Wyrażenia wymierne: teoria i zadania maturalne

Ułamki, w których licznik i mianownik są wielomianami: dziedzina, skracanie, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. To przygotowanie do równań wymiernych i funkcji homograficznej.

Teoria

Wyrażenie wymierne i jego dziedzina

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów $\frac{W(x)}{P(x)}$ , gdzie $P$ nie jest wielomianem zerowym. Ponieważ nie wolno dzielić przez zero, dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, dla których $P(x)\neq0$ .

Wyznaczanie dziedziny

$\frac{x+2}{x^2-4x}$ : mianownik $x^2-4x=x(x-4)=0\iff x=0\lor x=4$ . Dziedzina: $D=\mathbb{R}\setminus\{0,4\}$ .
$\frac{3}{x^2+1}$ : $x^2+1>0$ zawsze, więc $D=\mathbb{R}$ .

Skracanie

Skracać można tylko przez wspólny czynnik licznika i mianownika. Najpierw rozkładamy oba na czynniki.

\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x},\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}.

Dziedzinę ustalamy przed skróceniem: liczba $-3$ nadal jest z niej wykluczona.

Skracanie składników

$\frac{x+2}{x}\neq2$ i $\frac{x^2+4}{x+2}\neq x+2$ . Skracamy czynniki (to, co jest mnożone), nigdy składniki sumy!

Dodawanie i odejmowanie

Sprowadzamy do wspólnego mianownika (najlepiej najmniejszego):

\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{x^2-1},\qquad x\neq\pm1.

Minus przed ułamkiem

Przy odejmowaniu cały licznik drugiego ułamka bierzemy w nawias: $-(x-1)=-x+1$ . To miejsce najczęstszych pomyłek.

Mnożenie i dzielenie

mnożenie: $\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$ : przed wymnożeniem rozłóż na czynniki i skróć,
dzielenie: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$ : mnożymy przez odwrotność.

Przy dzieleniu dziedzina wymaga, by $B\neq0$ , $D\neq0$ oraz $C\neq0$ (nie dzielimy przez zero).

Iloraz

\frac{x^2-25}{x+1}:\frac{x-5}{x^2-1}=\frac{(x-5)(x+5)}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x-5}=(x+5)(x-1),

przy czym $x\notin\{-1,1,5\}$ .

Wyrażenie „niezależne od

x

”

Gdy masz wykazać, że wartość wyrażenia nie zależy od $x$ , uprość je do stałej. Nie zapomnij podać, dla jakich $x$ wyrażenie ma sens.

Na maturze

Zadania zamknięte: dziedzina, wynik skracania lub dodawania. Wyrażenia wymierne wracają w równaniach wymiernych, w funkcji $f(x)=\frac ax$ i w zadaniach optymalizacyjnych.

Wzory

Dziedzina wyrażenia wymiernego

\frac{W(x)}{P(x)}:\quad D=\{x\in\mathbb{R}:\ P(x)\neq0\}

Wykluczamy miejsca zerowe mianownika.

Skracanie

\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac AB\quad(C\neq0)

Skracamy tylko wspólne czynniki. Wcześniej rozkładamy licznik i mianownik.

Dodawanie ułamków

\frac AB+\frac CD=\frac{AD+BC}{BD}

Wspólny mianownik. Gdy mianowniki mają wspólny czynnik, bierz najmniejszą wspólną wielokrotność.

Mnożenie ułamków

\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}

Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik (najpierw skracaj „na krzyż”).

Dzielenie ułamków

\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC

Mnożymy przez odwrotność dzielnika; wymagamy też $C\neq0$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Uprość wyrażenie $\dfrac{x^2-9}{x^2+3x}$ i podaj, dla jakich $x$ ma ono sens.

Dziedzina: $x^2+3x=x(x+3)\neq0$ , więc $x\neq0$ i $x\neq-3$ .
Rozkład i skracanie:

\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x}.

Po skróceniu zostaje

y=\frac{x-3}{x}

, ale

x=-3

dalej nie należy do dziedziny: na wykresie jest tam „dziura”, a przy

x=0

asymptota.

\dfrac{x-3}{x}

dla

x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,0\}

Przykład 2

Wykaż, że dla $x\notin\{-1,1\}$ wartość wyrażenia $\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)\cdot\dfrac{x^2-1}{2}$ nie zależy od $x$ .

Nawias: wspólny mianownik $(x-1)(x+1)$ :

\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}.

Mnożenie:

\frac{2}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2}=1.

Wyrażenie jest równe

1

dla każdego

x\notin\{-1,1\}

, więc nie zależy od

x

. ∎

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Dziedziną wyrażenia $\dfrac{x+2}{x^2-4x}$ jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus\{-2\}$
$\mathbb{R}\setminus\{4\}$
$\mathbb{R}\setminus\{0,4\}$
$\mathbb{R}\setminus\{-2,0,4\}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$x(x-4)\neq0\iff x\neq0\ \land\ x\neq4$ . Licznik może być zerem (wtedy wyrażenie ma wartość $0$ ).

Odpowiedź C:

\mathbb{R}\setminus\{0,4\}

Zadanie 2 (1 pkt)

Dla $x\neq-1$ wyrażenie $\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}$ jest równe

$\frac{x-1}{x+1}$
$-\frac{1}{2x}$
$x-1$
$\frac{x+1}{x-1}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{x+1}$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Dla $x\neq0$ suma $\dfrac1x+\dfrac{1}{2x}$ jest równa

$\frac{2}{3x}$
$\frac{1}{3x}$
$\frac{2}{2x^2}$
$\frac{3}{2x}$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ .

Odpowiedź D:

\frac{3}{2x}

Zadanie 4 (2 pkt)

Uprość wyrażenie $\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$ i podaj jego dziedzinę.

Odpowiedź: $\frac{x+2}{x}$ , $x\in\mathbb{R}\setminus\{0,2\}$

Rozwiązanie

Dziedzina: $x^2-2x=x(x-2)\neq0\Rightarrow x\neq0,\ x\neq2$ .

\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x}.

\dfrac{x+2}{x}

dla

x\in\mathbb{R}\setminus\{0,2\}

Zadanie 5 (2 pkt)

Wykonaj działanie $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}$ i podaj założenia.

Odpowiedź: $\frac{x+10}{x^2-4}$ , $x\neq\pm2$

Rozwiązanie

Założenia: $x\neq2$ , $x\neq-2$ .

\frac{3(x+2)-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+6-2x+4}{x^2-4}=\frac{x+10}{x^2-4}.

\dfrac{x+10}{x^2-4}

x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}

Zadanie 6 (1 pkt)

Dla $x\notin\{-3,0\}$ iloczyn $\dfrac{x^2-9}{2x}\cdot\dfrac{4x^2}{x+3}$ jest równy

$2x(x+3)$
$2x(x-3)$
$\frac{x-3}{2x}$
$4x(x-3)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\frac{(x-3)(x+3)}{2x}\cdot\frac{4x^2}{x+3}=(x-3)\cdot\frac{4x^2}{2x}=(x-3)\cdot2x=2x(x-3)$ .

Odpowiedź B

Zadanie 7 (2 pkt)

Wykonaj dzielenie $\dfrac{x^2-25}{x+1}:\dfrac{x-5}{x^2-1}$ i podaj założenia.

Odpowiedź: $(x+5)(x-1)$ , $x\notin\{-1,1,5\}$

Rozwiązanie

Założenia: $x+1\neq0$ , $x^2-1\neq0$ , $x-5\neq0$ , czyli $x\notin\{-1,1,5\}$ .

\frac{(x-5)(x+5)}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x-5}=(x+5)(x-1).

(x+5)(x-1)

dla

x\notin\{-1,1,5\}

Zadanie 8 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\dfrac{x^2-2x}{x-2}$ dla $x=\sqrt3$ jest równa

$\sqrt3-2$
$3$
$\sqrt3$
$-\sqrt3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Dla $x\neq2$ : $\frac{x(x-2)}{x-2}=x$ . Dla $x=\sqrt3$ wartość to $\sqrt3$ .

Odpowiedź C:

\sqrt3

Zadanie 9 (1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $\dfrac{x^3-8}{x^2+2x+4}$ jest równe

$x-2$
$x+2$
$x^2-2$
$\frac{x-2}{x+2}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ . Mianownik ma $\Delta=4-16<0$ , więc nigdy nie jest zerem: wyrażenie ma sens dla każdego $x$ .

\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2+2x+4}=x-2.

Odpowiedź A:

x-2

Zadanie 10 (2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby $x\notin\{-2,2\}$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}-\dfrac{4}{x-2}$ nie zależy od $x$ . Podaj tę wartość.

Odpowiedź: Wyrażenie jest równe $1$ .

Rozwiązanie

Krok 1: skracamy pierwszy ułamek (dla $x\neq\pm2$ ):

\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}=\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x-2}.

Krok 2: odejmujemy (wspólny mianownik $x-2$ ):

\frac{x+2}{x-2}-\frac{4}{x-2}=\frac{x+2-4}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}=1.

Wniosek: dla każdego $x\notin\{-2,2\}$ wyrażenie jest równe $1$ : nie zależy od $x$ . ∎

Zadanie 11 (2 pkt)

Dla jakiej liczby $x$ wartość wyrażenia $\dfrac{x-3}{x+2}$ jest równa $2$ ?

Odpowiedź: $x=-7$

Rozwiązanie

Założenie: $x\neq-2$ . Mnożymy przez $x+2$ :

x-3=2(x+2)\ \Rightarrow\ x-3=2x+4\ \Rightarrow\ x=-7.

$-7\neq-2$ , więc rozwiązanie spełnia założenie. Sprawdzenie: $\frac{-10}{-5}=2$ ✓.

x=-7

Inne tematy: Wielomiany