Procenty, przybliżenia i procent składany: teoria i zadania maturalne

Obliczenia procentowe, punkty procentowe, podwyżki i obniżki, lokaty z procentem składanym oraz błąd bezwzględny i względny przybliżenia: praktyczna matematyka, która zawsze jest na maturze.

Teoria

Czym jest procent

$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$ , więc $p\%=\frac{p}{100}$ . $p\%$ liczby $a$ to $\frac{p}{100}\cdot a$ .

$15\%$ z $240$ : $0{,}15\cdot240=36$
$120\%$ z $50$ : $1{,}2\cdot50=60$
$0{,}5\%$ z $600$ : $0{,}005\cdot600=3$

Jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$ ? $\ \frac{b}{a}\cdot100\%$ .

Przykład: jakim procentem liczby

72

jest liczba

18

Dzielimy część przez całość i mnożymy przez $100\%$ :

\frac{18}{72}\cdot100\%=25\%

25\%

Podwyżki i obniżki

wzrost o $p\%$ : nowa wartość $=a\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)$ , np. $+20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$ ,
spadek o $p\%$ : nowa wartość $=a\cdot\left(1-\frac{p}{100}\right)$ , np. $-15\%$ to mnożenie przez $0{,}85$ .

Kolejne zmiany procentowe mnożymy.

Przykład: cena

100

zł rośnie o

20\%

, potem spada o

20\%

Podwyżka: mnożymy przez $1{,}2$ . Obniżka: mnożymy przez $0{,}8$ .

100\cdot1{,}2\cdot0{,}8=96

96

zł: spadek o

4\%

, a nie powrót do

100

zł

Zadania „od końca”

Cena po podwyżce o $8\%$ wynosi $162$ zł. Ile było przed? Nie odejmuj $8\%$ od $162$ !
Cena przed podwyżką to $x$ , a podwyżka to mnożenie: $x\cdot1{,}08=162$ .

x=\frac{162}{1{,}08}=150\ \text{zł}

O ile procent więcej, o ile mniej

Jeśli $x$ jest o $25\%$ większe od $y$ , to $x=1{,}25y$ .
Wtedy $y=\frac{x}{1{,}25}=0{,}8x$ , czyli $y$ jest o $20\%$ mniejsze od $x$ .
Procenty liczymy zawsze względem tej wielkości, z którą porównujemy.

Punkty procentowe

Gdy zmienia się wielkość wyrażona w procentach, różnicę podajemy w punktach procentowych (p.p.). Oprocentowanie wzrosło z $6\%$ do $7{,}5\%$ :

wzrost o $1{,}5$ punktu procentowego,
wzrost o $\frac{1{,}5}{6}\cdot100\%=25\%$ (względnie).

Procent składany: lokaty

Kapitał $K$ na lokacie oprocentowanej $p\%$ w skali roku, z kapitalizacją roczną, po $n$ latach wynosi

K_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n.

Lokata

5

tys. zł na

10\%

rocznie:

K_n=5\cdot1{,}1^n

(w tys. zł). Odsetki doliczają się też od odsetek, więc kapitał rośnie coraz szybciej niż przy odsetkach liczonych tylko od wpłaty (linia przerywana).

Gdy kapitalizacja następuje $m$ razy w roku (np. co miesiąc $m=12$ , co kwartał $m=4$ ), w każdym okresie dopisujemy $\frac{p}{m}\%$ , a okresów jest $m\cdot n$ :

K_n=K\left(1+\frac{p}{100\,m}\right)^{m\cdot n}.

Przykład:

5000

zł na

4\%

rocznie, kapitalizacja roczna,

3

lata

Dane: $K=5000$ , $p=4$ , $n=3$ . Co rok mnożymy przez $1{,}04$ .

K_3=5000\cdot1{,}04^3=5000\cdot1{,}124864=5624{,}32\ \text{zł}

Odsetki: $5624{,}32-5000=624{,}32$ zł.

5624{,}32

zł (podatek od odsetek zadanie zawsze precyzuje)

Przybliżenia i błędy

Zaokrąglając, patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę: $0$ – $4$ w dół, $5$ – $9$ w górę. $3{,}1416\approx3{,}14$ (do części setnych), $2{,}675\approx2{,}68$ .

Jeśli $x$ to wartość dokładna, a $\bar x$ jej przybliżenie, to:

błąd bezwzględny: $\ |x-\bar x|$ ,
błąd względny: $\ \frac{|x-\bar x|}{|x|}$ (często podawany w procentach).

Przykład: liczbę

2{,}5

przybliżono liczbą

2{,}4

Błąd bezwzględny: $|2{,}5-2{,}4|=0{,}1$ .
Błąd względny: błąd dzielimy przez wartość dokładną.

\frac{0{,}1}{2{,}5}=0{,}04=4\%

błąd bezwzględny

0{,}1

, względny

4\%

Na maturze

Zadania zamknięte: obliczanie procentów, „o ile procent”, punkty procentowe, błąd względny. Zadania otwarte: cena przed podwyżką, lokaty, a także zadania „z treścią” wymagające ułożenia równania z procentami.

Wzory

p procent liczby a

\frac{p}{100}\cdot a

Obliczanie części liczby wyrażonej w procentach.

Jakim procentem a jest b

\frac{b}{a}\cdot100\%

Porównanie dwóch wielkości w procentach. W mianowniku zawsze wielkość, względem której porównujemy.

Zmiana o p procent

a\left(1+\frac{p}{100}\right)\qquad a\left(1-\frac{p}{100}\right)

Nowa wartość po wzroście / spadku o $p\%$ . Kolejne zmiany mnożymy.

Procent składany (kapitalizacja roczna)

K_n=K\left(1+\frac{p}{100}\right)^n

Kapitał po $n$ latach na lokacie z oprocentowaniem $p\%$ rocznie. To ciąg geometryczny o ilorazie $1+\frac p{100}$ .

Kapitalizacja m razy w roku

K_n=K\left(1+\frac{p}{100\,m}\right)^{m n}

Gdy odsetki dopisuje się częściej niż raz w roku: w każdym okresie stopa $\frac{p}{m}\%$ , a okresów jest $mn$ .

Błąd bezwzględny

\Delta=|x-\bar{x}|

Różnica między wartością dokładną $x$ a przybliżoną $\bar x$ (zawsze nieujemna).

Błąd względny

\delta=\frac{|x-\bar{x}|}{|x|}\cdot100\%

Błąd bezwzględny w stosunku do wartości dokładnej: mówi, jak „duży” jest błąd na tle liczby.

Punkty procentowe

p_2\%-p_1\%=(p_2-p_1)\ \text{p.p.}

Różnica dwóch wielkości wyrażonych w procentach. Nie myl z procentową zmianą!

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Cena kurtki po obniżce o $15\%$ wynosi $255$ zł. Ile kosztowała kurtka przed obniżką?

Niech $x$ : cena przed obniżką. Po obniżce o $15\%$ płacimy $85\%$ ceny:

0{,}85x=255\quad\Rightarrow\quad x=\frac{255}{0{,}85}=300.

Sprawdzenie: $15\%$ z $300$ to $45$ , a $300-45=255$ ✓.
Uwaga: błędne podejście „ $255+15\%\cdot255=293{,}25$ ” liczy procent od złej wielkości.

Kurtka kosztowała

300

zł.

Przykład 2

Pan Adam wpłacił $2000$ zł na lokatę dwuletnią oprocentowaną $5\%$ w skali roku z kapitalizacją półroczną. Jaką kwotę otrzyma po dwóch latach (pomijamy podatek)? Wynik zaokrąglij do grosza.

Kapitalizacja półroczna: $m=2$ , więc w każdym półroczu stopa wynosi $\frac{5\%}{2}=2{,}5\%$ . Okresów: $2\cdot2=4$ .

K=2000\cdot(1{,}025)^4.

$1{,}025^2=1{,}050625$ , $\ 1{,}050625^2\approx1{,}1038129$ .
$K\approx2000\cdot1{,}1038129\approx2207{,}63$ zł.

Po dwóch latach: około

2207{,}63

zł.

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

$15\%$ liczby $240$ to

$16$
$24$
$36$
$160$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$0{,}15\cdot240=36$ . (Szybko: $10\%=24$ , $5\%=12$ , razem $36$ .)

Odpowiedź C:

36

Zadanie 2 (1 pkt)

Cena biletu wzrosła z $80$ zł do $92$ zł. Cena wzrosła o

$12\%$
$15\%$
$13\%$
$\approx13{,}04\%$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Zmiana: $92-80=12$ zł. Względem ceny początkowej: $\frac{12}{80}\cdot100\%=15\%$ .
Odpowiedź D powstaje po błędnym podzieleniu przez $92$ .

Odpowiedź B:

15\%

Zadanie 3 (1 pkt)

Cenę towaru podniesiono o $20\%$ , a następnie nową cenę obniżono o $20\%$ . W porównaniu z ceną początkową cena końcowa jest

taka sama
niższa o $4\%$
wyższa o $4\%$
niższa o $2\%$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Cena końcowa: $a\cdot1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96a$ . To $96\%$ ceny początkowej, czyli o $4\%$ mniej.
Obniżka o $20\%$ liczona jest od wyższej ceny, dlatego jest kwotowo większa od podwyżki.

Odpowiedź B

Zadanie 4 (1 pkt)

Liczba $a$ stanowi $40\%$ liczby $b$ (gdzie $b>0$ ). Zatem liczba $b$ stanowi

$60\%$ liczby $a$
$140\%$ liczby $a$
$160\%$ liczby $a$
$250\%$ liczby $a$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$a=0{,}4b$ , więc $b=\frac{a}{0{,}4}=2{,}5a$ , czyli $b$ to $250\%$ liczby $a$ .

Odpowiedź D:

250\%

Zadanie 5 (1 pkt)

Oprocentowanie kredytu wzrosło z $6\%$ do $7{,}5\%$ . Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o

$1{,}5\%$
$7{,}5\%$
$1{,}5$ punktu procentowego
$25$ punktów procentowych

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Różnica: $7{,}5\%-6\%=1{,}5$ punktu procentowego. (Względnie to wzrost o $25\%$ : więc poprawne byłoby też „o $25\%$ ”, ale nie „o $25$ p.p.”, ani „o $1{,}5\%$ ”.)

Odpowiedź C

Zadanie 6 (2 pkt)

Po podwyżce o $8\%$ cena roweru wynosi $1620$ zł. Oblicz cenę roweru przed podwyżką.

Odpowiedź: $1500$ zł

Rozwiązanie

Niech $x$ : cena przed podwyżką: $1{,}08x=1620$ , więc $x=\frac{1620}{1{,}08}=1500$ .
Sprawdzenie: $8\%$ z $1500$ to $120$ ; $1500+120=1620$ ✓.

Cena przed podwyżką:

1500

zł.

Zadanie 7 (1 pkt)

Liczbę $2{,}5$ przybliżono liczbą $2{,}4$ . Błąd względny tego przybliżenia jest równy

$0{,}1\%$
$4\%$
$\approx4{,}17\%$
$10\%$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Błąd bezwzględny: $|2{,}5-2{,}4|=0{,}1$ . Błąd względny: $\frac{0{,}1}{2{,}5}=0{,}04=4\%$ .
Odpowiedź C to dzielenie przez przybliżenie $2{,}4$ : błąd.

Odpowiedź B:

4\%

Zadanie 8 (2 pkt)

Na lokatę wpłacono $10\,000$ zł na $3$ lata. Oprocentowanie wynosi $4\%$ w skali roku, kapitalizacja roczna. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (bez podatku).

Odpowiedź: $11\,248{,}64$ zł

Rozwiązanie

$K_3=10\,000\cdot1{,}04^3$ .
$1{,}04^2=1{,}0816$ , $\ 1{,}04^3=1{,}0816\cdot1{,}04=1{,}124864$ .
$K_3=10\,000\cdot1{,}124864=11\,248{,}64$ zł.

Po 3 latach:

11\,248{,}64

zł.

Zadanie 9 (1 pkt)

Liczba $x$ jest o $25\%$ większa od liczby $y>0$ . Zatem liczba $y$ jest mniejsza od liczby $x$ o

$25\%$
$20\%$
$75\%$
$80\%$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$x=1{,}25y$ , więc $y=\frac{x}{1{,}25}=0{,}8x$ . Zatem $y$ to $80\%$ liczby $x$ , czyli jest o $20\%$ mniejsze.

Odpowiedź B: o

20\%

Zadanie 10 (2 pkt)

W klasie jest $30$ uczniów, z czego $40\%$ to dziewczęta. Ile dziewcząt musiałoby dołączyć do klasy, aby dziewczęta stanowiły połowę wszystkich uczniów?

Odpowiedź: $6$

Rozwiązanie

Dziewczęta: $0{,}4\cdot30=12$ , chłopcy: $18$ . Po dołączeniu $k$ dziewcząt:

\frac{12+k}{30+k}=\frac12\ \Rightarrow\ 24+2k=30+k\ \Rightarrow\ k=6.

Sprawdzenie: $18$ dziewcząt i $18$ chłopców ✓.

Musi dołączyć

6

dziewcząt.

Zadanie 11 (2 pkt)

Cena akcji najpierw wzrosła o $10\%$ , a potem spadła o $p\%$ . W rezultacie cena końcowa jest o $1\%$ niższa od ceny początkowej. Oblicz $p$ .

Odpowiedź: $p=10$

Rozwiązanie

Niech $a$ : cena początkowa. Cena końcowa: $a\cdot1{,}1\cdot\left(1-\frac p{100}\right)$ , a ma być $0{,}99a$ :

1{,}1\left(1-\frac{p}{100}\right)=0{,}99\ \Rightarrow\ 1-\frac p{100}=\frac{0{,}99}{1{,}1}=0{,}9\ \Rightarrow\ \frac{p}{100}=0{,}1.

p=10

Zadanie 12 (1 pkt)

Liczba $0{,}5\%$ liczby $600$ jest równa

$300$
$30$
$0{,}3$
$3$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$0{,}005\cdot600=3$ (bo $1\%$ to $6$ , więc $0{,}5\%$ to $3$ ).

Odpowiedź D:

3

Inne tematy: Logarytmy · Przedziały i wartość bezwzględna