Wielomiany: teoria i zadania maturalne

Stopień, współczynniki i pierwiastki wielomianu, działania na wielomianach, rozkład na czynniki, a na rozszerzeniu: dzielenie wielomianów, schemat Hornera, twierdzenie o reszcie i twierdzenie Bezouta.

Teoria

Czym jest wielomian

Wielomian jednej zmiennej $x$ stopnia $n$ to wyrażenie

W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,\qquad a_n\neq0.

$a_n,\dots,a_0$ : współczynniki, $a_n$ : współczynnik przy najwyższej potędze, $a_0$ : wyraz wolny,
$n$ : stopień wielomianu (najwyższa potęga $x$ z niezerowym współczynnikiem).

Np. $W(x)=-2x^4+x^2-7$ ma stopień $4$ , $a_4=-2$ , wyraz wolny $-7$ . Funkcja liniowa to wielomian stopnia $1$ , kwadratowa: stopnia $2$ .

Dwie szybkie wartości

$W(0)=a_0$ (wyraz wolny), a $W(1)=a_n+\ldots+a_1+a_0$ (suma współczynników). Np. suma współczynników $(x-2)^5+3$ to $W(1)=(-1)^5+3=2$ : bez rozwijania!

Działania na wielomianach

dodawanie/odejmowanie: redukcja wyrazów podobnych,
mnożenie: każdy wyraz przez każdy; stopień iloczynu = suma stopni: $(2x^3-1)(x^2+3x)$ ma stopień $3+2=5$ .

Pierwiastek wielomianu

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ , gdy $W(a)=0$ . Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków.

Pierwiastki to miejsca zerowe wykresu:

W(x)=x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)

przecina oś

x

w punktach

-3

1

2

. Ma stopień

3

, więc więcej pierwiastków być nie może.

Rozkład wielomianu na czynniki

Cel: zapisać $W(x)$ jako iloczyn czynników możliwie niskiego stopnia. Wtedy łatwo odczytać pierwiastki. Metody:

Wyłączanie wspólnego czynnika: $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$ .
Grupowanie wyrazów:

x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3).

Wzory skróconego mnożenia: $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ .
Trójmian kwadratowy rozkładamy za pomocą $\Delta$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ (gdy $\Delta\ge0$ ).

Czynnik nierozkładalny

Trójmian kwadratowy z $\Delta<0$ (np. $x^2+1$ , $x^2+x+1$ ) nie rozkłada się na czynniki liniowe i nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Dzielenie wielomianów i schemat HorneraR

Dla wielomianów $W$ i $P\neq0$ istnieją jedyne $Q$ (iloraz) i $R$ (reszta) takie, że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x)$ , gdzie stopień $R$ jest mniejszy od stopnia $P$ .
Dzielenie przez dwumian $x-a$ najszybciej wykonasz schematem Hornera: przepisz współczynniki, pierwszy sprowadź w dół, a potem kolejno „pomnóż przez $a$ i dodaj do następnego”. Dla $(x^3-4x^2+x+6):(x-2)$ :

	$1$	$-4$	$1$	$6$
$a=2$	$1$	$-2$	$-3$	$0$

Iloraz: $x^2-2x-3$ , reszta: $0$ .

Twierdzenie o reszcie i twierdzenie BezoutaR

O reszcie: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa $W(a)$ .
Bezout: liczba $a$ jest pierwiastkiem $W$ $\iff$ $W(x)$ jest podzielny przez $(x-a)$ , czyli $W(x)=(x-a)Q(x)$ .
Pierwiastki wymierne: jeśli współczynniki są całkowite, a ułamek nieskracalny $\frac pq$ jest pierwiastkiem, to $p$ dzieli wyraz wolny $a_0$ , a $q$ dzieli $a_n$ . W szczególności pierwiastki całkowite są dzielnikami wyrazu wolnego.
Krotność: $a$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym, gdy $W(x)=(x-a)^kQ(x)$ i $Q(a)\neq0$ .

Typowy schemat (rozszerzenie)R

Rozłóż $W(x)=x^3-7x+6$ : dzielniki wyrazu wolnego $6$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ . $W(1)=1-7+6=0$ , więc $W(x)=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)$ .

Równość wielomianówR

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach. Pozwala to wyznaczać nieznane współczynniki (porównujemy współczynniki).

Wzory

Postać ogólna wielomianu

W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0,\ a_n\neq0

$n$ : stopień, $a_0$ : wyraz wolny.

Wartości szczególne

W(0)=a_0,\qquad W(1)=\sum a_i

Wyraz wolny i suma wszystkich współczynników: bez rozwijania nawiasów.

Stopień iloczynu

\deg(W\cdot P)=\deg W+\deg P

Przy mnożeniu wielomianów stopnie się dodają.

Rozkład przez grupowanie

ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+k(ax+b)

Działa, gdy po wyłączeniu czynników z par wyrazów w nawiasach zostaje to samo.

Rozkład trójmianu

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Postać iloczynowa (gdy $\Delta\ge0$ ): pierwiastki $x_1,x_2$ liczymy z delty.

Dzielenie z resztą

W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x),\ \deg R<\deg P

Ogólna postać dzielenia wielomianów.

Twierdzenie o reszcie

R=W(a)\ \text{(dzielenie przez } x-a)

Resztę z dzielenia przez $x-a$ dostajesz, wstawiając $a$ do wielomianu.

Twierdzenie Bezouta

W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)

Znając pierwiastek, możesz „wyciągnąć” czynnik $(x-a)$ i obniżyć stopień wielomianu.

Pierwiastki wymierne

\frac pq:\ p\mid a_0,\ q\mid a_n

Kandydaci na pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-2x^2-9x+18$ na czynniki liniowe i podaj jego pierwiastki.

Grupujemy po dwa wyrazy:

W(x)=(x^3-2x^2)+(-9x+18)=x^2(x-2)-9(x-2).

W obu częściach jest czynnik $(x-2)$ , wyłączamy go:

W(x)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3).

Wykres

W(x)=(x-2)(x-3)(x+3)

przecina oś

x

dokładnie w pierwiastkach

-3

2

3

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.

W(x)=(x-2)(x-3)(x+3)

; pierwiastki:

2,\ 3,\ -3

Przykład 2

Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-4x^2+x+6$ na czynniki.

Krok 1: kandydaci na pierwiastki całkowite: dzielniki wyrazu wolnego $6$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ .
Krok 2: sprawdzamy: $W(1)=1-4+1+6=4\neq0$ ; $W(-1)=-1-4-1+6=0$ ✓.
Krok 3: dzielimy przez $(x+1)$ schematem Hornera ( $a=-1$ ):

	$1$	$-4$	$1$	$6$
$a=-1$	$1$	$-5$	$6$	$0$

Iloraz: $x^2-5x+6$ . Krok 4: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ .

W(x)=(x+1)(x-2)(x-3)

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Stopień wielomianu $W(x)=(2x^3-1)(x^2+3x)$ jest równy

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$2x^3\cdot x^2=2x^5$ , więc stopień to $3+2=5$ .

Odpowiedź B:

5

Zadanie 2 (1 pkt)

Suma wszystkich współczynników wielomianu $W(x)=(x-2)^5+3$ jest równa

$-29$
$3$
$2$
$35$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$W(1)=(1-2)^5+3=-1+3=2$ . ( $-29=W(0)$ to wyraz wolny: pułapka.)

Odpowiedź C:

2

Zadanie 3 (1 pkt)

Dane są wielomiany $W(x)=x^3-3x+2$ i $P(x)=x^2+x$ . Wielomian $W(x)-P(x)$ jest równy

$x^3-x^2-4x+2$
$x^3+x^2-2x+2$
$x^3-x^2-2x+2$
$x^3-4x^2+2$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Odejmując wielomian, zmieniamy znak każdego jego wyrazu (minus przed nawiasem):

W(x)-P(x)=x^3-3x+2-(x^2+x)=x^3-3x+2-x^2-x.

Porządkujemy od najwyższej potęgi i łączymy wyrazy z $x$ : $-3x-x=-4x$ .

=x^3-x^2-4x+2.

Pułapka: odejmujemy też $x$ , nie tylko $x^2$ .

Odpowiedź A

Zadanie 4 (1 pkt)

Wielomian $x^3-4x$ po rozłożeniu na czynniki ma postać

$x(x-4)$
$x(x-2)^2$
$(x^2-2)(x+2)$
$x(x-2)(x+2)$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Krok 1: wyłączamy wspólny czynnik $x$ przed nawias:

x^3-4x=x(x^2-4).

Krok 2: $x^2-4$ to różnica kwadratów $x^2-2^2=(x-2)(x+2)$ :

x^3-4x=x(x-2)(x+2).

Sprawdzenie: wymnażając z powrotem, dostajemy $x(x^2-4)=x^3-4x$ .

Odpowiedź D

Zadanie 5 (2 pkt)

Rozłóż wielomian $W(x)=2x^3+3x^2-8x-12$ na czynniki liniowe.

Odpowiedź: $(2x+3)(x-2)(x+2)$

Rozwiązanie

$W(x)=x^2(2x+3)-4(2x+3)=(2x+3)(x^2-4)=(2x+3)(x-2)(x+2)$ .
Pierwiastki: $-\frac32,\ 2,\ -2$ .

W(x)=(2x+3)(x-2)(x+2)

Zadanie 6 (1 pkt)

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-ax-6$ . Wtedy

$a=9$
$a=3$
$a=11$
$a=7$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Liczba $3$ jest pierwiastkiem, czyli $W(3)=0$ . Podstawiamy $x=3$ :

W(3)=3^3-a\cdot3-6=27-3a-6=21-3a.

Przyrównujemy do zera i wyznaczamy $a$ :

21-3a=0,\qquad 3a=21,\qquad a=7.

Odpowiedź D:

a=7

Zadanie 7 (2 pkt)

Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ ma pierwiastki $1$ i $2$ . Wyznacz $a$ i $b$ , a następnie trzeci pierwiastek.

Odpowiedź: $a=-6$ , $b=11$ ; trzeci pierwiastek: $3$

Rozwiązanie

$W(1)=1+a+b-6=0\Rightarrow a+b=5$ .
$W(2)=8+4a+2b-6=0\Rightarrow 4a+2b=-2\Rightarrow 2a+b=-1$ .
Odejmujemy: $(2a+b)-(a+b)=-1-5\Rightarrow a=-6$ , więc $b=11$ .
$W(x)=x^3-6x^2+11x-6$ . Ponieważ $1$ i $2$ są pierwiastkami: $W(x)=(x-1)(x-2)(x-c)$ ; porównując wyrazy wolne: $-1\cdot(-2)\cdot(-c)=-2c=-6\Rightarrow c=3$ .

a=-6

b=11

, trzeci pierwiastek

x=3

Zadanie 8 (1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^4-3x^2+2x-1$ przez dwumian $x+1$ jest równa

$-1$
$-5$
$1$
$5$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $x-a$ to po prostu $W(a)$ (twierdzenie o reszcie). Tu dzielimy przez $x+1=x-(-1)$ , więc $a=-1$ .

Podstawiamy $x=-1$ :

W(-1)=(-1)^4-3\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-1=1-3-2-1=-5.

Uwaga na znaki: $(-1)^4=1$ i $(-1)^2=1$ , bo parzysta potęga liczby ujemnej jest dodatnia.

Odpowiedź B:

-5

Zadanie 9 (2 pkt)

Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-7x+6$ na czynniki liniowe.

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x+3)$

Rozwiązanie

Dzielniki $6$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ . $W(1)=1-7+6=0$ , więc $(x-1)\mid W$ .
Horner dla współczynników $1,\ 0,\ -7,\ 6$ i $a=1$ : $1,\ 1,\ -6,\ 0$ : iloraz $x^2+x-6$ .
$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ (bo $\Delta=25$ , $x=\frac{-1\pm5}{2}$ ).

W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)

Zadanie 10 (3 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$ , a reszta z dzielenia $W(x)$ przez $x+2$ jest równa $-3$ . Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$ .

Odpowiedź: $R(x)=2x+1$

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia przez wielomian stopnia $2$ ma stopień co najwyżej $1$ : $W(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b$ .
Z twierdzenia o reszcie: $W(1)=3$ i $W(-2)=-3$ . Wstawiamy (pierwszy składnik się zeruje):

a+b=3,\qquad -2a+b=-3.

Odejmujemy: $3a=6\Rightarrow a=2$ , $b=1$ .

Reszta:

R(x)=2x+1

Zadanie 11 (1 pkt)

Pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+5x^2-2x-24$ jest liczba

$-1$
$1$
$2$
$3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$W(-1)=-1+5+2-24=-18$ , $W(1)=1+5-2-24=-20$ , $W(2)=8+20-4-24=0$ ✓, $W(3)=27+45-6-24=42$ .

Odpowiedź C:

2

Zadanie 12 (2 pkt)

Wyznacz $m$ , dla którego wielomian $W(x)=2x^3-mx+3$ jest podzielny przez dwumian $x+1$ . Dla wyznaczonego $m$ rozłóż $W$ na czynniki nierozkładalne.

Odpowiedź: $m=-1$ ; $W(x)=(x+1)(2x^2-2x+3)$

Rozwiązanie

$W(-1)=-2+m+3=m+1=0\Rightarrow m=-1$ , więc $W(x)=2x^3+x+3$ .
Horner ( $a=-1$ ) dla $2,\ 0,\ 1,\ 3$ : $2,\ -2,\ 3,\ 0$ : iloraz $2x^2-2x+3$ .
$\Delta=4-24=-20<0$ , więc trójmian jest nierozkładalny.

m=-1

W(x)=(x+1)(2x^2-2x+3)

Zadanie 13 (2 pkt)

Wyznacz liczby $a$ , $b$ , $c$ tak, aby wielomiany $(x-2)(ax^2+bx+c)$ i $2x^3-3x^2-3x+2$ były równe.

Odpowiedź: $a=2$ , $b=1$ , $c=-1$

Rozwiązanie

$(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c$ .
Porównujemy: $a=2$ ; $\ b-2a=-3\Rightarrow b=1$ ; $\ c-2b=-3\Rightarrow c=-1$ ; kontrola: $-2c=2$ ✓.

a=2

b=1

c=-1

Inne tematy: Wzory skróconego mnożenia i dowody algebraiczne · Wyrażenia wymierne