Wzory skróconego mnożenia i dowody algebraiczne: teoria i zadania maturalne

Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia (kwadraty, sześciany, różnica kwadratów) i ich zastosowanie w rachunkach, rozkładzie na czynniki oraz w dowodach nierówności.

Teoria

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrazy podobne (te same zmienne w tych samych potęgach) dodajemy: $3x^2-5x+2x^2+x=5x^2-4x$ .
Mnożenie sumy przez sumę: każdy wyraz przez każdy: $(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$ .
Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie: $-(x^2-3x+1)=-x^2+3x-1$ .

Przykład: uprość

(x+2)(x-5)-(x^2-3x+1)

Mnożymy nawiasy, każdy wyraz przez każdy: $(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$ .
Minus przed drugim nawiasem zmienia znaki: $-x^2+3x-1$ .
Dodajemy wyrazy podobne: $x^2-x^2-3x+3x-10-1$ .

-11

Wzory skróconego mnożenia: kwadraty

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Przykład: rozwiń

(2x-1)^2

Tu $a=2x$ , a $b=1$ . Wstawiamy do wzoru na kwadrat różnicy:

(2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2-4x+1

4x^2-4x+1

Przykład: rozłóż

4x^2-9

To różnica kwadratów: $4x^2=(2x)^2$ i $9=3^2$ .

4x^2-9=(2x-3)(2x+3)

Najczęstszy błąd na maturze

$(a+b)^2\neq a^2+b^2$ . Brakuje „podwojonego iloczynu” $2ab$ !
Np. $(x+3)^2=x^2+6x+9$ , a nie $x^2+9$ .
Podobnie $(2x)^2=4x^2$ , a nie $2x^2$ .

Geometrycznie: kwadrat o boku a + b składa się z kwadratów a², b² i dwóch prostokątów ab.

Wzory skróconego mnożenia: sześciany

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Jak zapamiętać sumę i różnicę sześcianów

W pierwszym nawiasie ten sam znak co w wyrażeniu, w drugim nawiasie środkowy wyraz ma znak przeciwny, a ostatni zawsze „ $+$ ”.
Np. $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ .
Np. $27y^3+1=(3y+1)(9y^2-3y+1)$ .

Zastosowania

Przykład: rachunki w pamięci

$51^2=(50+1)^2=2500+100+1=2601$ .
$49\cdot51=(50-1)(50+1)=2500-1=2499$ .
$1001^2-999^2=(1001-999)(1001+999)=2\cdot2000=4000$ .

Pierwiastki: $(\sqrt5-\sqrt2)^2=5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}$ , $\ (\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=7-4=3$ .

Rozkład na czynniki (czytanie wzorów „od prawej”): $x^2-10x+25=(x-5)^2$ , $\ 4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$ .

Znajomość sumy i iloczynu: jeśli $a+b=s$ i $ab=p$ , to $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=s^2-2p$ .

Dowody algebraiczne

Kluczowy fakt: kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $x^2\ge0$ , a więc także $(a-b)^2\ge0$ .

Schemat dowodu nierówności:

Przenieś wszystko na jedną stronę.
Przekształć do postaci sumy kwadratów (lub iloczynu, którego znak znasz).
Napisz wniosek: „suma kwadratów jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa”.

Przykład: udowodnij, że

a^2+b^2\ge2ab

dla dowolnych

a,b

Przenosimy wszystko na lewą stronę: $a^2+b^2-2ab\ge0$ .
Lewa strona to kwadrat różnicy: $(a-b)^2\ge0$ .
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa. ∎
Równość zachodzi dla $a=b$ .

Na maturze

Zadania zamknięte: rozwinięcie kwadratu, obliczenie wartości wyrażenia z pierwiastkami, rozkład na czynniki. Zadanie otwarte (2 pkt): dowód nierówności lub tożsamości: pisz każdy krok i kończ wnioskiem.

Wzory ogólneR

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})$ , a dla nieparzystych $n$ również $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})$ . Np. $x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ .

Wzory

Kwadrat sumy

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Rozwijanie kwadratu sumy. Pamiętaj o podwojonym iloczynie $2ab$ .

Kwadrat różnicy

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Jak wyżej, ale środkowy wyraz ze znakiem minus. Ostatni wyraz zawsze dodatni.

Różnica kwadratów

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Najczęściej używany wzór do rozkładu na czynniki i usuwania niewymierności.

Sześcian sumy

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Rozwijanie sześcianu sumy (współczynniki $1,3,3,1$ ).

Sześcian różnicy

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Znaki naprzemienne: $+,-,+,-$ .

Suma sześcianów

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Rozkład sumy sześcianów na czynniki.

Różnica sześcianów

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Rozkład różnicy sześcianów na czynniki.

Suma kwadratów przez sumę i iloczyn

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

Gdy znasz $a+b$ i $ab$ (np. ze wzorów Viète'a), obliczysz $a^2+b^2$ bez wyznaczania $a$ i $b$ .

Nieujemność kwadratu

(a-b)^2\ge0\ \Rightarrow\ a^2+b^2\ge2ab

Podstawa niemal wszystkich dowodów nierówności na maturze.

Różnica n-tych potęg

a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+b^{n-1}\right)

Uogólnienie różnicy kwadratów i sześcianów.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Uprość wyrażenie $(2x-3)^2-(x+1)(x-1)-3x(x-4)$ .

Rozwijamy każdą część osobno:

$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$
$(x+1)(x-1)=x^2-1$
$3x(x-4)=3x^2-12x$

Składamy, pamiętając o minusach przed nawiasami:

4x^2-12x+9-(x^2-1)-(3x^2-12x)=4x^2-12x+9-x^2+1-3x^2+12x.

Redukujemy: $x^2$ : $4-1-3=0$ ; $x$ : $-12+12=0$ ; wyrazy wolne: $9+1=10$ .

Wyrażenie jest równe

10

(dla każdego

x

Przykład 2

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+2\ge2a+2b$ .

Krok 1: wszystko na lewą stronę:

a^2+b^2+2-2a-2b\ge0.

Krok 2: grupujemy w kwadraty: $2=1+1$ , więc

(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\ge0\iff(a-1)^2+(b-1)^2\ge0.

Krok 3: wniosek: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma dwóch kwadratów jest nieujemna. Ostatnia nierówność jest prawdziwa, a była równoważna wyjściowej: co kończy dowód. ∎
Równość zachodzi dla $a=b=1$ .

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Wyrażenie $(2x-3)^2$ jest równe

$4x^2-9$
$4x^2-6x+9$
$4x^2-12x+9$
$2x^2-12x+9$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2-12x+9$ .
A: zapomniany podwojony iloczyn; B: brak dwójki w $2ab$ ; D: błędne $(2x)^2=2x^2$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczba $(\sqrt3-1)^2$ jest równa

$2$
$4-2\sqrt3$
$4$
$2-2\sqrt3$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$(\sqrt3)^2-2\sqrt3+1=3-2\sqrt3+1=4-2\sqrt3$ .

Odpowiedź B:

4-2\sqrt3

Zadanie 3 (1 pkt)

Wyrażenie $x^2-6x+9-y^2$ można zapisać w postaci

$(x-3-y)^2$
$(x-3)^2+y^2$
$(x-y-3)(x+y+3)$
$(x-3-y)(x-3+y)$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$x^2-6x+9=(x-3)^2$ , więc wyrażenie to $(x-3)^2-y^2$ : różnica kwadratów:

(x-3)^2-y^2=\big((x-3)-y\big)\big((x-3)+y\big)=(x-3-y)(x-3+y).

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $1001^2-999^2$ jest równa

$2$
$4000$
$2000$
$4$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Liczenie $1001^2$ na piechotę to dużo pracy. Szybciej ze wzoru na różnicę kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , tu $a=1001$ , $b=999$ .

1001^2-999^2=(1001-999)(1001+999)=2\cdot2000=4000.

Odpowiedź B:

4000

Zadanie 5 (1 pkt)

Wyrażenie $(x+2)^3$ jest równe

$x^3+8$
$x^3+6x^2+12x+8$
$x^3+2x^2+4x+8$
$x^3+6x^2+6x+8$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$x^3+3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot4+8=x^3+6x^2+12x+8$ .

Odpowiedź B

Zadanie 6 (2 pkt)

Uprość wyrażenie $(3a+2b)^2-(3a-2b)^2$ .

Odpowiedź: $24ab$

Rozwiązanie

Sposób 1: $(9a^2+12ab+4b^2)-(9a^2-12ab+4b^2)=24ab$ .
Sposób 2 (różnica kwadratów): $\big[(3a+2b)-(3a-2b)\big]\big[(3a+2b)+(3a-2b)\big]=4b\cdot6a=24ab$ .

Wynik:

24ab

Zadanie 7 (2 pkt)

Rozłóż na czynniki wyrażenie $8x^3-27$ .

Odpowiedź: $(2x-3)(4x^2+6x+9)$

Rozwiązanie

$8x^3-27=(2x)^3-3^3$ . Ze wzoru na różnicę sześcianów z $a=2x$ , $b=3$ :

(2x-3)\big((2x)^2+2x\cdot3+3^2\big)=(2x-3)(4x^2+6x+9).

Drugi czynnik nie rozkłada się dalej ( $\Delta=36-144<0$ ).

8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9)

Zadanie 8 (2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2+4y^2\ge4xy$ .

Odpowiedź: $x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2\ge0$ .

Rozwiązanie

Przenosimy wszystko na lewą stronę: $x^2-4xy+4y^2\ge0$ .
Lewa strona to kwadrat różnicy: $x^2-2\cdot x\cdot2y+(2y)^2=(x-2y)^2$ .
Nierówność $(x-2y)^2\ge0$ jest prawdziwa dla wszystkich $x,y$ , bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Jest ona równoważna wyjściowej, co kończy dowód. ∎

Zadanie 9 (1 pkt)

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=7$ oraz $ab=10$ . Wtedy $a^2+b^2$ jest równe

$29$
$49$
$39$
$69$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=49-20=29$ . (Sprawdzenie: $a=5$ , $b=2$ : $25+4=29$ ✓.)

Odpowiedź A:

29

Zadanie 10 (2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $a+\dfrac1a\ge2$ .

Odpowiedź: Mnożąc przez $a>0$ : $a^2+1\ge2a\iff(a-1)^2\ge0$ : prawda.

Rozwiązanie

Ponieważ $a>0$ , mnożymy obie strony przez $a$ bez zmiany zwrotu:

a^2+1\ge2a\iff a^2-2a+1\ge0\iff(a-1)^2\ge0.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego $a$ (kwadrat jest nieujemny), a wszystkie przekształcenia były równoważne (dla $a>0$ ). ∎
Równość zachodzi dla $a=1$ . Ważne: dla $a<0$ nierówność jest fałszywa (np. $-1+\frac1{-1}=-2$ ), dlatego założenie $a>0$ jest istotne.

Zadanie 11 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia $(x-1)^2-(x+1)(x-3)$ dla $x=\sqrt7$ .

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie

$(x-1)^2=x^2-2x+1$ , $\ (x+1)(x-3)=x^2-2x-3$ .
Różnica: $x^2-2x+1-x^2+2x+3=4$ .
Wyrażenie jest równe $4$ dla każdego $x$ , więc także dla $x=\sqrt7$ .

Wynik:

4

Zadanie 12 (1 pkt)

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=3$ i $ab=2$ . Wartość wyrażenia $a^3+b^3$ jest równa

$27$
$9$
$15$
$21$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ , więc

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=27-3\cdot2\cdot3=27-18=9.

Sprawdzenie: $a=1$ , $b=2$ : $1+8=9$ ✓.

Odpowiedź B:

9

Inne tematy: Wielomiany