Okrąg i koło, kąty w okręgu: teoria i zadania maturalne

Długość okręgu i pole koła, łuki i wycinki, kąt środkowy i wpisany, styczna i odcinki stycznych, cięciwy oraz czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu.

Teoria

Podstawowe wzory

Dla okręgu (koła) o promieniu $r$ :

L=2\pi r,\qquad P=\pi r^2,\qquad\text{łuk: }l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r,\qquad\text{wycinek: }P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2.

Przykład:

r=6

, kąt

\alpha=60^\circ

Obwód: $L=2\pi\cdot6=12\pi$ . Pole: $P=\pi\cdot6^2=36\pi$ .
Kąt $60^\circ$ to $\frac{60}{360}=\frac16$ pełnego kąta, więc łuk i wycinek to szósta część całości.

l=\frac16\cdot12\pi=2\pi,\qquad P_w=\frac16\cdot36\pi=6\pi

Kąt środkowy i kąt wpisany

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany: na okręgu (ramiona to cięciwy).

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe,
kąt wpisany oparty na półokręgu (średnicy) jest prosty (twierdzenie Talesa o okręgu).

Przykład: kąt środkowy ma

110^\circ

. Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

Kąt wpisany to połowa środkowego:

\frac{110^\circ}{2}=55^\circ

55^\circ

Na którym łuku leży wierzchołek?

Cięciwa $AB$ dzieli okrąg na dwa łuki. Kąty wpisane z wierzchołkiem na dłuższym łuku mają miarę $\alpha$ , na krótszym: $180^\circ-\alpha$ . Narysuj obrazek!

Styczna

Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Z punktu $P$ leżącego poza okręgiem można poprowadzić dwie styczne, a odcinki stycznych są równe: $|PA|=|PB|$ , przy czym $|PA|^2+r^2=|PO|^2$ .

Styczne z punktu

P

: każda jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, a odcinki

PA

PB

są równe.

Przykład:

r=3

, punkt

P

leży w odległości

5

od środka. Oblicz długość stycznej

Styczna jest prostopadła do promienia, więc trójkąt $OAP$ jest prostokątny.

|PA|=\sqrt{|PO|^2-r^2}=\sqrt{25-9}=4

|PA|=4

Cięciwa

Prosta przez środek prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy. Jeśli $d$ : odległość cięciwy od środka, $c$ : jej długość, to $\left(\frac c2\right)^2+d^2=r^2$ .

Przykład:

r=5

, cięciwa leży w odległości

3

od środka. Oblicz jej długość

Połowa cięciwy, odległość i promień tworzą trójkąt prostokątny.

\frac c2=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \Rightarrow\ c=8

c=8

Czworokąt wpisany i opisany

Wpisany w okrąg (wierzchołki na okręgu) $\iff$ sumy przeciwległych kątów są równe $180^\circ$ : $\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$ .
Opisany na okręgu (boki styczne) $\iff$ sumy długości przeciwległych boków są równe: $a+c=b+d$ .

Przykład: czworokąt wpisany w okrąg ma kąt

70^\circ

. Ile ma kąt przeciwległy?

Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$ : $180^\circ-70^\circ=110^\circ$ .

110^\circ

Przykład: czworokąt opisany na okręgu ma boki

a=5

b=4

c=7

. Oblicz

d

Sumy przeciwległych boków są równe: $a+c=b+d$ , czyli $12=4+d$ .

d=8

Na maturze

Bardzo częste zadania zamknięte: kąt wpisany/środkowy (z rysunkiem!), długość łuku, pole wycinka, odcinki stycznych, czworokąt wpisany. Zadanie otwarte: dowód z kątami w okręgu.

Wzory

Długość okręgu i pole koła

L=2\pi r,\qquad P=\pi r^2

Podstawowe wzory dla okręgu i koła o promieniu $r$ .

Długość łuku

l=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r

Część obwodu proporcjonalna do kąta środkowego.

Pole wycinka

P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2

Część pola koła proporcjonalna do kąta środkowego.

Kąt wpisany i środkowy

\alpha_{\text{wpis}}=\frac12\alpha_{\text{środk}}

Oba oparte na tym samym łuku.

Odcinek stycznej

|PA|^2=|PO|^2-r^2

Styczna ⊥ promień; z jednego punktu dwa równe odcinki stycznych.

Czworokąt wpisany

\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ

Warunek wpisania czworokąta w okrąg.

Czworokąt opisany

a+c=b+d

Warunek opisania czworokąta na okręgu.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Punkt $P$ leży w odległości $13$ od środka okręgu o promieniu $5$ . Z punktu $P$ poprowadzono styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ . Oblicz długość odcinka $PA$ i pole czworokąta $PAOB$ .

Styczna jest prostopadła do promienia, więc trójkąt $OAP$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$ :

Trójkąt

OAP

jest prostokątny (kąt prosty przy

A

|PA|=\sqrt{13^2-5^2}=12

, a czworokąt

PAOB

to dwa takie trójkąty.

|PA|=\sqrt{13^2-5^2}=12.

Czworokąt $PAOB$ to dwa przystające trójkąty prostokątne: $P=2\cdot\frac12\cdot5\cdot12=60$ .

|PA|=12

, pole czworokąta

60

Przykład 2

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $O$ . Kąt $AOB$ ma miarę $140^\circ$ . Oblicz miarę kąta $ACB$ , gdy punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ , oraz gdy leży na krótszym.

Na dłuższym łuku kąt wpisany opiera się na krótszym łuku (tym, na którym oparty jest kąt środkowy $140^\circ$ ): $\angle ACB=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ$ .

Kąt środkowy

140^\circ

: kąt wpisany z punktu na dłuższym łuku ma połowę tej miary (

70^\circ

), a z punktu na krótszym łuku

180^\circ-70^\circ=110^\circ

Na krótszym łuku kąt opiera się na pozostałej części okręgu ( $360^\circ-140^\circ=220^\circ$ ): $\angle ACB=110^\circ$ (zgodnie z regułą $180^\circ-70^\circ$ ).

70^\circ

(dłuższy łuk) lub

110^\circ

(krótszy łuk)

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ ma miarę $110^\circ$ . Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę

$220^\circ$
$110^\circ$
$70^\circ$
$55^\circ$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

\frac{110^\circ}{2}=55^\circ.

Odpowiedź D

Zadanie 2 (1 pkt)

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu, a punkt $C$ leży na okręgu ( $C\neq A,B$ ). Kąt $ACB$ ma miarę

$45^\circ$
$90^\circ$
$60^\circ$
$180^\circ$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze prosty. Średnica to łuk półokręgu, kąt środkowy na nim ma $180^\circ$ , a wpisany połowę:

\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Długość łuku okręgu o promieniu $6$ , odpowiadającego kątowi środkowemu $60^\circ$ , jest równa

$2\pi$
$6\pi$
$\pi$
$12\pi$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Łuk to kawałek obwodu: taki ułamek obwodu, jaki ułamek pełnego kąta ( $360^\circ$ ) stanowi kąt środkowy.

Obwód: $2\pi r=12\pi$ . Ułamek: $\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16$ .

l=\frac16\cdot12\pi=2\pi.

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Pole wycinka koła o promieniu $4$ , wyznaczonego przez kąt środkowy $90^\circ$ , jest równe

$16\pi$
$2\pi$
$4\pi$
$8\pi$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Wycinek to kawałek koła: kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego kąta, więc wycinek to ćwiartka koła.

Pole koła: $\pi r^2=16\pi$ .

P=\frac14\cdot16\pi=4\pi.

Odpowiedź C

Zadanie 5 (1 pkt)

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $\angle A=70^\circ$ . Kąt $C$ ma miarę

$70^\circ$
$110^\circ$
$140^\circ$
$20^\circ$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$ . Kąty $A$ i $C$ są przeciwległe:

\angle C=180^\circ-70^\circ=110^\circ.

Odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)

Czworokąt $ABCD$ jest opisany na okręgu, $|AB|=7$ , $|BC|=4$ , $|CD|=5$ . Długość boku $AD$ jest równa

$6$
$2$
$16$
$8$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe:

|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.

7+5=4+|AD|,\qquad |AD|=8.

Odpowiedź D

Zadanie 7 (2 pkt)

Punkt $P$ leży w odległości $10$ od środka okręgu o promieniu $6$ . Oblicz długość odcinka stycznej poprowadzonej z punktu $P$ do okręgu.

Odpowiedź: $8$

Rozwiązanie

Oznaczmy: $O$ to środek okręgu, $A$ to punkt styczności. Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, więc trójkąt $OAP$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$ .

Znamy: $|OA|=r=6$ , $|OP|=10$ (to przeciwprostokątna). Z Pitagorasa:

|PA|=\sqrt{|OP|^2-|OA|^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.

8

Zadanie 8 (2 pkt)

W okręgu o promieniu $10$ poprowadzono cięciwę długości $16$ . Oblicz odległość tej cięciwy od środka okręgu.

Odpowiedź: $6$

Rozwiązanie

Odległość cięciwy od środka mierzymy prostopadle. Ten odcinek dzieli cięciwę na połowy, po $\frac{16}{2}=8$ .

Powstaje trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna to promień $10$ , przyprostokątne to $8$ i szukana odległość $d$ .

d=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.

6

Zadanie 9 (2 pkt)

W kwadrat o boku $6$ wpisano koło. Oblicz pole części kwadratu leżącej poza kołem.

Odpowiedź: $36-9\pi$

Rozwiązanie

Koło wpisane w kwadrat dotyka wszystkich boków, więc jego średnica to bok kwadratu: $2r=6$ , $r=3$ .

Pole szukanej części to pole kwadratu minus pole koła:

36-\pi\cdot3^2=36-9\pi\approx7{,}73.

36-9\pi

Zadanie 10 (1 pkt)

Na okręgu o środku $O$ leżą punkty $A$ , $B$ , $C$ , przy czym $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ , a $\angle AOB=140^\circ$ . Kąt $ACB$ ma miarę

$140^\circ$
$110^\circ$
$70^\circ$
$40^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\angle ACB=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ$ .

Odpowiedź C

Zadanie 11 (2 pkt)

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, a jego kąty $A$ i $C$ są równe. Wykaż, że $\angle A=90^\circ$ i że przekątna $BD$ jest średnicą okręgu.

Odpowiedź: $\angle A+\angle C=180^\circ$ i $\angle A=\angle C\Rightarrow\angle A=90^\circ$ ; kąt wpisany prosty opiera się na średnicy $BD$ .

Rozwiązanie

Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc $\angle A+\angle C=180^\circ$ . Skoro $\angle A=\angle C$ , to $2\angle A=180^\circ$ , czyli $\angle A=90^\circ$ .
Kąt $BAD$ jest kątem wpisanym opartym na cięciwie $BD$ . Kąt wpisany jest prosty dokładnie wtedy, gdy jest oparty na półokręgu, więc $BD$ jest średnicą. ∎

Inne tematy: Czworokąty i wielokąty · Twierdzenia sinusów i cosinusów, okrąg wpisany i opisany