Matmaniak · Matura 2027 · Wzory maturalne · Tablica online · Wykresy funkcji · Załóż darmowe konto Dział 6. Trygonometria
Kąty od 0° do 180° i tożsamości trygonometryczne: teoria i zadania maturalne Definicje funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych, znaki dla kątów rozwartych, wzory redukcyjne 180 ∘ − α 180^\circ-\alpha 18 0 ∘ − α 1 2 a b sin γ \frac12ab\sin\gamma 2 1 ab sin γ
Teoria Definicja w układzie współrzędnych Niech punkt P = ( x , y ) P=(x,y) P = ( x , y ) α \alpha α O X OX O X r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2
sin α = y r , cos α = x r , tg α = y x ( x ≠ 0 ) . \sin\alpha=\frac yr,\qquad\cos\alpha=\frac xr,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac yx\ (x\neq0). sin α = r y , cos α = r x , tg α = x y ( x = 0 ) . x y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 0 P = (x, y) r y x < 0 Kąt rozwarty: punkt P leży w II ćwiartce, więc x < 0, y > 0: sinus dodatni, cosinus i tangens ujemne. Dla kątów ostrych to ta sama definicja co w trójkącie. Dla kątów rozwartych (90 ∘ < α < 180 ∘ 90^\circ<\alpha<180^\circ 9 0 ∘ < α < 18 0 ∘ sin α > 0 \sin\alpha>0 sin α > 0 cos α < 0 \cos\alpha<0 cos α < 0 tg α < 0 \operatorname{tg}\alpha<0 tg α < 0
Wartości szczególne α \alpha α 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ sin α \sin\alpha sin α 0 0 0 1 1 1 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 1 2 \frac12 2 1 0 0 0 cos α \cos\alpha cos α 1 1 1 0 0 0 − 1 2 -\frac12 − 2 1 − 2 2 -\frac{\sqrt2}{2} − 2 2 − 3 2 -\frac{\sqrt3}{2} − 2 3 − 1 -1 − 1 tg α \operatorname{tg}\alpha tg α 0 0 0 : − 3 -\sqrt3 − 3 − 1 -1 − 1 − 3 3 -\frac{\sqrt3}{3} − 3 3 0 0 0
Wzory redukcyjne sin ( 180 ∘ − α ) = sin α , cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α , tg ( 180 ∘ − α ) = − tg α . \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha. sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α , cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α , tg ( 18 0 ∘ − α ) = − tg α . Np. cos 120 ∘ = cos ( 180 ∘ − 60 ∘ ) = − cos 60 ∘ = − 1 2 \cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\frac12 cos 12 0 ∘ = cos ( 18 0 ∘ − 6 0 ∘ ) = − cos 6 0 ∘ = − 2 1
x y −1 −0,5 0,5 1 −1 −0,5 0,5 1 0 α α P P′ Punkty P P P α \alpha α P ′ P' P ′ 180 ∘ − α 180^\circ-\alpha 18 0 ∘ − α y y y sin \sin sin cos \cos cos Tożsamości sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = sin α cos α . \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = cos α sin α . Z cos 2 α = 16 25 \cos^2\alpha=\frac{16}{25} cos 2 α = 25 16 cos α = 4 5 \cos\alpha=\frac45 cos α = 5 4 cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\frac45 cos α = − 5 4
Przekształcaj jedną stronę (zwykle bardziej skomplikowaną), zamieniaj tg \operatorname{tg} tg sin cos \frac{\sin}{\cos} c o s s i n sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α 1 1 1
Pole trójkąta z sinusem P = 1 2 a b sin γ , P=\frac12ab\sin\gamma, P = 2 1 ab sin γ , gdzie γ \gamma γ między bokami a a a b b b sin ( 180 ∘ − γ ) = sin γ \sin(180^\circ-\gamma)=\sin\gamma sin ( 18 0 ∘ − γ ) = sin γ P = a b sin α P=ab\sin\alpha P = ab sin α
Wysokość opuszczona na bok a a a h = b sin γ h=b\sin\gamma h = b sin γ P = 1 2 a h = 1 2 a b sin γ P=\frac12ah=\frac12ab\sin\gamma P = 2 1 ah = 2 1 ab sin γ Na maturze
Zadania zamknięte: wartość dla kąta rozwartego, jedna funkcja z drugiej z uwzględnieniem znaku, pole trójkąta. Otwarte: dowód tożsamości (2 pkt), obliczenia w figurach z kątem rozwartym.
Wzory Definicja w układzie współrzędnych sin α = y r , cos α = x r , tg α = y x \sin\alpha=\frac yr,\ \cos\alpha=\frac xr,\ \operatorname{tg}\alpha=\frac yx sin α = r y , cos α = r x , tg α = x y P = ( x , y ) P=(x,y) P = ( x , y ) r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2
Wzory redukcyjne (180° − α) sin ( 180 ∘ − α ) = sin α , cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α , cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α Sprowadzają kąt rozwarty do ostrego.
Tangens kąta rozwartego tg ( 180 ∘ − α ) = − tg α \operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha tg ( 18 0 ∘ − α ) = − tg α Tangens kąta rozwartego jest ujemny.
Jedynka trygonometryczna sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 sin 2 α + cos 2 α = 1 Prawdziwa dla każdego kąta. Uważaj na znak przy wyciąganiu pierwiastka.
Tangens przez sinus i cosinus tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α Podstawa przekształceń tożsamości.
Pole trójkąta P = 1 2 a b sin γ P=\frac12ab\sin\gamma P = 2 1 ab sin γ γ \gamma γ a a a b b b
Przykłady rozwiązane krok po kroku Przykład 1 Kąt α \alpha α sin α = 3 5 \sin\alpha=\frac35 sin α = 5 3 cos α \cos\alpha cos α tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
cos 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 \cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} cos 2 α = 1 − 25 9 = 25 16 cos α = ± 4 5 \cos\alpha=\pm\frac45 cos α = ± 5 4 ⇒ cos α < 0 \Rightarrow\cos\alpha<0 ⇒ cos α < 0 cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\frac45 cos α = − 5 4
Kąt rozwarty α \alpha α 5 5 5 sin α = 3 5 \sin\alpha=\frac35 sin α = 5 3 cos α = − 4 5 < 0 \cos\alpha=\frac{-4}{5}<0 cos α = 5 − 4 < 0 tg α = 3 / 5 − 4 / 5 = − 3 4 \operatorname{tg}\alpha=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34 tg α = − 4/5 3/5 = − 4 3
cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\frac45 cos α = − 5 4 ,
tg α = − 3 4 \operatorname{tg}\alpha=-\frac34 tg α = − 4 3 Przykład 2 Wykaż, że dla każdego kąta ostrego α \alpha α tg α + 1 tg α = 1 sin α cos α \operatorname{tg}\alpha+\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} tg α + tg α 1 = sin α cos α 1
Przekształcamy lewą stronę:
sin α cos α + cos α sin α = sin 2 α + cos 2 α sin α cos α = 1 sin α cos α . \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}. cos α sin α + sin α cos α = sin α cos α sin 2 α + cos 2 α = sin α cos α 1 . Otrzymaliśmy prawą stronę. ∎ (Dla kąta ostrego sin α ≠ 0 \sin\alpha\neq0 sin α = 0 cos α ≠ 0 \cos\alpha\neq0 cos α = 0
Zadania maturalne z rozwiązaniami Zadanie 1 (1 pkt) Wartość cos 120 ∘ \cos120^\circ cos 12 0 ∘
1 2 \frac12 2 1 − 3 2 -\frac{\sqrt3}{2} − 2 3 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 − 1 2 -\frac12 − 2 1 Odpowiedź: D
Rozwiązanie Wzór redukcyjny dla kątów rozwartych: cos ( 180 ∘ − α ) = − cos α \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α 120 ∘ = 180 ∘ − 60 ∘ 120^\circ=180^\circ-60^\circ 12 0 ∘ = 18 0 ∘ − 6 0 ∘
cos 120 ∘ = − cos 60 ∘ = − 1 2 . \cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12. cos 12 0 ∘ = − cos 6 0 ∘ = − 2 1 . Zapamiętaj: dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus dodatni.
Zadanie 2 (1 pkt) Wartość sin 150 ∘ \sin150^\circ sin 15 0 ∘
1 2 \frac12 2 1 − 1 2 -\frac12 − 2 1 3 2 \frac{\sqrt3}{2} 2 3 − 3 2 -\frac{\sqrt3}{2} − 2 3 Odpowiedź: A
Rozwiązanie Wzór redukcyjny: sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α 150 ∘ = 180 ∘ − 30 ∘ 150^\circ=180^\circ-30^\circ 15 0 ∘ = 18 0 ∘ − 3 0 ∘
sin 150 ∘ = sin 30 ∘ = 1 2 . \sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12. sin 15 0 ∘ = sin 3 0 ∘ = 2 1 . Sinus kąta rozwartego jest dodatni, więc znak zostaje.
Zadanie 3 (1 pkt) Kąt α \alpha α sin α = 12 13 \sin\alpha=\frac{12}{13} sin α = 13 12 cos α \cos\alpha cos α
5 13 \frac{5}{13} 13 5 − 5 13 -\frac{5}{13} − 13 5 − 12 13 -\frac{12}{13} − 13 12 1 13 \frac{1}{13} 13 1 Odpowiedź: B
Rozwiązanie cos 2 α = 1 − 144 169 = 25 169 \cos^2\alpha=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169} cos 2 α = 1 − 169 144 = 169 25 cos α = − 5 13 \cos\alpha=-\frac5{13} cos α = − 13 5
Zadanie 4 (1 pkt) Wartość tg 135 ∘ \operatorname{tg}135^\circ tg 13 5 ∘
1 1 1 − 3 -\sqrt3 − 3 − 1 -1 − 1 2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 Odpowiedź: C
Rozwiązanie tg 135 ∘ = − tg 45 ∘ = − 1 \operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1 tg 13 5 ∘ = − tg 4 5 ∘ = − 1
Zadanie 5 (1 pkt) Pole trójkąta o bokach 6 6 6 8 8 8 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘
24 24 24 12 12 12 12 3 12\sqrt3 12 3 48 48 48 Odpowiedź: B
Rozwiązanie Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: P = 1 2 a b sin γ P=\frac12ab\sin\gamma P = 2 1 ab sin γ
Potrzebny sin 150 ∘ = sin 30 ∘ = 1 2 \sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12 sin 15 0 ∘ = sin 3 0 ∘ = 2 1
P = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 1 2 = 12. P=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac12=12. P = 2 1 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 2 1 = 12. Zadanie 6 (1 pkt) Punkt P = ( − 3 , 4 ) P=(-3,4) P = ( − 3 , 4 ) α \alpha α
sin α = 4 5 \sin\alpha=\frac45 sin α = 5 4 sin α = − 3 5 \sin\alpha=-\frac35 sin α = − 5 3 cos α = 3 5 \cos\alpha=\frac35 cos α = 5 3 tg α = − 3 4 \operatorname{tg}\alpha=-\frac34 tg α = − 4 3 Odpowiedź: A
Rozwiązanie r = 9 + 16 = 5 r=\sqrt{9+16}=5 r = 9 + 16 = 5 sin α = 4 5 \sin\alpha=\frac45 sin α = 5 4 cos α = − 3 5 \cos\alpha=-\frac35 cos α = − 5 3 tg α = − 4 3 \operatorname{tg}\alpha=-\frac43 tg α = − 3 4
Zadanie 7 (1 pkt) Dla kąta ostrego x x x cos x = sin 40 ∘ \cos x=\sin40^\circ cos x = sin 4 0 ∘ x x x
40 ∘ 40^\circ 4 0 ∘ 140 ∘ 140^\circ 14 0 ∘ 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 50 ∘ 50^\circ 5 0 ∘ Odpowiedź: D
Rozwiązanie sin 40 ∘ = cos 50 ∘ \sin40^\circ=\cos50^\circ sin 4 0 ∘ = cos 5 0 ∘ x = 50 ∘ x=50^\circ x = 5 0 ∘
Zadanie 8 (2 pkt) Kąt α \alpha α ( 90 ∘ , 180 ∘ ) (90^\circ,180^\circ) ( 9 0 ∘ , 18 0 ∘ ) tg α = − 2 \operatorname{tg}\alpha=-2 tg α = − 2 sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α
Odpowiedź: sin α = 2 5 5 \sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5} sin α = 5 2 5 cos α = − 5 5 \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5} cos α = − 5 5
Rozwiązanie sin α = − 2 cos α \sin\alpha=-2\cos\alpha sin α = − 2 cos α 4 cos 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 5 4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos^2\alpha=\frac15 4 cos 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 5 1 cos α = − 1 5 = − 5 5 \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5} cos α = − 5 1 = − 5 5 sin α = − 2 cos α = 2 5 5 \sin\alpha=-2\cos\alpha=\frac{2\sqrt5}{5} sin α = − 2 cos α = 5 2 5
sin α = 2 5 5 \sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5} sin α = 5 2 5 ,
cos α = − 5 5 \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5} cos α = − 5 5 Zadanie 9 (2 pkt) Kąt α \alpha α cos α = 1 3 \cos\alpha=\frac13 cos α = 3 1 tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
Odpowiedź: 2 2 2\sqrt2 2 2
Rozwiązanie sin α = 8 9 = 2 2 3 \sin\alpha=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3} sin α = 9 8 = 3 2 2 tg α = 2 2 / 3 1 / 3 = 2 2 \operatorname{tg}\alpha=\frac{2\sqrt2/3}{1/3}=2\sqrt2 tg α = 1/3 2 2 /3 = 2 2
tg α = 2 2 \operatorname{tg}\alpha=2\sqrt2 tg α = 2 2 Zadanie 10 (2 pkt) Wykaż, że dla każdego kąta α \alpha α ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 = 2 (\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2 ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 = 2
Odpowiedź: Rozwinięcie daje 2 sin 2 α + 2 cos 2 α = 2 2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha=2 2 sin 2 α + 2 cos 2 α = 2
Rozwiązanie ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 = sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α + sin 2 α − 2 sin α cos α + cos 2 α (\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha ( sin α + cos α ) 2 + ( sin α − cos α ) 2 = sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α + sin 2 α − 2 sin α cos α + cos 2 α = 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) = 2 ⋅ 1 = 2 =2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=2\cdot1=2 = 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) = 2 ⋅ 1 = 2
Zadanie 11 (2 pkt) Kąt α \alpha α sin α + cos α = 7 5 \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5} sin α + cos α = 5 7 sin α ⋅ cos α \sin\alpha\cdot\cos\alpha sin α ⋅ cos α
Odpowiedź: 12 25 \frac{12}{25} 25 12
Rozwiązanie ( sin α + cos α ) 2 = 49 25 (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac{49}{25} ( sin α + cos α ) 2 = 25 49 sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + 2 sin α cos α 1 + 2 sin α cos α = 49 25 ⇒ sin α cos α = 12 25 1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}\Rightarrow\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25} 1 + 2 sin α cos α = 25 49 ⇒ sin α cos α = 25 12 sin α = 3 5 \sin\alpha=\frac35 sin α = 5 3 cos α = 4 5 \cos\alpha=\frac45 cos α = 5 4
Inne tematy: Trygonometria w trójkącie prostokątnym · Miara łukowa, dowolny kąt i wykresy funkcji trygonometrycznych