Przedziały i wartość bezwzględna: teoria i zadania maturalne

Zapis przedziałów, działania na zbiorach oraz wartość bezwzględna jako odległość na osi liczbowej: z tym rozwiążesz równania i nierówności typu $|x-2|<3$ .

Teoria

Przedziały liczbowe

Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych między dwiema granicami. Nawias okrągły: granica nie należy (kółko puste), ostry $\langle\ \rangle$ : należy (kółko pełne).

Zapis	Nierówność	Nazwa
$(a,b)$	$a<x<b$	otwarty
$\langle a,b\rangle$	$a\le x\le b$	domknięty
$\langle a,b)$	$a\le x<b$	lewostronnie domknięty
$(a,b\rangle$	$a<x\le b$	prawostronnie domknięty
$(-\infty,a)$ , $(-\infty,a\rangle$	$x<a$ , $x\le a$	nieograniczony
$(a,+\infty)$ , $\langle a,+\infty)$	$x>a$ , $x\ge a$	nieograniczony

Przy $\pm\infty$ zawsze stoi nawias okrągły. Przykład: $\langle -2,3)$ na osi:

Przedział ⟨−2, 3): −2 należy (pełne kółko), 3 nie należy (puste kółko).

Przykład: zapisz jako przedział warunek

x\ge-1

x<4

$x\ge-1$ : $-1$ należy, więc nawias ostry $\langle$ .
$x<4$ : $4$ nie należy, więc nawias okrągły $)$ .

x\in\langle-1,4)

Działania na zbiorach

suma $A\cup B$ : elementy należące do $A$ lub do $B$ ,
iloczyn (część wspólna) $A\cap B$ : elementy należące do $A$ i do $B$ ,
różnica $A\setminus B$ : elementy $A$ , które nie należą do $B$ .

Przykład:

A=\langle-2,5)

B=(1,7\rangle

Rysujemy oba przedziały nad osią, jeden nad drugim.
Suma (wszystko, co zaznaczone): $A\cup B=\langle-2,7\rangle$ .
Część wspólna (tam, gdzie oba): $A\cap B=(1,5)$ .
Różnice: $A\setminus B=\langle-2,1\rangle$ , $B\setminus A=\langle5,7\rangle$ .

Wartość bezwzględna

|x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

Przykład: oblicz

|5|

|-5|

|1-\sqrt3|

$|5|=5$ i $|-5|=5$ : obie liczby są w odległości $5$ od zera.
$1-\sqrt3<0$ , bo $\sqrt3\approx1{,}73$ . Liczbę ujemną zamieniamy na przeciwną:

|1-\sqrt3|=\sqrt3-1

Dla

a=-3

x=2

|x-a|=|2-(-3)|=5

, czyli odległość tych punktów na osi liczbowej.

Interpretacja geometryczna

$|x-a|$ to odległość punktu $x$ od punktu $a$ na osi liczbowej. W szczególności $|x|$ to odległość $x$ od zera, a $|x+3|=|x-(-3)|$ : odległość $x$ od $-3$ .

Równania i nierówności z wartością bezwzględną (dla $r>0$ )

$|x-a|=r\iff x=a-r\ \lor\ x=a+r$ (dwa punkty odległe o $r$ od $a$ ),
$|x-a|<r\iff a-r<x<a+r$ (punkty bliżej niż $r$ : przedział „w środku”),
$|x-a|>r\iff x<a-r\ \lor\ x>a+r$ (punkty dalej niż $r$ : dwa przedziały „na zewnątrz”).

Gdy $r<0$ : równanie $|x-a|=r$ i nierówność $|x-a|<r$ nie mają rozwiązań, a $|x-a|>r$ spełnia każda liczba. Gdy $r=0$ : $|x-a|=0\iff x=a$ .

Przykład: rozwiąż

|x+1|=4

Zapisujemy jako odległość: $|x-(-1)|=4$ , więc środek $a=-1$ , a $r=4$ .
Dwa punkty odległe o $4$ od $-1$ : $x=-1-4$ albo $x=-1+4$ .

x=-5

lub

x=3

Przykład: rozwiąż

|x-2|<3

Środek $a=2$ , odległość $r=3$ . Znak $<$ : punkty bliżej niż $3$ , czyli w środku.

2-3<x<2+3

x\in(-1,5)

|x − 2| < 3: liczby odległe od 2 o mniej niż 3, czyli x ∈ (−1, 5).

Współczynnik przy

x

$|2x-1|\le5$ rozwiązujemy wprost, jako podwójną nierówność:

-5\le2x-1\le5

Dodajemy $1$ : $-4\le2x\le6$ . Dzielimy przez $2$ : $-2\le x\le3$ .

Przydatne własności

$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$ , $\quad\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}$ , $\quad|-a|=|a|$ , $\quad\sqrt{a^2}=|a|$ , $\quad|a+b|\le|a|+|b|$ .

Na maturze

Zadania zamknięte: wybór przedziału będącego zbiorem rozwiązań nierówności $|x-a|<r$ , odczytywanie zbioru z osi liczbowej, obliczanie $|1-\sqrt2|$ , działania na przedziałach. Bardziej złożone równania z wartością bezwzględną (kilka modułów) to poziom rozszerzony: znajdziesz je w dziale „Równania i nierówności”.

Wzory

Definicja wartości bezwzględnej

|x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}

Opuszczanie modułu: jeśli wyrażenie w środku jest nieujemne: zostaje bez zmian, jeśli ujemne: zmieniamy znak.

Odległość na osi

d(x,a)=|x-a|

Geometryczna interpretacja: odległość punktów $x$ i $a$ na osi liczbowej.

Równanie z modułem

|x-a|=r\iff x=a-r\ \lor\ x=a+r\quad(r>0)

Dwa rozwiązania symetryczne względem $a$ .

Nierówność „mniejsze”

|x-a|<r\iff x\in(a-r,\,a+r)

Liczby bliższe $a$ niż $r$ : jeden przedział. Dla $\le$ przedział domknięty.

Nierówność „większe”

|x-a|>r\iff x\in(-\infty,a-r)\cup(a+r,+\infty)

Liczby dalsze od $a$ niż $r$ : dwa przedziały. Dla $\ge$ domykamy końce.

Własności modułu

|ab|=|a||b|,\quad\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|},\quad\sqrt{a^2}=|a|

Pozwalają upraszczać wyrażenia z modułami i pierwiastkami.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Rozwiąż nierówność $|x+3|\ge4$ . Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

$|x+3|=|x-(-3)|$ to odległość $x$ od $-3$ . Szukamy liczb odległych od $-3$ o co najmniej $4$ :

x+3\le-4\quad\lor\quad x+3\ge4\ \Rightarrow\ x\le-7\quad\lor\quad x\ge1.

x\in(-\infty,-7\rangle\cup\langle1,+\infty)

Przykład 2

Dane są przedziały $A=(-\infty,2\rangle$ i $B=\langle-1,+\infty)$ . Wyznacz $A\cap B$ , $A\cup B$ oraz $A\setminus B$ .

Rysujemy oba przedziały nad osią:

Część wspólna (oba paski naraz): $A\cap B=\langle-1,2\rangle$ .
Suma (choć jeden pasek): cała oś, $A\cup B=\mathbb{R}$ .
Różnica $A\setminus B$ : liczby z $A$ mniejsze od $-1$ ; sama liczba $-1$ należy do $B$ , więc ją wyrzucamy: $A\setminus B=(-\infty,-1)$ .

A\cap B=\langle-1,2\rangle

A\cup B=\mathbb{R}

A\setminus B=(-\infty,-1)

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $|-7|-|3-8|$ jest równa

$-12$
$2$
$12$
$-2$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$|-7|=7$ , $|3-8|=|-5|=5$ . Różnica: $7-5=2$ .

Odpowiedź B:

2

Zadanie 2 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności $|x-2|<3$ jest przedział

$(-1,5)$
$(-5,1)$
$(-\infty,-1)\cup(5,+\infty)$
$\langle-1,5\rangle$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$-3<x-2<3\Rightarrow-1<x<5$ . Nierówność ostra, więc końce nie należą.

Odpowiedź A:

(-1,5)

Zadanie 3 (1 pkt)

Suma wszystkich rozwiązań równania $|x+4|=5$ jest równa

$1$
$-9$
$-8$
$10$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$x+4=5$ lub $x+4=-5$ , więc $x=1$ lub $x=-9$ . Suma: $1+(-9)=-8$ .

Odpowiedź C:

-8

Zadanie 4 (1 pkt)

Dane są przedziały $A=\langle-3,4)$ i $B=(0,6\rangle$ . Część wspólna $A\cap B$ to

$\langle-3,6\rangle$
$(0,4\rangle$
$\langle0,4)$
$(0,4)$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Wspólne liczby są między $0$ a $4$ . Liczba $0$ nie należy do $B$ (nawias okrągły), a $4$ nie należy do $A$ . Zatem $A\cap B=(0,4)$ .

Odpowiedź D:

(0,4)

Zadanie 5 (1 pkt)

Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-2{,}5;\ 3\rangle$ ?

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Liczby całkowite spełniające $-2{,}5<x\le3$ : $-2,-1,0,1,2,3$ : jest ich $6$ .

Odpowiedź B:

6

Zadanie 6 (2 pkt)

Rozwiąż nierówność $|2x-1|\le5$ .

Odpowiedź: $x\in\langle-2,3\rangle$

Rozwiązanie

$|2x-1|\le5\iff-5\le2x-1\le5$ .
Dodajemy $1$ : $-4\le2x\le6$ . Dzielimy przez $2$ : $-2\le x\le3$ .

x\in\langle-2,3\rangle

Zadanie 7 (1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono zbiór:

Zbiór ten jest zbiorem rozwiązań nierówności

$|x+2|\le3$
$|x-2|\ge3$
$|x-2|\le3$
$|x-3|\le2$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Przedział $\langle-1,5\rangle$ ma środek $a=\frac{-1+5}{2}=2$ i promień $r=\frac{5-(-1)}{2}=3$ . Końce są zamalowane, więc nierówność nieostra: $|x-2|\le3$ .

Odpowiedź C

Zadanie 8 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia $|\sqrt5-3|+|\sqrt5-1|$ .

Odpowiedź: $2$

Rozwiązanie

$\sqrt5\approx2{,}24$ , więc $\sqrt5-3<0$ i $|\sqrt5-3|=3-\sqrt5$ . Natomiast $\sqrt5-1>0$ , więc $|\sqrt5-1|=\sqrt5-1$ .
Suma: $3-\sqrt5+\sqrt5-1=2$ .

Wynik:

2

Zadanie 9 (1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności $|x|>3$ jest

$(-3,3)$
$(3,+\infty)$
$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$
$\langle-3,3\rangle$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$|x|>3\iff x<-3\ \lor\ x>3$ . Odpowiedź B pomija liczby ujemne, np. $x=-5$ też spełnia nierówność.

Odpowiedź C

Zadanie 10 (1 pkt)

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których odległość od liczby $1$ na osi liczbowej jest nie większa niż $4$ , to

$\langle-3,5\rangle$
$(-3,5)$
$\langle-4,4\rangle$
$\langle-5,3\rangle$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Warunek: $|x-1|\le4\iff-4\le x-1\le4\iff-3\le x\le5$ .

Odpowiedź A:

\langle-3,5\rangle

Zadanie 11 (2 pkt)

Rozwiąż równanie $|3-x|=7$ oraz nierówność $|x+1|>2$ . Podaj liczby całkowite spełniające oba warunki jednocześnie.

Odpowiedź: Równanie: $x=-4$ lub $x=10$ ; nierówność: $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$ ; obie: $x=-4$ i $x=10$ .

Rozwiązanie

Równanie: $|x-3|=7\Rightarrow x=3-7=-4$ lub $x=3+7=10$ .
Nierówność: $|x+1|>2\Rightarrow x+1<-2\ \lor\ x+1>2\Rightarrow x<-3\ \lor\ x>1$ .
Sprawdzenie: $-4<-3$ ✓, $10>1$ ✓: oba rozwiązania równania spełniają nierówność.

x=-4

oraz

x=10

Inne tematy: Procenty, przybliżenia i procent składany

Przedziały i wartość bezwzględna: teoria i zadania maturalne

Teoria

Przedziały liczbowe

Działania na zbiorach

Wartość bezwzględna

Równania i nierówności z wartością bezwzględną (dla r>0r>0r>0)

Przydatne własności

Wzory

Definicja wartości bezwzględnej

Odległość na osi

Równanie z modułem

Nierówność „mniejsze”

Nierówność „większe”

Własności modułu

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (2 pkt)

Zadanie 7 (1 pkt)

Zadanie 8 (2 pkt)

Zadanie 9 (1 pkt)

Zadanie 10 (1 pkt)

Zadanie 11 (2 pkt)

Równania i nierówności z wartością bezwzględną (dla $r>0$ )