Matmaniak · Matura 2027 · Wzory maturalne · Tablica online · Wykresy funkcji · Załóż darmowe konto Dział 6. Trygonometria
Wzory trygonometryczne, równania i nierówności: teoria i zadania maturalne Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, kąt podwojony, sumy funkcji, rozwiązywanie równań sin x = a \sin x=a sin x = a cos x = a \cos x=a cos x = a tg x = a \operatorname{tg}x=a tg x = a
Teoria Wzory na sumę i różnicę kątów sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg ( α ± β ) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β \operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} tg ( α ± β ) = 1 ∓ tg α tg β tg α ± tg β Np. sin 75 ∘ = sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 \sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} sin 7 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2
Kąt podwojony sin 2 α = 2 sin α cos α , cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α . \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha. sin 2 α = 2 sin α cos α , cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α . Sumy i różnice funkcji sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 , cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\qquad\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sin α + sin β = 2 sin 2 α + β cos 2 α − β , cos α + cos β = 2 cos 2 α + β cos 2 α − β sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 , cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},\qquad\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} sin α − sin β = 2 cos 2 α + β sin 2 α − β , cos α − cos β = − 2 sin 2 α + β sin 2 α − β Przydają się do zamiany sumy na iloczyn w równaniach.
Równania elementarne Jeśli x 0 x_0 x 0 k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z
sin x = a \sin x=a sin x = a ∣ a ∣ ≤ 1 |a|\le1 ∣ a ∣ ≤ 1 x = x 0 + 2 k π ∨ x = π − x 0 + 2 k π \ x=x_0+2k\pi\ \lor\ x=\pi-x_0+2k\pi x = x 0 + 2 k π ∨ x = π − x 0 + 2 k π cos x = a \cos x=a cos x = a ∣ a ∣ ≤ 1 |a|\le1 ∣ a ∣ ≤ 1 x = x 0 + 2 k π ∨ x = − x 0 + 2 k π \ x=x_0+2k\pi\ \lor\ x=-x_0+2k\pi x = x 0 + 2 k π ∨ x = − x 0 + 2 k π tg x = a \operatorname{tg}x=a tg x = a x = x 0 + k π \ x=x_0+k\pi x = x 0 + k π Dla ∣ a ∣ > 1 |a|>1 ∣ a ∣ > 1 sin x = a \sin x=a sin x = a cos x = a \cos x=a cos x = a
sin x = ½ w ⟨0, 2π⟩: x = π/6 lub x = π − π/6 = 5π/6. Nierówność sin x ≥ ½: „garb” nad przerywaną prostą: x ∈ ⟨π/6, 5π/6⟩. Równania sprowadzalne do kwadratowego : 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 2\sin^2x+\sin x-1=0 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 t = sin x t=\sin x t = sin x t ∈ ⟨ − 1 , 1 ⟩ t\in\langle-1,1\rangle t ∈ ⟨ − 1 , 1 ⟩ przez rozkład na czynniki : sin 2 x = cos x ⇒ 2 sin x cos x − cos x = 0 ⇒ cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0 \sin2x=\cos x\Rightarrow2\sin x\cos x-\cos x=0\Rightarrow\cos x(2\sin x-1)=0 sin 2 x = cos x ⇒ 2 sin x cos x − cos x = 0 ⇒ cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0 wzorem na kąt podwojony : cos 2 x \cos2x cos 2 x 1 − 2 sin 2 x 1-2\sin^2x 1 − 2 sin 2 x sin x \sin x sin x 2 cos 2 x − 1 2\cos^2x-1 2 cos 2 x − 1 Dzielenie przez funkcję trygonometryczną W sin 2 x = cos x \sin2x=\cos x sin 2 x = cos x cos x \cos x cos x cos x = 0 \cos x=0 cos x = 0
Nierówności Rysujemy wykres (lub okrąg jednostkowy) w jednym okresie, odczytujemy przedział, a potem dodajemy okres. Np. sin x ≥ 1 2 \sin x\ge\frac12 sin x ≥ 2 1 x ∈ ⟨ π 6 + 2 k π , 5 π 6 + 2 k π ⟩ x\in\left\langle\frac\pi6+2k\pi,\ \frac{5\pi}6+2k\pi\right\rangle x ∈ ⟨ 6 π + 2 k π , 6 5 π + 2 k π ⟩
x y π/2 π 3π/2 2π −1 1 0 y = 1/2 y = sin x sin x ≥ 1 2 \sin x\ge\frac12 sin x ≥ 2 1 y = 1 2 y=\frac12 y = 2 1 ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩ x ∈ ⟨ π 6 , 5 π 6 ⟩ x\in\left\langle\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right\rangle x ∈ ⟨ 6 π , 6 5 π ⟩ Na maturze rozszerzonej
Równanie trygonometryczne (3–4 pkt) niemal zawsze: najczęściej w zadanym przedziale. Wypisz wszystkie rozwiązania z przedziału i sprawdź, czy nie zgubiłeś któregoś przez dzielenie. Wzory z tej strony są w tablicach CKE.
Wzory Sinus sumy i różnicy sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β Obliczanie wartości dla kątów typu 75 ∘ 75^\circ 7 5 ∘ 15 ∘ 15^\circ 1 5 ∘
Cosinus sumy i różnicy cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β Uwaga: znak po prawej jest przeciwny do znaku w argumencie.
Sinus kąta podwojonego sin 2 α = 2 sin α cos α \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α Najczęściej używany wzór w równaniach.
Cosinus kąta podwojonego cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α Wybierz wersję pasującą do reszty równania.
Suma sinusów sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2 sin α + sin β = 2 sin 2 α + β cos 2 α − β Zamiana sumy na iloczyn.
Równanie sin x = a x = x 0 + 2 k π ∨ x = π − x 0 + 2 k π x=x_0+2k\pi\ \lor\ x=\pi-x_0+2k\pi x = x 0 + 2 k π ∨ x = π − x 0 + 2 k π Dwie serie rozwiązań (dla ∣ a ∣ < 1 |a|<1 ∣ a ∣ < 1
Równanie cos x = a x = ± x 0 + 2 k π x=\pm x_0+2k\pi x = ± x 0 + 2 k π Rozwiązania symetryczne względem zera.
Równanie tg x = a x = x 0 + k π x=x_0+k\pi x = x 0 + k π Jedna seria z okresem π \pi π
Przykłady rozwiązane krok po kroku Przykład 1 Oblicz dokładną wartość sin 75 ∘ \sin75^\circ sin 7 5 ∘
75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ 75^\circ=45^\circ+30^\circ 7 5 ∘ = 4 5 ∘ + 3 0 ∘
sin 75 ∘ = sin 45 ∘ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ sin 30 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 . \sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. sin 7 5 ∘ = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2 . sin 75 ∘ = 6 + 2 4 \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} sin 7 5 ∘ = 4 6 + 2 Przykład 2 Rozwiąż równanie 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 2\sin^2x+\sin x-1=0 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩
Podstawienie t = sin x t=\sin x t = sin x t ∈ ⟨ − 1 , 1 ⟩ t\in\langle-1,1\rangle t ∈ ⟨ − 1 , 1 ⟩ 2 t 2 + t − 1 = 0 2t^2+t-1=0 2 t 2 + t − 1 = 0 Δ = 9 \Delta=9 Δ = 9 t = − 1 ± 3 4 ∈ { 1 2 , − 1 } t=\frac{-1\pm3}{4}\in\left\{\frac12,-1\right\} t = 4 − 1 ± 3 ∈ { 2 1 , − 1 }
sin x = 1 2 \sin x=\frac12 sin x = 2 1 x = π 6 x=\frac\pi6 x = 6 π x = 5 π 6 x=\frac{5\pi}6 x = 6 5 π sin x = − 1 \sin x=-1 sin x = − 1 x = 3 π 2 x=\frac{3\pi}2 x = 2 3 π x y π/2 π 3π/2 2π −1 1 0 π/6 5π/6 3π/2 W przedziale ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩ sin x \sin x sin x y = 1 2 y=\frac12 y = 2 1 y = − 1 y=-1 y = − 1 x ∈ { π 6 , 5 π 6 , 3 π 2 } x\in\left\{\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{3\pi}2\right\} x ∈ { 6 π , 6 5 π , 2 3 π } Zadania maturalne z rozwiązaniami Zadanie 1 (1 pkt) Kąt α \alpha α sin α = 3 5 \sin\alpha=\frac35 sin α = 5 3 sin 2 α \sin2\alpha sin 2 α
6 5 \frac65 5 6 24 25 \frac{24}{25} 25 24 12 25 \frac{12}{25} 25 12 7 25 \frac{7}{25} 25 7 Odpowiedź: B
Rozwiązanie sin 2 α = 2 ⋅ 3 5 ⋅ 4 5 = 24 25 \sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25} sin 2 α = 2 ⋅ 5 3 ⋅ 5 4 = 25 24
Zadanie 2 (1 pkt) Jeżeli cos α = 1 3 \cos\alpha=\frac13 cos α = 3 1 cos 2 α \cos2\alpha cos 2 α
2 3 \frac23 3 2 1 9 \frac19 9 1 − 7 9 -\frac79 − 9 7 7 9 \frac79 9 7 Odpowiedź: C
Rozwiązanie Wzór na cosinus kąta podwojonego, w wersji z samym cosinusem: cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 cos 2 α = 2 cos 2 α − 1
cos 2 α = 2 ⋅ ( 1 3 ) 2 − 1 = 2 ⋅ 1 9 − 1 = 2 9 − 9 9 = − 7 9 . \cos2\alpha=2\cdot\left(\frac13\right)^2-1=2\cdot\frac19-1=\frac29-\frac99=-\frac79. cos 2 α = 2 ⋅ ( 3 1 ) 2 − 1 = 2 ⋅ 9 1 − 1 = 9 2 − 9 9 = − 9 7 . Zadanie 3 (1 pkt) Wartość cos 15 ∘ \cos15^\circ cos 1 5 ∘
6 − 2 4 \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} 4 6 − 2 3 − 1 2 \frac{\sqrt3-1}{2} 2 3 − 1 6 + 2 2 \frac{\sqrt6+\sqrt2}{2} 2 6 + 2 6 + 2 4 \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} 4 6 + 2 Odpowiedź: D
Rozwiązanie cos 45 ∘ cos 30 ∘ + sin 45 ∘ sin 30 ∘ = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 \cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6}4+\frac{\sqrt2}4=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4 cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 4 6 + 4 2 = 4 6 + 2
Zadanie 4 (1 pkt) Wartość wyrażenia cos 2 π 8 − sin 2 π 8 \cos^2\frac\pi8-\sin^2\frac\pi8 cos 2 8 π − sin 2 8 π
2 2 \frac{\sqrt2}{2} 2 2 1 1 1 1 2 \frac12 2 1 0 0 0 Odpowiedź: A
Rozwiązanie Wyrażenie cos 2 α − sin 2 α \cos^2\alpha-\sin^2\alpha cos 2 α − sin 2 α cos 2 α \cos2\alpha cos 2 α α = π 8 \alpha=\frac\pi8 α = 8 π 2 α = π 4 2\alpha=\frac\pi4 2 α = 4 π
cos 2 π 8 − sin 2 π 8 = cos π 4 = 2 2 . \cos^2\frac\pi8-\sin^2\frac\pi8=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}. cos 2 8 π − sin 2 8 π = cos 4 π = 2 2 . Trik: nie liczymy cos π 8 \cos\frac\pi8 cos 8 π
Zadanie 5 (1 pkt) Liczba rozwiązań równania sin x = 3 2 \sin x=\frac{\sqrt3}{2} sin x = 2 3 ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩
1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4 Odpowiedź: C
Rozwiązanie x = π 3 x=\frac\pi3 x = 3 π x = 2 π 3 x=\frac{2\pi}3 x = 3 2 π
Zadanie 6 (2 pkt) Rozwiąż równanie cos x = − 1 2 \cos x=-\frac12 cos x = − 2 1
Odpowiedź: x = 2 π 3 + 2 k π ∨ x = − 2 π 3 + 2 k π x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ \lor\ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi x = 3 2 π + 2 k π ∨ x = − 3 2 π + 2 k π k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z
Rozwiązanie x 0 = 2 π 3 x_0=\frac{2\pi}3 x 0 = 3 2 π x = ± 2 π 3 + 2 k π x=\pm\frac{2\pi}3+2k\pi x = ± 3 2 π + 2 k π k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z
x = ± 2 π 3 + 2 k π x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi x = ± 3 2 π + 2 k π Zadanie 7 (2 pkt) Rozwiąż równanie tg x = 3 \operatorname{tg}x=\sqrt3 tg x = 3
Odpowiedź: x = π 3 + k π x=\frac\pi3+k\pi x = 3 π + k π k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z
Rozwiązanie Krok 1: szukamy jednego kąta, dla którego tg x = 3 \operatorname{tg}x=\sqrt3 tg x = 3 tg 60 ∘ = 3 \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3 tg 6 0 ∘ = 3 x = π 3 x=\frac\pi3 x = 3 π
Krok 2: tangens ma okres π \pi π π \pi π k π k\pi k π
x = π 3 + k π , k ∈ Z . x=\frac\pi3+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}. x = 3 π + k π , k ∈ Z . Pułapka: dla tangensa dopisujemy k π k\pi k π 2 k π 2k\pi 2 k π
x = π 3 + k π x=\frac\pi3+k\pi x = 3 π + k π Zadanie 8 (4 pkt) Rozwiąż równanie sin 2 x = cos x \sin2x=\cos x sin 2 x = cos x ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩
Odpowiedź: x ∈ { π 6 , π 2 , 5 π 6 , 3 π 2 } x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}6,\frac{3\pi}2\right\} x ∈ { 6 π , 2 π , 6 5 π , 2 3 π }
Rozwiązanie 2 sin x cos x − cos x = 0 ⇒ cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0 2\sin x\cos x-\cos x=0\Rightarrow\cos x(2\sin x-1)=0 2 sin x cos x − cos x = 0 ⇒ cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0
cos x = 0 \cos x=0 cos x = 0 x = π 2 x=\frac\pi2 x = 2 π x = 3 π 2 x=\frac{3\pi}2 x = 2 3 π sin x = 1 2 \sin x=\frac12 sin x = 2 1 x = π 6 x=\frac\pi6 x = 6 π x = 5 π 6 x=\frac{5\pi}6 x = 6 5 π x ∈ { π 6 , π 2 , 5 π 6 , 3 π 2 } x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}6,\frac{3\pi}2\right\} x ∈ { 6 π , 2 π , 6 5 π , 2 3 π } Zadanie 9 (4 pkt) Rozwiąż równanie 2 cos 2 x − 3 cos x + 1 = 0 2\cos^2x-3\cos x+1=0 2 cos 2 x − 3 cos x + 1 = 0 ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩
Odpowiedź: x ∈ { 0 , π 3 , 5 π 3 , 2 π } x\in\left\{0,\frac\pi3,\frac{5\pi}3,2\pi\right\} x ∈ { 0 , 3 π , 3 5 π , 2 π }
Rozwiązanie t = cos x t=\cos x t = cos x 2 t 2 − 3 t + 1 = 0 2t^2-3t+1=0 2 t 2 − 3 t + 1 = 0 Δ = 1 \Delta=1 Δ = 1 t = 1 t=1 t = 1 t = 1 2 t=\frac12 t = 2 1
cos x = 1 \cos x=1 cos x = 1 x = 0 x=0 x = 0 x = 2 π x=2\pi x = 2 π cos x = 1 2 \cos x=\frac12 cos x = 2 1 x = π 3 x=\frac\pi3 x = 3 π x = 5 π 3 x=\frac{5\pi}3 x = 3 5 π x ∈ { 0 , π 3 , 5 π 3 , 2 π } x\in\left\{0,\frac\pi3,\frac{5\pi}3,2\pi\right\} x ∈ { 0 , 3 π , 3 5 π , 2 π } Zadanie 10 (2 pkt) Rozwiąż nierówność sin x ≥ 1 2 \sin x\ge\frac12 sin x ≥ 2 1 ⟨ 0 , 2 π ⟩ \langle0,2\pi\rangle ⟨ 0 , 2 π ⟩
Odpowiedź: x ∈ ⟨ π 6 , 5 π 6 ⟩ x\in\left\langle\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right\rangle x ∈ ⟨ 6 π , 6 5 π ⟩
Rozwiązanie Wykres sin x \sin x sin x y = 1 2 y=\frac12 y = 2 1 π 6 \frac\pi6 6 π 5 π 6 \frac{5\pi}6 6 5 π
x ∈ ⟨ π 6 , 5 π 6 ⟩ x\in\left\langle\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right\rangle x ∈ ⟨ 6 π , 6 5 π ⟩ Zadanie 11 (2 pkt) Wykaż, że dla każdego kąta α \alpha α ( sin α + cos α ) 2 = 1 + sin 2 α (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin2\alpha ( sin α + cos α ) 2 = 1 + sin 2 α
Odpowiedź: sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + sin 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+\sin2\alpha sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α = 1 + sin 2 α
Rozwiązanie ( sin α + cos α ) 2 = sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α = 1 + sin 2 α (\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+\sin2\alpha ( sin α + cos α ) 2 = sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α = 1 + sin 2 α
Zadanie 12 (4 pkt) Rozwiąż równanie cos 2 x + 3 sin x = 2 \cos2x+3\sin x=2 cos 2 x + 3 sin x = 2
Odpowiedź: x = π 2 + 2 k π ∨ x = π 6 + 2 k π ∨ x = 5 π 6 + 2 k π x=\frac\pi2+2k\pi\ \lor\ x=\frac\pi6+2k\pi\ \lor\ x=\frac{5\pi}6+2k\pi x = 2 π + 2 k π ∨ x = 6 π + 2 k π ∨ x = 6 5 π + 2 k π k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z
Rozwiązanie 1 − 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇒ 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 1-2\sin^2x+3\sin x-2=0\Rightarrow2\sin^2x-3\sin x+1=0 1 − 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇒ 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 t = sin x t=\sin x t = sin x t = 1 t=1 t = 1 t = 1 2 t=\frac12 t = 2 1
sin x = 1 \sin x=1 sin x = 1 x = π 2 + 2 k π x=\frac\pi2+2k\pi x = 2 π + 2 k π sin x = 1 2 \sin x=\frac12 sin x = 2 1 x = π 6 + 2 k π x=\frac\pi6+2k\pi x = 6 π + 2 k π x = 5 π 6 + 2 k π x=\frac{5\pi}6+2k\pi x = 6 5 π + 2 k π x ∈ { π 2 + 2 k π , π 6 + 2 k π , 5 π 6 + 2 k π : k ∈ Z } x\in\left\{\frac\pi2+2k\pi,\ \frac\pi6+2k\pi,\ \frac{5\pi}6+2k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\right\} x ∈ { 2 π + 2 k π , 6 π + 2 k π , 6 5 π + 2 k π : k ∈ Z } Inne tematy: Miara łukowa, dowolny kąt i wykresy funkcji trygonometrycznych