Trygonometria w trójkącie prostokątnym: teoria i zadania maturalne

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego jako stosunki boków, wartości dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ i obliczanie boków oraz kątów w praktycznych sytuacjach (wysokość drzewa, drabina, nachylenie drogi).

Teoria

Definicje w trójkącie prostokątnym

a: przyprostokątna naprzeciw kąta α, b: przyprostokątna przy kącie α, c: przeciwprostokątna.

Dla kąta ostrego $\alpha$ :

\sin\alpha=\frac ac,\qquad\cos\alpha=\frac bc,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac ab.

Przykład: trójkąt o bokach

3

4

5

, kąt

\alpha

leży naprzeciw boku

3

Naprzeciw kąta: $a=3$ . Przy kącie: $b=4$ . Przeciwprostokątna (najdłuższa): $c=5$ .

\sin\alpha=\frac35,\qquad\cos\alpha=\frac45,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac34

Jak zapamiętać

sin: przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną; cos: przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną; tg: naprzeciw przez przy. Przeciwprostokątna leży zawsze naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa, więc $0<\sin\alpha<1$ i $0<\cos\alpha<1$ .

Czemu to działa

Wszystkie trójkąty prostokątne z tym samym kątem $\alpha$ są podobne: mają te same proporcje boków. Dlatego stosunek $\frac ac$ zależy tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta. Sinus to „liczba opisująca kąt”.

Wartości dla kątów $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$

$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\alpha$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$

Przykład: oblicz

2\sin30^\circ+\operatorname{tg}45^\circ

Z tabeli: $\sin30^\circ=\frac12$ , $\operatorname{tg}45^\circ=1$ .

2\cdot\frac12+1=2

2

Ekierki: połowa kwadratu (45°) i połowa trójkąta równobocznego (30°, 60°): z nich wynikają wszystkie wartości z tabeli.

Związki dla kąta ostrego

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha.

Znając jedną funkcję, wyznaczysz pozostałe.

Przykład:

\alpha

ostry,

\sin\alpha=\frac{5}{13}

. Oblicz

\cos\alpha

Z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$ .
Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni: $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ .

\cos\alpha=\frac{12}{13}

Przykład:

\operatorname{tg}\alpha=\frac34

. Oblicz

\sin\alpha

\cos\alpha

Rysujemy trójkąt o przyprostokątnych $3$ (naprzeciw $\alpha$ ) i $4$ (przy $\alpha$ ).
Z Pitagorasa przeciwprostokątna: $\sqrt{9+16}=5$ .

\sin\alpha=\frac35

\cos\alpha=\frac45

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego

Znając bok i kąt ostry (albo dwa boki), wyznaczasz resztę:

przeciwprostokątna $c$ i kąt $\alpha$ : $a=c\sin\alpha$ , $b=c\cos\alpha$ ,
przyprostokątna $b$ i kąt $\alpha$ : $a=b\operatorname{tg}\alpha$ , $c=\frac{b}{\cos\alpha}$ .

Kąt dla danej wartości funkcji (np. $\sin\alpha=0{,}7$ ) odczytujesz z tablicy wartości w broszurze CKE ( $\alpha\approx44^\circ$ ).

Przykład: przeciwprostokątna

c=10

, kąt

\alpha=30^\circ

. Oblicz przyprostokątne

Naprzeciw kąta: $a=c\sin\alpha=10\cdot\frac12=5$ .
Przy kącie: $b=c\cos\alpha=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ .

a=5

b=5\sqrt3

Na maturze

Zadania zamknięte: obliczenie funkcji z boków, wartości dla $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ , jedna funkcja z drugiej. Otwarte: obliczenia w figurach (trapez, romb, trójkąt równoramienny) i zadania praktyczne z odczytem z tablic.

Wzory

Sinus kąta ostrego

\sin\alpha=\frac{a}{c}

Przyprostokątna naprzeciw kąta / przeciwprostokątna.

Cosinus kąta ostrego

\cos\alpha=\frac{b}{c}

Przyprostokątna przy kącie / przeciwprostokątna.

Tangens kąta ostrego

\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Naprzeciw / przy. Też: nachylenie (spadek) drogi.

Jedynka trygonometryczna

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Wynika z twierdzenia Pitagorasa. Pozwala policzyć cos z sin (i odwrotnie).

Kąty dopełniające

\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha

Drugi kąt ostry trójkąta prostokątnego to $90^\circ-\alpha$ .

Boki z przeciwprostokątnej

a=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha

Rozwiązywanie trójkąta, gdy znasz przeciwprostokątną i kąt.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{5}{13}$ . Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

Sposób 1 (trójkąt): przyprostokątna naprzeciw $5$ , przeciwprostokątna $13$ ; druga przyprostokątna: $\sqrt{169-25}=12$ . Zatem $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}$ .

Kąt

\alpha

leży naprzeciw przyprostokątnej

5

, a przeciwprostokątna ma

13

, więc druga przyprostokątna ma długość

12

Sposób 2 (jedynka): $\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$ ; kąt ostry, więc $\cos\alpha=\frac{12}{13}$ , a $\operatorname{tg}\alpha=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}$ .

\cos\alpha=\frac{12}{13}

\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}

Przykład 2

Z punktu oddalonego o $20$ m od podstawy drzewa widać jego czubek pod kątem $30^\circ$ do poziomu. Oblicz wysokość drzewa (z dokładnością do $0{,}1$ m).

Wysokość $h$ to przyprostokątna naprzeciw kąta, a $20$ m: przyprostokątna przy kącie, więc

\operatorname{tg}30^\circ=\frac{h}{20}\Rightarrow h=20\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{20\sqrt3}{3}\approx11{,}5\ \text{m}.

Drzewo ma około

11{,}5

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $3$ i $4$ . Sinus kąta leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy

$\frac34$
$\frac45$
$\frac35$
$\frac43$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$c=\sqrt{9+16}=5$ . Naprzeciw kąta leży bok $3$ : $\sin\alpha=\frac35$ .

Odpowiedź C

Zadanie 2 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\sin30^\circ+\cos60^\circ$ jest równa

$1$
$\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac12$
$\sqrt3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Wartości dla $30^\circ$ i $60^\circ$ są w tabeli w karcie wzorów:

\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos60^\circ=\frac12.

\frac12+\frac12=1.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$ . Wtedy $\cos\alpha$ jest równy

$\frac35$
$\frac45$
$\frac43$
$\frac34$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Naprzeciw $3$ , przy $4$ , przeciwprostokątna $5$ : $\cos\alpha=\frac45$ .

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $10$ , a jeden z kątów ostrych ma miarę $30^\circ$ . Przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość

$5\sqrt3$
$10\sqrt3$
$20$
$5$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Przyprostokątna naprzeciw kąta to sinus razy przeciwprostokątna: $\sin\alpha=\frac{a}{c}$ , więc $a=c\cdot\sin\alpha$ .

a=10\cdot\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5.

Trik: w trójkącie z kątem $30^\circ$ bok naprzeciw tego kąta to zawsze połowa przeciwprostokątnej.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\operatorname{tg}60^\circ\cdot\cos30^\circ$ jest równa

$\frac32$
$1$
$\frac{\sqrt3}{2}$
$3$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Z tabeli wartości: $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ , $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ .

\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{2}.

Uwaga: $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$ .

Odpowiedź A

Zadanie 6 (1 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=0{,}6$ . Wtedy

$\sin\alpha=0{,}4$
$\sin\alpha=0{,}64$
$\sin\alpha=0{,}8$
$\sin\alpha=0{,}36$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\sin^2\alpha=0{,}64\Rightarrow\sin\alpha=0{,}8$ (kąt ostry). Odpowiedź A to błąd „ $\sin=1-\cos$ ”.

Odpowiedź C

Zadanie 7 (2 pkt)

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{8}{17}$ . Oblicz $\cos\alpha$ oraz $\operatorname{tg}\alpha$ .

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac{15}{17}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{15}$

Rozwiązanie

$\cos^2\alpha=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}\Rightarrow\cos\alpha=\frac{15}{17}$ . $\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{15}$ .

\cos\alpha=\frac{15}{17}

\operatorname{tg}\alpha=\frac8{15}

Zadanie 8 (2 pkt)

Ramię trójkąta równoramiennego ma długość $10$ , a kąt przy podstawie ma miarę $30^\circ$ . Oblicz długość podstawy i pole trójkąta.

Odpowiedź: podstawa $10\sqrt3$ , pole $25\sqrt3$

Rozwiązanie

$h=10\cdot\frac12=5$ , połowa podstawy $=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ , podstawa $10\sqrt3$ .
$P=\frac12\cdot10\sqrt3\cdot5=25\sqrt3$ .

Podstawa

10\sqrt3

, pole

25\sqrt3

Zadanie 9 (1 pkt)

Dla kąta ostrego $\alpha$ zachodzi równość $\sin\alpha=\cos\alpha$ . Zatem

$\alpha=30^\circ$
$\alpha=60^\circ$
$\alpha=45^\circ$
$\alpha=90^\circ$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\operatorname{tg}\alpha=1\Rightarrow\alpha=45^\circ$ (trójkąt równoramienny).

Odpowiedź C

Zadanie 10 (2 pkt)

Drabina o długości $5$ m jest oparta o pionową ścianę i tworzy z poziomym podłożem kąt $70^\circ$ . Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany? Przyjmij $\sin70^\circ\approx0{,}9397$ . Wynik podaj z dokładnością do $0{,}01$ m.

Odpowiedź: $\approx4{,}70$ m

Rozwiązanie

$h=5\sin70^\circ\approx5\cdot0{,}9397=4{,}6985\approx4{,}70$ m.

Około

4{,}70

Zadanie 11 (3 pkt)

W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma długość $6$ , wysokość $4\sqrt3$ , a kąt ostry ma miarę $60^\circ$ . Oblicz obwód trapezu.

Odpowiedź: $24+4\sqrt3$

Rozwiązanie

Trójkąt przy kącie $60^\circ$ : $\operatorname{tg}60^\circ=\frac{4\sqrt3}{x}\Rightarrow x=4$ ; ramię $c=\frac{h}{\sin60^\circ}=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3/2}=8$ .
Dłuższa podstawa: $6+4=10$ . Obwód: $6+10+4\sqrt3+8=24+4\sqrt3$ .

Obwód:

24+4\sqrt3

Inne tematy: Kąty od 0° do 180° i tożsamości trygonometryczne

Trygonometria w trójkącie prostokątnym: teoria i zadania maturalne

Teoria

Definicje w trójkącie prostokątnym

Wartości dla kątów 30∘30^\circ30∘, 45∘45^\circ45∘, 60∘60^\circ60∘

Związki dla kąta ostrego

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego

Wzory

Sinus kąta ostrego

Cosinus kąta ostrego

Tangens kąta ostrego

Jedynka trygonometryczna

Kąty dopełniające

Boki z przeciwprostokątnej

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (1 pkt)

Zadanie 7 (2 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (1 pkt)

Zadanie 10 (2 pkt)

Zadanie 11 (3 pkt)

Wartości dla kątów $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$