Logarytmy: teoria i zadania maturalne

Logarytm to odpowiedź na pytanie „do jakiej potęgi podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę?”. Nauczysz się definicji, praw działań na logarytmach i (na rozszerzeniu) zamiany podstawy.

Teoria

Definicja logarytmu

Dla $a>0$ , $a\neq1$ i $b>0$ :

\log_a b=c\iff a^c=b.

Liczba $a$ to podstawa, $b$ : liczba logarytmowana, $c$ : logarytm. Pytanie brzmi: *do jakiej potęgi trzeba podnieść $a$ , aby dostać $b$ ?*

Przykład: czytamy logarytmy

$\log_2 8=3$ , bo $2^3=8$ .
$\log_3\frac19=-2$ , bo $3^{-2}=\frac19$ .
$\log_5\sqrt5=\frac12$ , bo $5^{1/2}=\sqrt5$ .
$\log_{\frac12}4=-2$ , bo $\left(\frac12\right)^{-2}=4$ .

Kiedy logarytm ma sens

Podstawa: $a>0$ i $a\neq1$ . Liczba logarytmowana: $b>0$ . Zatem $\log_2(-4)$ , $\log_2 0$ , $\log_1 5$ , $\log_{-2}4$ nie istnieją. Przy wyrażeniach z niewiadomą zawsze najpierw wyznacz te warunki (dziedzinę).

Logarytm dziesiętny zapisujemy bez podstawy: $\log b=\log_{10}b$ . Np. $\log1000=3$ , $\log0{,}01=-2$ .

Własności wynikające wprost z definicji

$\log_a 1=0$ (bo $a^0=1$ ), $\quad\log_a a=1$ (bo $a^1=a$ )
$\log_a a^c=c$ , np. $\log_7 7^{12}=12$
$a^{\log_a b}=b$ , np. $3^{\log_3 5}=5$

Przykład: oblicz

\log_5 1+\log_7 7+\log_2 2^{10}

$\log_5 1=0$ , bo $5^0=1$ .
$\log_7 7=1$ , bo $7^1=7$ .
$\log_2 2^{10}=10$ , bo wykładnik wychodzi wprost.
$0+1+10=11$

11

Prawa działań na logarytmach

Dla $a>0$ , $a\neq1$ , $x>0$ , $y>0$ , $k\in\mathbb{R}$ :

\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y

\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y

\log_a x^k=k\cdot\log_a x

Przykład: zastosowanie praw

Suma to iloczyn: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$ .
Różnica to iloraz: $\log_2 40-\log_2 5=\log_2 8=3$ .
Liczba przed logarytmem idzie do wykładnika: $2\log 5+\log 4=\log25+\log4=\log100=2$ .

Logarytm sumy

$\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y$ . Prawa dotyczą iloczynu i ilorazu, nie sumy! Również $\frac{\log_a x}{\log_a y}\neq\log_a\frac xy$ .

Jak liczyć „nietypowe” logarytmy

Zapisz obie liczby jako potęgi tej samej liczby. Przykład $\log_4 8$ :
$4=2^2$ i $8=2^3$ . Szukamy $c$ , dla którego $(2^2)^c=2^3$ .
$2c=3\ \Rightarrow\ c=\frac32$

Porównywanie logarytmów

Dla $a>1$ większa liczba ma większy logarytm ( $\log_2 5<\log_2 7$ ). Dla $0<a<1$ odwrotnie ( $\log_{\frac12}5>\log_{\frac12}7$ ). Szacowanie: $\log_2 10$ leży między $3$ a $4$ , bo $2^3=8<10<16=2^4$ .

Przykład: która liczba większa,

\log_3 20

czy

3

Zapisz $3$ jako logarytm o tej samej podstawie: $3=\log_3 27$ .
Podstawa $3>1$ , więc większa liczba ma większy logarytm: $20<27$ .
$\log_3 20<\log_3 27=3$

większe jest

3

Przy podstawie

2>1

logarytm rośnie:

\log_2 5<\log_2 7

. Przy podstawie

\frac12

maleje:

\log_{\frac12}5>\log_{\frac12}7

Zamiana podstawy logarytmuR

Dla $a,c>0$ , $a,c\neq1$ , $b>0$ :

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.

Wnioski: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$ oraz $\log_{a^n}b=\frac1n\log_a b$ . Przydaje się, gdy logarytmy mają różne podstawy, np. $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32$ , albo gdy trzeba wyrazić logarytm przez inny, dany logarytm.

Na maturze

Poziom podstawowy: obliczanie wartości wyrażeń z definicji i praw działań (zadania zamknięte), czasem logarytm w zadaniu o funkcji wykładniczej. Rozszerzenie: zamiana podstawy, wyrażanie jednego logarytmu przez drugi, równania i nierówności z logarytmami.

Wzory

Definicja logarytmu

\log_a b=c\iff a^c=b

Podstawowe narzędzie: zamienia logarytm na potęgę. Warunki: $a>0$ , $a\neq1$ , $b>0$ .

Logarytm z 1 i z podstawy

\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1

Wartości, które trzeba znać „od ręki”.

Podstawa do potęgi logarytmu

a^{\log_a b}=b

Potęgowanie i logarytmowanie przy tej samej podstawie „znoszą się”.

Logarytm iloczynu

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniasz na logarytm iloczynu (i odwrotnie).

Logarytm ilorazu

\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y

Różnicę logarytmów zamieniasz na logarytm ilorazu.

Logarytm potęgi

\log_a x^k=k\log_a x

Wykładnik „schodzi” przed logarytm. Działa też odwrotnie: $k\log_a x=\log_a x^k$ .

Zamiana podstawy

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Przejście do dowolnej wygodnej podstawy $c$ . Kluczowe, gdy logarytmy mają różne podstawy.

Odwrotność logarytmu

\log_a b=\frac{1}{\log_b a}

Zamiana miejscami podstawy i liczby logarytmowanej daje odwrotność.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz $2\log_5 10-\log_5 4$ .

Krok 1: wykładnik do środka: $2\log_5 10=\log_5 10^2=\log_5 100$ .
Krok 2: różnica logarytmów:

\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25.

Krok 3: definicja: $\log_5 25=2$ , bo $5^2=25$ .

Wynik:

2

Przykład 2

Wiadomo, że $\log_2 3=a$ . Wyraź $\log_6 24$ za pomocą $a$ .

Zamiana podstawy na 2 (bo znamy $\log_2 3$ ):

\log_6 24=\frac{\log_2 24}{\log_2 6}.

Licznik: $\log_2 24=\log_2(8\cdot3)=\log_2 8+\log_2 3=3+a$ .
Mianownik: $\log_2 6=\log_2(2\cdot3)=1+a$ .

\log_6 24=\dfrac{3+a}{1+a}

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Liczba $\log_2 32$ jest równa

$16$
$5$
$\frac15$
$2^5$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\log_2 32$ to odpowiedź na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść $2$ , żeby dostać $32$ ?

Mnożymy dwójki, aż wyjdzie $32$ : $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$ . To pięć dwójek, czyli $2^5=32$ .

\log_2 32=5.

Pułapka: odpowiedź D ( $2^5$ ) to liczba $32$ , a nie wykładnik.

Odpowiedź B:

5

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczba $\log_{\frac13}9$ jest równa

$2$
$\frac12$
$-2$
$-\frac12$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Szukamy $c$ : $\left(\frac13\right)^c=9$ . Ponieważ $\frac13=3^{-1}$ : $3^{-c}=3^2$ , więc $-c=2$ , $c=-2$ .
Sprawdzenie: $\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$ ✓.

Odpowiedź C:

-2

Zadanie 3 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\log_6 9+\log_6 4$ jest równa

$\log_6 13$
$13$
$6$
$2$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\log_6 9+\log_6 4=\log_6(9\cdot4)=\log_6 36=2$ , bo $6^2=36$ .
Odpowiedź A to błąd „logarytm sumy”.

Odpowiedź D:

2

Zadanie 4 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $2\log 5+\log 4$ jest równa

$1$
$2$
$\log 14$
$10$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$2\log5=\log5^2=\log25$ . Wtedy $\log25+\log4=\log100=2$ (bo $10^2=100$ ).

Odpowiedź B:

2

Zadanie 5 (1 pkt)

Liczba $3^{\log_3 7}+\log_7 1$ jest równa

$7$
$8$
$21$
$3^7$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$3^{\log_3 7}=7$ oraz $\log_7 1=0$ . Suma: $7+0=7$ .

Odpowiedź A:

7

Zadanie 6 (2 pkt)

Wyznacz liczbę $x$ , dla której $\log_x 16=4$ .

Odpowiedź: $x=2$

Rozwiązanie

Z definicji: $x^4=16$ . Rozwiązania tego równania to $x=2$ lub $x=-2$ .
Podstawa logarytmu musi spełniać $x>0$ i $x\neq1$ , więc $x=-2$ odrzucamy.

x=2

Zadanie 7 (1 pkt)

Przyjmij, że $\log 2\approx0{,}301$ . Wtedy $\log 8$ jest w przybliżeniu równy

$2{,}408$
$0{,}0301$
$0{,}903$
$0{,}602$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\log8=\log2^3=3\log2\approx3\cdot0{,}301=0{,}903$ .

Odpowiedź C:

0{,}903

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz $\log_2\sqrt{8}+\log_3\frac{1}{27}$ .

Odpowiedź: $-\frac32$

Rozwiązanie

$\sqrt8=\sqrt{2^3}=2^{\frac32}$ , więc $\log_2\sqrt8=\frac32$ .
$\frac1{27}=3^{-3}$ , więc $\log_3\frac1{27}=-3$ .
Suma: $\frac32-3=-\frac32$ .

Wynik:

-\frac32

Zadanie 9 (1 pkt)

Wyrażenie $\log_x(5-x)$ ma sens liczbowy wtedy i tylko wtedy, gdy

$x\in(0,5)$
$x\in(0,1)\cup(1,5)$
$x\in(-\infty,5)$
$x\in(1,5)$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Warunki: podstawa $x>0$ i $x\neq1$ ; liczba logarytmowana $5-x>0$ , czyli $x<5$ .
Część wspólna: $x\in(0,1)\cup(1,5)$ .

Odpowiedź B

Zadanie 10 (2 pkt)

Oblicz $\log_2 20-\log_2 5+\log_{\sqrt2}2$ .

Odpowiedź: $4$

Rozwiązanie

$\log_2 20-\log_2 5=\log_2\frac{20}{5}=\log_2 4=2$ .
$\log_{\sqrt2}2=2$ , bo $(\sqrt2)^2=2$ .
Suma: $2+2=4$ .

Wynik:

4

Zadanie 11 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{\log_3 64}{\log_3 4}$ .

Odpowiedź: $3$

Rozwiązanie

$\log_3 64=\log_3 4^3=3\log_3 4$ . Zatem

\frac{\log_3 64}{\log_3 4}=\frac{3\log_3 4}{\log_3 4}=3.

(To samo dałaby zamiana podstawy: $\frac{\log_3 64}{\log_3 4}=\log_4 64=3$ .) Uwaga: nie wolno „skracać” ani dzielić liczb pod logarytmami: wynik to nie $\log_3 16$ !

Wynik:

3

Zadanie 12 (1 pkt)

Liczba $\log_4 8$ jest równa

$2$
$\frac23$
$\frac32$
$\frac12$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32$ . Sprawdzenie: $4^{3/2}=(\sqrt4)^3=8$ ✓.

Odpowiedź C:

\frac32

Zadanie 13 (3 pkt)

Wiadomo, że $\log_3 2=a$ . Wyraź $\log_{12}18$ za pomocą $a$ .

Odpowiedź: $\log_{12}18=\dfrac{a+2}{2a+1}$

Rozwiązanie

Zamiana podstawy na 3: $\log_{12}18=\dfrac{\log_3 18}{\log_3 12}$ .
Licznik: $\log_3 18=\log_3(2\cdot9)=\log_3 2+\log_3 9=a+2$ .
Mianownik: $\log_3 12=\log_3(4\cdot3)=\log_3 2^2+1=2a+1$ .

\log_{12}18=\dfrac{a+2}{2a+1}

Inne tematy: Potęgi i pierwiastki · Procenty, przybliżenia i procent składany