Kąty i trójkąty: teoria i zadania maturalne

Kąty przy prostych równoległych, suma kątów, nierówność trójkąta, twierdzenie Pitagorasa i odwrotne, trójkąt równoboczny, wzory na pole (także wzór Herona) oraz pierwsze dowody geometryczne.

Teoria

Kąty

wierzchołkowe: równe; przyległe: sumują się do $180^\circ$ ,
przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą: kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.

Kąty naprzemianległe (α i α) są równe; α + β = 180° (kąty przyległe).

Przykład: jeden z kątów przy przecięciu prostych ma

40^\circ

Kąt wierzchołkowy jest równy: $40^\circ$ .
Kąt przyległy dopełnia do $180^\circ$ : $180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .

Trójkąt: podstawowe fakty

suma kątów wewnętrznych: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ ; kąt zewnętrzny = suma dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych,
nierówność trójkąta: każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych ( $a<b+c$ ); wystarczy sprawdzić najdłuższy bok,
naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt,
w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Przykład: dwa kąty trójkąta mają

50^\circ

60^\circ

. Ile ma trzeci?

Suma kątów to $180^\circ$ : $180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$ .

70^\circ

Przykład: czy istnieje trójkąt o bokach

3

4

8

Sprawdzamy najdłuższy bok: $8<3+4$ ? Nie, bo $3+4=7$ .

taki trójkąt nie istnieje

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a,b$ i przeciwprostokątnej $c$ :

a^2+b^2=c^2.

Kwadraty zbudowane na przyprostokątnych (

9+16

) mają razem takie pole jak kwadrat na przeciwprostokątnej (

25

a^2+b^2=c^2

Przykład: przyprostokątne mają

6

8

. Oblicz przeciwprostokątną

c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

c=10

Przykład: przeciwprostokątna ma

13

, jedna przyprostokątna

5

. Oblicz drugą

Szukamy przyprostokątnej, więc odejmujemy: $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ .

b=12

Twierdzenie odwrotne: jeśli $a^2+b^2=c^2$ , to trójkąt jest prostokątny. Ogólniej, dla najdłuższego boku $c$ : $c^2<a^2+b^2$ : ostrokątny, $c^2>a^2+b^2$ : rozwartokątny.

Przykład: jaki jest trójkąt o bokach

7

8

12

Najdłuższy bok: $12^2=144$ . Suma kwadratów pozostałych: $49+64=113$ .
$144>113$ , więc kąt naprzeciw najdłuższego boku jest rozwarty.

rozwartokątny

Trójki pitagorejskie: znaj na pamięć

$(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ i ich wielokrotności, np. $(6,8,10)$ , $(9,12,15)$ . Oszczędzają mnóstwo rachunków.

Odcinki w trójkącie

wysokość: odcinek prostopadły z wierzchołka do prostej zawierającej przeciwległy bok,
środkowa: łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku; środkowe przecinają się w jednym punkcie (środek ciężkości) i dzielą się w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka,
dwusieczna: dzieli kąt na połowy; dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego,
symetralne boków przecinają się w środku okręgu opisanego.

Z wierzchołka

C

: wysokość

h

(prostopadła do

AB

) i środkowa

s

(do środka

M

boku

AB

Trójkąt równoboczny o boku $a$

h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad R=\frac23h=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac13h=\frac{a\sqrt3}{6}.

Przykład: trójkąt równoboczny o boku

a=6

h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3,\qquad P=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3

h=3\sqrt3

P=9\sqrt3

Pole trójkąta: pięć wzorów

P=\frac12a\cdot h_a=\frac12ab\sin\gamma=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R}=p\cdot r,

gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ : połowa obwodu (wzór Herona), $R$ , $r$ : promienie okręgów opisanego i wpisanego.

Przykład: boki

5

8

, kąt między nimi

30^\circ

Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc wzór z sinusem:

P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin30^\circ=20\cdot\frac12=10

P=10

Na maturze

Zadania zamknięte z kątami (równoległe, trójkąt równoramienny), Pitagorasem, polem trójkąta równobocznego. Zadanie otwarte: dowód geometryczny (2 pkt): pisz, z czego wynika każda równość kątów lub odcinków.

Wzory

Suma kątów trójkąta

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Podstawa wszystkich zadań z kątami.

Twierdzenie Pitagorasa

a^2+b^2=c^2

Trójkąt prostokątny; $c$ : przeciwprostokątna. Twierdzenie odwrotne rozpoznaje kąt prosty.

Nierówność trójkąta

a<b+c

Z trzech odcinków zbudujesz trójkąt, gdy najdłuższy jest krótszy od sumy pozostałych.

Trójkąt równoboczny

h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}

Wysokość i pole trójkąta równobocznego o boku $a$ .

Pole trójkąta (podstawa i wysokość)

P=\frac12a\cdot h_a

Najprostszy wzór: wysokość opuszczona na bok $a$ .

Wzór Herona

P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}2

Pole z trzech boków.

Środkowe

|AS|:|SM|=2:1

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$ od wierzchołka.

Rodzaj trójkąta z boków

c^2\lessgtr a^2+b^2

$c$ : najdłuższy bok: $<$ ostrokątny, $=$ prostokątny, $>$ rozwartokątny.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $13$ , a jedna z przyprostokątnych $5$ . Oblicz drugą przyprostokątną, pole trójkąta i wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Pitagoras: $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ .
Pole: $P=\frac12\cdot5\cdot12=30$ .
Wysokość na przeciwprostokątną: to samo pole, inna podstawa: $\frac12\cdot13\cdot h=30\Rightarrow h=\frac{60}{13}$ .

Wysokość

h

opuszczona na przeciwprostokątną: to samo pole liczone na dwa sposoby,

\frac12\cdot5\cdot12=\frac12\cdot13\cdot h

b=12

P=30

h=\frac{60}{13}

Przykład 2

W trójkącie $ABC$ środkowa $CS$ ma długość równą połowie boku $AB$ . Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

$S$ : środek $AB$ , więc $|AS|=|SB|=\frac12|AB|=|CS|$ .

Trójkąt $ASC$ jest równoramienny ( $|AS|=|CS|$ ), więc $\angle SCA=\angle SAC=\alpha$ .
Trójkąt $BSC$ jest równoramienny ( $|BS|=|CS|$ ), więc $\angle SCB=\angle SBC=\beta$ .

Zatem $\angle ACB=\alpha+\beta$ . Suma kątów trójkąta $ABC$ : $\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ\Rightarrow\alpha+\beta=90^\circ$ .

\angle ACB=90^\circ

: trójkąt jest prostokątny. ∎

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku $2:3:4$ . Największy kąt tego trójkąta ma miarę

$60^\circ$
$90^\circ$
$80^\circ$
$100^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$9x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ$ ; kąty $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Z odcinków o podanych długościach można zbudować trójkąt w przypadku

$3,4,8$
$2,3,5$
$4,5,8$
$1,2,4$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$8<3+4$ ? nie. $5<2+3$ ? nie (równość). $8<4+5$ ✓. $4<1+2$ ? nie.

Odpowiedź C

Zadanie 3 (1 pkt)

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$ . Przeciwprostokątna ma długość

$14$
$10$
$\sqrt{28}$
$100$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Twierdzenie Pitagorasa: suma kwadratów przyprostokątnych to kwadrat przeciwprostokątnej, $a^2+b^2=c^2$ .

c^2=6^2+8^2=36+64=100,\qquad c=\sqrt{100}=10.

Pułapka: $6+8=14$ to nie jest przeciwprostokątna, trzeba dodawać kwadraty.

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ jest równe

$9\sqrt3$
$18\sqrt3$
$36\sqrt3$
$3\sqrt3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ (wzór z karty): $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}$ .

P=\frac{6^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3.

Odpowiedź A

Zadanie 5 (1 pkt)

W trójkącie dwa kąty mają miary $50^\circ$ i $70^\circ$ . Kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku ma miarę

$60^\circ$
$110^\circ$
$130^\circ$
$120^\circ$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Kąt wewnętrzny: $60^\circ$ , zewnętrzny $180^\circ-60^\circ=120^\circ=50^\circ+70^\circ$ .

Odpowiedź D

Zadanie 6 (1 pkt)

Trójkąt o bokach $4$ , $5$ , $6$ jest

prostokątny
rozwartokątny
ostrokątny
równoramienny

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Porównujemy kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych:

równe: trójkąt prostokątny (Pitagoras),
najdłuższy $^2$ mniejszy: ostrokątny,
najdłuższy $^2$ większy: rozwartokątny.

6^2=36,\qquad 4^2+5^2=16+25=41.

$36<41$ , więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Sprawdź, czy trójkąt o bokach $7$ , $24$ , $25$ jest prostokątny. Oblicz jego pole.

Odpowiedź: Tak ( $49+576=625$ ); pole $84$

Rozwiązanie

$49+576=625=25^2$ : prostokątny, przyprostokątne $7$ i $24$ . $P=\frac12\cdot7\cdot24=84$ .

Prostokątny,

P=84

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz pole trójkąta o bokach $13$ , $14$ , $15$ .

Odpowiedź: $84$

Rozwiązanie

$p=\frac{13+14+15}2=21$ ; $P=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ .
(Sposób 2: wysokość na bok $14$ dzieli go na $5$ i $9$ , $h=12$ , $P=\frac12\cdot14\cdot12=84$ .)

P=84

Zadanie 9 (2 pkt)

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $6$ . Oblicz długość boku i pole tego trójkąta.

Odpowiedź: $a=4\sqrt3$ , $P=12\sqrt3$

Rozwiązanie

$\frac{a\sqrt3}{2}=6\Rightarrow a=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ . $P=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot6=12\sqrt3$ .

a=4\sqrt3

P=12\sqrt3

Zadanie 10 (2 pkt)

W trójkącie równoramiennym $ABC$ ( $|AC|=|BC|$ ) kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $40^\circ$ . Dwusieczna kąta $A$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Oblicz miarę kąta $ADB$ .

Odpowiedź: $\angle ADB=75^\circ$

Rozwiązanie

$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$ ; $\angle DAB=35^\circ$ .
W trójkącie $ABD$ : $\angle ADB=180^\circ-35^\circ-70^\circ=75^\circ$ .

75^\circ

Zadanie 11 (2 pkt)

Na boku $BC$ trójkąta $ABC$ wybrano punkt $D$ tak, że $|AD|=|BD|=|AC|$ . Kąt $ABC$ ma miarę $25^\circ$ . Wykaż, że kąt $BAC$ ma miarę $105^\circ$ .

Odpowiedź: $\angle ADC=50^\circ$ (kąt zewnętrzny), $\angle ACD=50^\circ$ , więc $\angle BAC=180^\circ-25^\circ-50^\circ=105^\circ$ .

Rozwiązanie

$|AD|=|BD|$ ⇒ trójkąt $ABD$ równoramienny: $\angle BAD=\angle ABD=25^\circ$ .
$\angle ADC$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $ABD$ : $\angle ADC=25^\circ+25^\circ=50^\circ$ .
$|AD|=|AC|$ ⇒ trójkąt $ADC$ równoramienny: $\angle ACD=\angle ADC=50^\circ$ .
W trójkącie $ABC$ : $\angle BAC=180^\circ-25^\circ-50^\circ=105^\circ$ . ∎

Inne tematy: Twierdzenie Talesa i podobieństwo figur

Kąty i trójkąty: teoria i zadania maturalne

Teoria

Kąty

Trójkąt: podstawowe fakty

Twierdzenie Pitagorasa

Odcinki w trójkącie

Trójkąt równoboczny o boku aaa

Pole trójkąta: pięć wzorów

Wzory

Suma kątów trójkąta

Twierdzenie Pitagorasa

Nierówność trójkąta

Trójkąt równoboczny

Pole trójkąta (podstawa i wysokość)

Wzór Herona

Środkowe

Rodzaj trójkąta z boków

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (1 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (2 pkt)

Zadanie 10 (2 pkt)

Zadanie 11 (2 pkt)

Trójkąt równoboczny o boku $a$