Czworokąty i wielokąty: teoria i zadania maturalne

Kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb, trapez, deltoid: ich własności, przekątne i pola: oraz wielokąty: suma kątów, liczba przekątnych i sześciokąt foremny.

Teoria

Przegląd czworokątów

Figura	Kluczowe własności	Pole
kwadrat	boki równe, kąty proste, przekątne równe, prostopadłe, $d=a\sqrt2$	$a^2=\frac{d^2}{2}$
prostokąt	kąty proste, przekątne równe i dzielą się na połowy	$ab$
równoległobok	przeciwległe boki równoległe i równe, przekątne dzielą się na połowy, kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$	$ah=ab\sin\alpha$
romb	równoległobok o równych bokach; przekątne prostopadłe, są dwusiecznymi kątów	$\frac{ef}{2}=ah=a^2\sin\alpha$
trapez	co najmniej jedna para boków równoległych (podstawy)	$\frac{(a+b)h}{2}$
deltoid	dwie pary sąsiednich boków równych; przekątne prostopadłe	$\frac{ef}{2}$

Trapez równoramienny: zawsze dorysuj wysokości

Wysokości z końców krótszej podstawy odcinają dwa przystające trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma przyprostokątną $x=\frac{a-b}{2}$ (połowa różnicy podstaw), ramię jest przeciwprostokątną, a $h$ : drugą przyprostokątną.

Kąty w trapezie i równoległoboku

Kąty przy tym samym ramieniu trapezu sumują się do $180^\circ$ (to kąty jednostronne przy prostych równoległych). W równoległoboku każde dwa sąsiednie kąty dają $180^\circ$ , a przeciwległe są równe.

Wielokąty

Dla wielokąta o $n$ bokach:

\text{suma kątów wewnętrznych}=(n-2)\cdot180^\circ,\qquad\text{liczba przekątnych}=\frac{n(n-3)}{2}.

W wielokącie foremnym (boki i kąty równe) każdy kąt ma $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$ .

Sześciokąt foremny

Składa się z $6$ trójkątów równobocznych o boku $a$ :

Sześciokąt foremny o boku

a

6

trójkątów równobocznych: dłuższa przekątna ma

2a

, krótsza

a\sqrt3

P=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2},\qquad\text{kąt wewnętrzny }120^\circ,\qquad\text{dłuższa przekątna }2a,\ \text{krótsza }a\sqrt3.

Na maturze

Pola czworokątów (romb z przekątnych, trapez równoramienny z Pitagorasem lub trygonometrią), kąty w równoległoboku i trapezie, suma kątów wielokąta, sześciokąt foremny. Często połączone z trygonometrią.

Wzory

Pole prostokąta i kwadratu

P=ab,\qquad P_{\square}=a^2=\frac{d^2}{2}

Kwadrat: przekątna $d=a\sqrt2$ .

Pole równoległoboku

P=a\cdot h=ab\sin\alpha

$h$ : wysokość opuszczona na bok $a$ ; $\alpha$ : kąt między bokami.

Pole rombu i deltoidu

P=\frac{e\cdot f}{2}

$e,f$ : przekątne (prostopadłe).

Pole trapezu

P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}

$a,b$ : podstawy, $h$ : wysokość.

Suma kątów wielokąta

(n-2)\cdot180^\circ

$n$ : liczba boków.

Liczba przekątnych

\frac{n(n-3)}{2}

Z każdego wierzchołka $n-3$ przekątnych, każda liczona dwa razy.

Sześciokąt foremny

P=\frac{3a^2\sqrt3}{2}

Sześć trójkątów równobocznych o boku $a$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Trapez równoramienny ma podstawy długości $10$ i $4$ oraz ramię długości $5$ . Oblicz jego wysokość, pole i długość przekątnej.

Połowa różnicy podstaw: $x=\frac{10-4}{2}=3$ . Z Pitagorasa: $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ .
$P=\frac{(10+4)\cdot4}{2}=28$ .
Przekątna: trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h=4$ i $3+4=7$ : $d=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$ .

h=4

P=28

d=\sqrt{65}

Przykład 2

Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku $4$ oraz długości jego przekątnych.

$P=\frac{3\cdot16\sqrt3}{2}=24\sqrt3$ .
Dłuższa przekątna przechodzi przez środek: $2a=8$ . Krótsza: dwie wysokości trójkąta równobocznego, $a\sqrt3=4\sqrt3$ .

P=24\sqrt3

; przekątne

8

4\sqrt3

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta wypukłego jest równa

$1440^\circ$
$1080^\circ$
$900^\circ$
$1260^\circ$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Suma kątów w $n$ -kącie wypukłym to $(n-2)\cdot180^\circ$ , bo da się go podzielić z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.

(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ.

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczba przekątnych dziesięciokąta wypukłego jest równa

$35$
$45$
$70$
$20$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie do siebie i nie do dwóch sąsiadów). Każdą przekątną liczymy wtedy dwa razy, z obu końców, więc dzielimy przez $2$ :

\frac{n(n-3)}{2}=\frac{10\cdot7}{2}=35.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Przekątne rombu mają długości $6$ i $8$ . Bok tego rombu ma długość

$7$
$10$
$5$
$14$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Dzielą romb na $4$ trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\frac62=3$ i $\frac82=4$ . Bok rombu jest przeciwprostokątną:

a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Pole równoległoboku o bokach $4$ i $6$ i kącie ostrym $30^\circ$ jest równe

$24$
$12\sqrt3$
$6$
$12$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Pole równoległoboku z dwóch boków i kąta: $P=ab\sin\alpha$ .

P=4\cdot6\cdot\sin30^\circ=24\cdot\frac12=12.

Pułapka: $24$ byłoby polem prostokąta o tych bokach. Równoległobok jest „przechylony”, więc ma mniejsze pole.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę

$108^\circ$
$120^\circ$
$135^\circ$
$150^\circ$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Suma kątów sześciokąta: $(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$ . W sześciokącie foremnym wszystkie $6$ kątów są równe:

\frac{720^\circ}{6}=120^\circ.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)

W równoległoboku jeden z kątów jest trzy razy większy od drugiego. Kąt ostry tego równoległoboku ma miarę

$30^\circ$
$60^\circ$
$45^\circ$
$36^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$4x=180^\circ\Rightarrow x=45^\circ$ (drugi kąt $135^\circ$ ).

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Przekątna prostokąta ma długość $10$ , a jeden z boków $6$ . Oblicz drugi bok, pole i obwód prostokąta.

Odpowiedź: $8$ ; pole $48$ ; obwód $28$

Rozwiązanie

$b=\sqrt{100-36}=8$ ; $P=48$ ; $\text{Obw}=2(6+8)=28$ .

8

48

28

Zadanie 8 (2 pkt)

Trapez równoramienny ma podstawy długości $12$ i $6$ , a kąt ostry $45^\circ$ . Oblicz pole trapezu.

Odpowiedź: $27$

Rozwiązanie

$x=\frac{12-6}{2}=3$ ; trójkąt prostokątny równoramienny, więc $h=3$ . $P=\frac{(12+6)\cdot3}{2}=27$ .

P=27

Zadanie 9 (1 pkt)

Pole kwadratu o przekątnej $8$ jest równe

$64$
$16$
$32$
$8\sqrt2$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Kwadrat to też romb, więc jego pole to połowa iloczynu przekątnych:

P=\frac{d\cdot d}{2}=\frac{8\cdot8}{2}=32.

Drugi sposób: bok $a=\frac{d}{\sqrt2}=4\sqrt2$ , a $P=a^2=16\cdot2=32$ .

Odpowiedź C

Zadanie 10 (2 pkt)

Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku $2\sqrt3$ .

Odpowiedź: $18\sqrt3$

Rozwiązanie

Sześciokąt foremny składa się z $6$ trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta, tu $a=2\sqrt3$ .

Pole jednego trójkąta:

\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{(2\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\frac{12\sqrt3}{4}=3\sqrt3.

Cały sześciokąt:

P=6\cdot3\sqrt3=18\sqrt3.

18\sqrt3

Zadanie 11 (3 pkt)

W trapezie prostokątnym $ABCD$ ( $\angle A=\angle D=90^\circ$ ) podstawy mają długości $|AB|=9$ i $|CD|=5$ , a ramię $|BC|=5$ . Oblicz pole trapezu i długość przekątnej $AC$ .

Odpowiedź: $P=21$ , $|AC|=\sqrt{34}$

Rozwiązanie

Wysokość z $C$ : odcina trójkąt o przeciwprostokątnej $5$ i przyprostokątnej $9-5=4$ , więc $h=3$ .
$P=\frac{(9+5)\cdot3}{2}=21$ . Przekątna $AC$ : przyprostokątne $|AD|=h=3$ i $|DC|=5$ : $|AC|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ .

P=21

|AC|=\sqrt{34}

Inne tematy: Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur · Okrąg i koło, kąty w okręgu