Miara łukowa, dowolny kąt i wykresy funkcji trygonometrycznych: teoria i zadania maturalne

Radiany, okrąg jednostkowy, znaki funkcji w ćwiartkach, wzory redukcyjne, okresowość i parzystość oraz wykresy $y=\sin x$ , $y=\cos x$ , $y=\operatorname{tg}x$ i ich przekształcenia.

Teoria

Miara łukowa

Kąt w radianach to długość łuku okręgu o promieniu $1$ , na którym kąt jest oparty. Pełny kąt to obwód okręgu jednostkowego: $360^\circ=2\pi$ .

Kąt

1

rad opiera się na łuku o długości równej promieniowi (to ok.

57{,}3^\circ

); cały okrąg to

2\pi\approx6{,}28

takich łuków.

180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad\alpha_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha^\circ.

stopnie	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
radiany	$\frac\pi6$	$\frac\pi4$	$\frac\pi3$	$\frac\pi2$	$\frac{2\pi}3$	$\frac{3\pi}4$	$\frac{5\pi}6$	$\pi$	$\frac{3\pi}2$	$2\pi$

Funkcje dowolnego kąta: okrąg jednostkowy

Dla punktu $P=(x,y)$ na okręgu o promieniu $1$ , wyznaczonego przez kąt $\alpha$ (mierzony od dodatniej półosi $OX$ , przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; ujemne kąty: zgodnie):

\sin\alpha=y,\qquad\cos\alpha=x,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac yx,\qquad\operatorname{ctg}\alpha=\frac xy.

Okrąg jednostkowy: współrzędne punktu P to (cos α, sin α). W ćwiartkach dodatnie są kolejno: wszystkie, sinus, tangens i cotangens, cosinus.

Wierszyk o znakach

„W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.”

Wzory redukcyjne

Kąt sprowadzamy do ostrego, używając $\pi\pm\alpha$ , $2\pi-\alpha$ (funkcja się nie zmienia, ustalamy tylko znak) lub $\frac\pi2\pm\alpha$ , $\frac{3\pi}2\pm\alpha$ (funkcja zmienia się na „kofunkcję”: $\sin\leftrightarrow\cos$ , $\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}$ ). Znak odczytujemy z ćwiartki wyjściowego kąta.

Przykłady redukcji

$\cos\frac{4\pi}{3}=\cos\left(\pi+\frac\pi3\right)=-\cos\frac\pi3=-\frac12$ (III ćwiartka, cos ujemny).
$\sin\frac{5\pi}{3}=\sin\left(2\pi-\frac\pi3\right)=-\sin\frac\pi3=-\frac{\sqrt3}2$ (IV ćwiartka).
$\sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)=\cos\alpha$ .

Okresowość i parzystość

$\sin(x+2\pi)=\sin x$ , $\cos(x+2\pi)=\cos x$ : okres $2\pi$ ; $\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x$ : okres $\pi$ ,
$\cos(-x)=\cos x$ (parzysta), $\sin(-x)=-\sin x$ , $\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x$ (nieparzyste).

Wykresy

Sinusoida i cosinusoida: zbiór wartości ⟨−1, 1⟩, okres 2π. Wykres cosinusa to sinusoida przesunięta o π/2 w lewo.

Tangensoida: dziedzina bez x = π/2 + kπ (asymptoty), zbiór wartości ℝ, okres π.

Przekształcenia

Dla $f(x)=a\sin(kx)+b$ : zbiór wartości $\langle b-|a|,\,b+|a|\rangle$ , okres $\frac{2\pi}{|k|}$ . Np. $3\sin2x-1$ : okres $\pi$ , $ZW=\langle-4,2\rangle$ .

Na maturze rozszerzonej

Zamiana stopni na radiany, wartości dla kątów spoza $\langle0,\pi\rangle$ , znaki, okres i zbiór wartości przekształconych funkcji, liczba rozwiązań równania odczytana z wykresu.

Wzory

Zamiana stopni na radiany

180^\circ=\pi\ \text{rad},\quad x_{\text{rad}}=\frac{\pi x^\circ}{180^\circ}

Przeliczanie miar kątów.

Funkcje na okręgu jednostkowym

\sin\alpha=y,\quad\cos\alpha=x,\quad\operatorname{tg}\alpha=\frac yx

$P=(x,y)$ na okręgu o promieniu $1$ .

Okresowość

\sin(x+2k\pi)=\sin x,\quad\operatorname{tg}(x+k\pi)=\operatorname{tg}x

Sinus i cosinus: okres $2\pi$ , tangens: okres $\pi$ .

Parzystość

\cos(-x)=\cos x,\quad\sin(-x)=-\sin x

Cosinus parzysty, sinus i tangens nieparzyste.

Redukcja π ± α

\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

Funkcja ta sama, znak z ćwiartki.

Okres i zbiór wartości

a\sin(kx)+b:\ T=\frac{2\pi}{|k|},\ ZW=\langle b-|a|,b+|a|\rangle

Odczyt własności przekształconej sinusoidy.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz: $\cos\frac{4\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac\pi6\right)$ , $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4}$ .

$\frac{4\pi}3=\pi+\frac\pi3$ (III ćwiartka): $\cos\frac{4\pi}3=-\cos\frac\pi3=-\frac12$ .
Sinus jest nieparzysty: $\sin\left(-\frac\pi6\right)=-\sin\frac\pi6=-\frac12$ .
$\frac{7\pi}4=2\pi-\frac\pi4$ (IV ćwiartka, tangens ujemny): $\operatorname{tg}\frac{7\pi}4=-\operatorname{tg}\frac\pi4=-1$ .

-\frac12

\ -\frac12

\ -1

Przykład 2

Wyznacz okres podstawowy i zbiór wartości funkcji $f(x)=3\sin2x-1$ .

Okres: $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$ .

Wykres

y=3\sin2x-1

powtarza się co

\pi

, a jego wartości leżą między

-4

2

$-1\le\sin2x\le1\Rightarrow-3\le3\sin2x\le3\Rightarrow-4\le3\sin2x-1\le2$ .

T=\pi

ZW=\langle-4,2\rangle

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Kąt $150^\circ$ w mierze łukowej to

$\frac{5\pi}{6}$
$\frac{3\pi}{4}$
$\frac{2\pi}{3}$
$\frac{5\pi}{3}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Zamiana stopni na radiany: $180^\circ=\pi$ , więc mnożymy przez $\frac{\pi}{180^\circ}$ .

150^\circ=\frac{150}{180}\pi=\frac{5}{6}\pi=\frac{5\pi}{6}.

(Skracamy $\frac{150}{180}$ przez $30$ .)

Odpowiedź A

Zadanie 2 (1 pkt)

Kąt $\frac{3\pi}{4}$ wyrażony w stopniach to

$120^\circ$
$135^\circ$
$150^\circ$
$270^\circ$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Zamiana radianów na stopnie: wstawiamy $\pi=180^\circ$ .

\frac{3\pi}{4}=\frac34\cdot180^\circ=135^\circ.

Odpowiedź B

Zadanie 3 (1 pkt)

Wartość $\sin\frac{7\pi}{6}$ jest równa

$\frac12$
$\frac{\sqrt3}2$
$-\frac{\sqrt3}2$
$-\frac12$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\sin\frac{7\pi}6=-\sin\frac\pi6=-\frac12$ .

Odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)

Wartość $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ jest równa

$-\frac12$
$\frac12$
$\frac{\sqrt3}{2}$
$-\frac{\sqrt3}{2}$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\cos\left(-\frac\pi3\right)=\cos\frac\pi3=\frac12$ .

Odpowiedź B

Zadanie 5 (1 pkt)

Okres podstawowy funkcji $f(x)=\sin3x$ jest równy

$3\pi$
$6\pi$
$\frac{2\pi}{3}$
$\frac\pi3$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Funkcja $\sin x$ ma okres $2\pi$ . Jeśli w środku stoi $kx$ , wykres jest $k$ razy „ściśnięty”, więc okres dzielimy przez $k$ :

T=\frac{2\pi}{k}.

Tu $k=3$ :

T=\frac{2\pi}{3}.

Odpowiedź C

Zadanie 6 (1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=2\cos x+1$ jest

$\langle-1,3\rangle$
$\langle-2,2\rangle$
$\langle0,2\rangle$
$\langle1,3\rangle$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$-2+1\le f(x)\le2+1$ : $\langle-1,3\rangle$ .

Odpowiedź A

Zadanie 7 (2 pkt)

Kąt $\alpha$ należy do przedziału $\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ i $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$ . Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ .

Odpowiedź: $\sin\alpha=-\frac35$ , $\cos\alpha=-\frac45$

Rozwiązanie

$|\sin\alpha|=\frac35$ , $|\cos\alpha|=\frac45$ (bo $\frac{|\sin|}{|\cos|}=\frac34$ i $\sin^2+\cos^2=1$ ). W III ćwiartce oba ujemne.

\sin\alpha=-\frac35

\cos\alpha=-\frac45

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz $\sin\frac{5\pi}{3}+\cos\frac{11\pi}{6}$ .

Odpowiedź: $0$

Rozwiązanie

$\sin\frac{5\pi}3=-\sin\frac\pi3=-\frac{\sqrt3}2$ ; $\cos\frac{11\pi}6=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2$ . Suma: $0$ .

0

Zadanie 9 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ leży w III ćwiartce. Prawdziwa jest nierówność

$\sin\alpha>0$
$\cos\alpha>0$
$\operatorname{tg}\alpha>0$
$\sin\alpha\cdot\operatorname{tg}\alpha>0$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\sin<0$ , $\cos<0$ , $\operatorname{tg}=\frac{\sin}{\cos}>0$ ; $\sin\cdot\operatorname{tg}<0$ .

Odpowiedź C

Zadanie 10 (1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ .

Funkcja $f$ może być opisana wzorem

$f(x)=\sin2x$
$f(x)=2\sin x$
$f(x)=\sin x+2$
$f(x)=\sin\frac{x}{2}$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Okres $2\pi$ (jak $\sin x$ ), wartości od $-2$ do $2$ , $f(0)=0$ : to $2\sin x$ .

Odpowiedź B

Zadanie 11 (1 pkt)

Równanie $\sin x=\frac13$ w przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ ma

$1$ rozwiązanie
$2$ rozwiązania
$3$ rozwiązania
$4$ rozwiązania

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Prosta $y=\frac13$ przecina „garb” sinusoidy nad osią dwa razy (w I i II ćwiartce), a pod osią nie ma przecięć.

Odpowiedź B

Inne tematy: Kąty od 0° do 180° i tożsamości trygonometryczne · Wzory trygonometryczne, równania i nierówności