Twierdzenia sinusów i cosinusów, okrąg wpisany i opisany: teoria i zadania maturalne

Jak „rozwiązać” dowolny trójkąt: twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów, promienie okręgów wpisanego i opisanego, a na rozszerzeniu: twierdzenie o dwusiecznej i strategie dowodów.

Teoria

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie o bokach $a,b,c$ i kątach $\alpha,\beta,\gamma$ (leżących naprzeciw tych boków), wpisanym w okrąg o promieniu $R$ :

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.

Trójkąt wpisany w okrąg o promieniu

R

: każdy bok podzielony przez sinus kąta naprzeciw niego daje

2R

, np.

\frac{c}{\sin\gamma}=2R

Kiedy używać: znasz bok i kąt naprzeciw niego (i coś jeszcze) albo pytają o promień okręgu opisanego.

Twierdzenie cosinusów

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

(analogicznie dla pozostałych boków). To uogólnienie Pitagorasa: dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos\gamma=0$ .
Kiedy używać: znasz dwa boki i kąt między nimi (szukasz trzeciego boku) albo trzy boki (szukasz kąta: $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ ).

Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab·cos γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b.

Który rodzaj trójkąta?

Znak $\cos\gamma$ dla największego kąta: $a^2+b^2-c^2>0$ : ostrokątny, $=0$ : prostokątny, $<0$ : rozwartokątny.

Okrąg opisany na trójkącie

Środek: punkt przecięcia symetralnych boków. Promień:

R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{abc}{4P}.

W trójkącie prostokątnym środek leży w połowie przeciwprostokątnej: $R=\frac c2$ . W równobocznym: $R=\frac{a\sqrt3}{3}$ .

Okrąg wpisany w trójkąt

Środek: punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Promień:

r=\frac{2P}{a+b+c}=\frac{P}{p}.

Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów (linie przerywane), a promień

r

jest prostopadły do boku. Tu

r=\frac{3+4-5}{2}=1

W trójkącie prostokątnym: $r=\frac{a+b-c}{2}$ . W równobocznym: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$ .

Skąd

P=p\cdot r

Połącz środek okręgu wpisanego z wierzchołkami: trójkąt rozpada się na trzy trójkąty o wysokości $r$ i podstawach $a$ , $b$ , $c$ . Suma ich pól: $\frac12ar+\frac12br+\frac12cr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$ .

Twierdzenie o dwusiecznejR

Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku długości boków przyległych: jeśli dwusieczna kąta $C$ przecina $AB$ w punkcie $D$ , to $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$ .

Strategie dowodów geometrycznychR

Zaznacz na rysunku wszystkie równe kąty i odcinki z założeń.
Szukaj trójkątów przystających (cechy bbb, bkb, kbk) lub podobnych (kkk, bbb, bkb).
Wykorzystaj kąty wpisane, styczne, równoległość (kąty odpowiadające/naprzemianległe).
Rachunkowo: twierdzenia sinusów i cosinusów, pola liczone na dwa sposoby.
Pisz uzasadnienie każdej równości: to za nie są punkty.

Na maturze

Twierdzenia sinusów i cosinusów są w tablicach: kluczowe jest rozpoznanie, którego użyć. Zadania otwarte: obliczenie boku/kąta, promienia, pola; rozszerzenie: zadania łączące kilka twierdzeń i dowody.

Wzory

Twierdzenie sinusów

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

Bok i kąt naprzeciw niego; promień okręgu opisanego.

Twierdzenie cosinusów

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.

Kąt z trzech boków

\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Przekształcone twierdzenie cosinusów.

Promień okręgu opisanego

R=\frac{abc}{4P}

Gdy znasz trzy boki i pole. W prostokątnym $R=\frac c2$ .

Promień okręgu wpisanego

r=\frac{2P}{a+b+c}

Pole przez połowę obwodu. W prostokątnym $r=\frac{a+b-c}2$ .

Twierdzenie o dwusiecznej

\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}

Dwusieczna kąta $C$ dzieli bok $AB$ w stosunku boków przyległych.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Dwa boki trójkąta mają długości $7$ i $8$ , a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$ . Oblicz długość trzeciego boku, pole trójkąta i promień okręgu opisanego.

Tw. cosinusów: $c^2=49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\cos120^\circ=113-112\cdot\left(-\frac12\right)=113+56=169\Rightarrow c=13$ .

Boki

7

8

z kątem

120^\circ

między nimi: trzeci bok wynika z twierdzenia cosinusów,

c=13

Pole: $P=\frac12\cdot7\cdot8\cdot\sin120^\circ=28\cdot\frac{\sqrt3}{2}=14\sqrt3$ .
Tw. sinusów: $2R=\frac{c}{\sin120^\circ}=\frac{13}{\sqrt3/2}=\frac{26}{\sqrt3}$ , więc $R=\frac{13}{\sqrt3}=\frac{13\sqrt3}{3}$ .

c=13

P=14\sqrt3

R=\frac{13\sqrt3}{3}

Przykład 2

Trójkąt ma boki $13$ , $14$ , $15$ . Oblicz promienie okręgów wpisanego i opisanego.

Pole (Heron): $p=21$ , $P=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ .
$r=\frac{P}{p}=\frac{84}{21}=4$ .
$R=\frac{abc}{4P}=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}$ .

r=4

R=\frac{65}{8}

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

W trójkącie bok długości $6$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

$3$
$12$
$6$
$6\sqrt3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$2R=\frac{6}{\sin30^\circ}=12\Rightarrow R=6$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Dwa boki trójkąta mają długości $3$ i $5$ , a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$ . Trzeci bok ma długość

$\sqrt{19}$
$7$
$\sqrt{34}$
$4$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc trzeci bok liczymy z twierdzenia cosinusów:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.

Tu $a=3$ , $b=5$ , $\cos60^\circ=\frac12$ :

c^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\frac12=34-15=19,\qquad c=\sqrt{19}.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym o bokach $6$ , $8$ , $10$ promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego są równe odpowiednio

$5$ i $4$
$10$ i $2$
$5$ i $2$
$4$ i $2$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, więc $R=\frac{10}{2}=5$ .

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ :

r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $6$ jest równy

$\sqrt3$
$3\sqrt3$
$3$
$2\sqrt3$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$R=\frac{6\sqrt3}3=2\sqrt3$ (to $\frac23$ wysokości $3\sqrt3$ ).

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

W trójkącie $ABC$ : $\angle A=45^\circ$ , $\angle B=30^\circ$ , $|BC|=4\sqrt2$ . Długość boku $AC$ jest równa

$4$
$8$
$2\sqrt2$
$4\sqrt3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$\frac{4\sqrt2}{\sin45^\circ}=\frac{|AC|}{\sin30^\circ}\Rightarrow|AC|=\frac{4\sqrt2\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}2}=4$ .

Odpowiedź A

Zadanie 6 (1 pkt)

Trójkąt o bokach $5$ , $6$ , $9$ jest

ostrokątny
prostokątny
rozwartokątny
równoramienny

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$25+36=61<81$ ⇒ $\cos\gamma<0$ : rozwartokątny.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Boki trójkąta mają długości $5$ , $7$ , $8$ . Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ .

Odpowiedź: $60^\circ$

Rozwiązanie

$\cos\gamma=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8}=\frac{40}{80}=\frac12\Rightarrow\gamma=60^\circ$ .

60^\circ

Zadanie 8 (2 pkt)

Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$ . Oblicz długości jego przekątnych.

Odpowiedź: $7$ i $\sqrt{129}$

Rozwiązanie

Krótsza: $d_1^2=25+64-80\cos60^\circ=89-40=49\Rightarrow d_1=7$ .
Dłuższa: $d_2^2=25+64-80\cos120^\circ=89+40=129\Rightarrow d_2=\sqrt{129}$ .

7

\sqrt{129}

Zadanie 9 (2 pkt)

Trójkąt ma boki $13$ , $14$ , $15$ i pole $84$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odpowiedź: $r=4$

Rozwiązanie

Pole trójkąta to połowa obwodu razy promień okręgu wpisanego: $P=p\cdot r$ , gdzie $p$ to połowa obwodu.

Obwód: $13+14+15=42$ , więc $p=21$ .

84=21\cdot r,\qquad r=\frac{84}{21}=4.

r=4

Zadanie 10 (4 pkt)

W trójkącie $ABC$ : $|AB|=8$ , $|AC|=5$ , $\angle BAC=60^\circ$ . Oblicz $|BC|$ , pole trójkąta oraz promień okręgu opisanego.

Odpowiedź: $|BC|=7$ , $P=10\sqrt3$ , $R=\frac{7\sqrt3}{3}$

Rozwiązanie

$|BC|^2=64+25-2\cdot8\cdot5\cdot\frac12=49\Rightarrow|BC|=7$ .
$P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=10\sqrt3$ .
$2R=\frac{7}{\sin60^\circ}=\frac{14}{\sqrt3}\Rightarrow R=\frac{7}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}$ .

|BC|=7

P=10\sqrt3

R=\frac{7\sqrt3}3

Zadanie 11 (2 pkt)

W trójkącie $ABC$ : $|AC|=6$ , $|BC|=4$ , $|AB|=5$ . Dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$ . Oblicz długości odcinków $AD$ i $DB$ .

Odpowiedź: $|AD|=3$ , $|DB|=2$

Rozwiązanie

$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac64=\frac32$ ; $|AD|+|DB|=5\Rightarrow|AD|=3$ , $|DB|=2$ .

|AD|=3

|DB|=2

Zadanie 12 (3 pkt)

Wykaż, że jeśli w trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ zachodzi $a^2+b^2=5c^2$ , to środkowe poprowadzone do boków $a$ i $b$ są prostopadłe. Wskazówka: środkowa do boku $a$ ma długość $m_a$ , gdzie $4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$ .

Odpowiedź: Środkowe przecinają się w $S$ w stosunku $2:1$ ; warunek prostopadłości $\left(\frac23m_a\right)^2+\left(\frac23m_b\right)^2=c^2$ sprowadza się do $a^2+b^2=5c^2$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ : punkt przecięcia środkowych $AM$ ( $m_a$ , do boku $a=|BC|$ ) i $BN$ ( $m_b$ , do boku $b=|AC|$ ). Wtedy $|AS|=\frac23m_a$ , $|BS|=\frac23m_b$ , $|AB|=c$ .
Z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa: $\angle ASB=90^\circ\iff\frac49m_a^2+\frac49m_b^2=c^2\iff4m_a^2+4m_b^2=9c^2$ .
Ze wzoru na środkowe: $4m_a^2+4m_b^2=(2b^2+2c^2-a^2)+(2a^2+2c^2-b^2)=a^2+b^2+4c^2$ .
Warunek: $a^2+b^2+4c^2=9c^2\iff a^2+b^2=5c^2$ : a to jest założenie. Zatem środkowe są prostopadłe. ∎

Inne tematy: Okrąg i koło, kąty w okręgu