}{14}=\frac{1{,}5}{2}

, czyli

h=10{,}5

\frac{h}{14}=\frac{1{,}5}{2}\Rightarrow h=14\cdot0{,}75=10{,}5\ \text{m}.

Drzewo ma

10{,}5

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Ramiona kąta przecięto dwiema prostymi równoległymi. Na jednym ramieniu otrzymano kolejno (od wierzchołka) odcinki długości $3$ i $5$ , a na drugim odpowiednio $6$ i $x$ . Zatem

$x=8$
$x=10$
$x=\frac52$
$x=12$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\frac35=\frac6x\Rightarrow3x=30\Rightarrow x=10$ .

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Trójkąt $T'$ jest podobny do trójkąta $T$ w skali $3$ . Pole trójkąta $T'$ jest większe od pola $T$

$3$ razy
$6$ razy
$27$ razy
$9$ razy

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

W figurach podobnych w skali $k$ długości rosną $k$ razy, a pola $k^2$ razy (pole to długość razy długość).

Tu $k=3$ , więc pole rośnie

k^2=3^2=9\text{ razy}.

Pułapka: $3$ razy rosną tylko boki, nie pole.

Odpowiedź D

Zadanie 3 (1 pkt)

Trójkąt o bokach $3$ , $4$ , $5$ jest podobny do trójkąta, którego najdłuższy bok ma długość $15$ . Obwód większego trójkąta jest równy

$36$
$24$
$45$
$30$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Najdłuższy bok to $5$ , w większym trójkącie odpowiada mu $15$ . Skala podobieństwa: $k=\frac{15}{5}=3$ , czyli wszystkie boki są $3$ razy dłuższe.

Obwód małego trójkąta: $3+4+5=12$ . Obwód rośnie tak samo jak boki:

12\cdot3=36.

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Pola dwóch trójkątów podobnych są równe $16$ i $25$ . Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego jest równa

$\frac{25}{16}$
$\frac54$
$\frac{16}{25}$
$\frac45$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali: $\frac{P_2}{P_1}=k^2$ . Skala jest więc pierwiastkiem ze stosunku pól:

k^2=\frac{25}{16},\qquad k=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac54.

Pułapka: $\frac{25}{16}$ to stosunek pól, a nie skala.

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Prostokąt o wymiarach $4\times6$ powiększono w skali $1{,}5$ . Pole otrzymanego prostokąta jest równe

$36$
$54$
$48$
$30$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$P'=1{,}5^2\cdot24=2{,}25\cdot24=54$ (albo wymiary $6\times9$ ).

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Słupek o wysokości $3$ m rzuca cień długości $2$ m. Cień budynku ma w tym samym czasie długość $10$ m. Oblicz wysokość budynku.

Odpowiedź: $15$ m

Rozwiązanie

$\frac{h}{10}=\frac32\Rightarrow h=15$ m.

15

Zadanie 7 (2 pkt)

W trójkącie $ABC$ odcinek $DE\parallel AB$ , $D\in AC$ , $E\in BC$ , $|CD|=6$ , $|DA|=3$ , $|AB|=12$ . Oblicz $|DE|$ i stosunek pola trójkąta $DEC$ do pola trójkąta $ABC$ .

Odpowiedź: $|DE|=8$ ; stosunek pól $\frac49$

Rozwiązanie

$k=\frac{|CD|}{|CA|}=\frac69=\frac23$ ; $|DE|=\frac23\cdot12=8$ ; $\frac{P_{DEC}}{P_{ABC}}=k^2=\frac49$ .

|DE|=8

\frac49

Zadanie 8 (2 pkt)

Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości $4$ i $9$ . Oblicz długość tej wysokości i pole trójkąta.

Odpowiedź: $h=6$ , $P=39$

Rozwiązanie

$h^2=4\cdot9=36\Rightarrow h=6$ . Przeciwprostokątna $13$ , $P=\frac12\cdot13\cdot6=39$ .

h=6

P=39

Zadanie 9 (3 pkt)

W trapezie $ABCD$ podstawy mają długości $|AB|=12$ i $|CD|=4$ . Przekątne przecinają się w punkcie $S$ . Przekątna $AC$ ma długość $10$ . Oblicz $|AS|$ i $|SC|$ oraz stosunek pól trójkątów $ABS$ i $CDS$ .

Odpowiedź: $|AS|=7{,}5$ , $|SC|=2{,}5$ ; stosunek pól $9$

Rozwiązanie

$AB\parallel CD$ ⇒ $\angle SAB=\angle SCD$ i $\angle SBA=\angle SDC$ (naprzemianległe) ⇒ trójkąty $ABS$ i $CDS$ podobne, $k=\frac{12}4=3$ .
$|AS|=3|SC|$ , $|AS|+|SC|=10\Rightarrow|SC|=2{,}5$ , $|AS|=7{,}5$ . Stosunek pól: $k^2=9$ .

|AS|=7{,}5

|SC|=2{,}5

, pola w stosunku

9:1

Zadanie 10 (2 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, a $CD$ jest wysokością. Wykaż, że $|CD|^2=|AD|\cdot|DB|$ .

Odpowiedź: Trójkąty $ADC$ i $CDB$ są podobne (kkk), więc $\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DB|}{|CD|}$ .

Rozwiązanie

Niech $\angle CAB=\alpha$ . W trójkącie $ADC$ : $\angle ADC=90^\circ$ , $\angle ACD=90^\circ-\alpha$ .
Kąt $C$ jest prosty, więc $\angle DCB=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha$ , a $\angle CDB=90^\circ$ .
Trójkąty $ADC$ i $CDB$ mają równe kąty ( $90^\circ$ , $\alpha$ , $90^\circ-\alpha$ ): są podobne (kkk). Odpowiadające boki: $\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DB|}{|CD|}$ (przyprostokątne naprzeciw kątów $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ ).
Stąd $|CD|^2=|AD|\cdot|DB|$ . ∎

Zadanie 11 (1 pkt)

Trójkąt o kątach $40^\circ$ i $60^\circ$ jest podobny do trójkąta o kątach

$40^\circ$ i $70^\circ$
$60^\circ$ i $70^\circ$
$60^\circ$ i $80^\circ$
$50^\circ$ i $60^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Pierwszy trójkąt: $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ . Drugi w C: $60^\circ,80^\circ,40^\circ$ : te same kąty.

Odpowiedź C

Inne tematy: Kąty i trójkąty · Czworokąty i wielokąty

Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur: teoria i zadania maturalne

Teoria

Twierdzenie Talesa

Podobieństwo trójkątów: cechy

Skala podobieństwa kkk

Typowe sytuacje z podobieństwem

Wzory

Twierdzenie Talesa

Odcinek równoległy w trójkącie

Skala: odcinki i obwody

Skala: pola

Wysokość na przeciwprostokątną

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (2 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (3 pkt)

Zadanie 10 (2 pkt)

Zadanie 11 (1 pkt)

Skala podobieństwa $k$