Potęgi i pierwiastki: teoria i zadania maturalne

Prawa działań na potęgach i pierwiastkach, potęga o wykładniku wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i notacja wykładnicza: to pojawia się w niemal każdym arkuszu.

Teoria

Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{razy}},\qquad a^1=a,\qquad a^0=1\ \ (a\neq0)

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(a\neq 0),\qquad\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}.

Przykład: ujemny wykładnik

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$ : minus w wykładniku odwraca liczbę.
$\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$ : ułamek odwracamy, a minus znika.

Minus przed potęgą

$(-2)^4=16$ , ale $-2^4=-(2^4)=-16$ . Potęga dotyczy tylko tego, co stoi bezpośrednio przed nią (lub całego nawiasu).

Prawa działań na potęgach

Dla $a,b\neq0$ i wykładników całkowitych (a dla $a,b>0$ : dowolnych rzeczywistych):

Prawo	Wzór	Przykład
mnożenie, ta sama podstawa	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$2^3\cdot2^5=2^8$
dzielenie, ta sama podstawa	$a^m:a^n=a^{m-n}$	$3^7:3^4=3^3$
potęga potęgi	$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$	$(5^2)^3=5^6$
potęga iloczynu	$(ab)^n=a^n b^n$	$(2x)^3=8x^3$
potęga ilorazu	$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}$

Przykład: oblicz

\frac{2^3\cdot2^5}{(2^2)^3}

Licznik: wykładniki dodajemy, $2^3\cdot2^5=2^8$ .
Mianownik: wykładniki mnożymy, $(2^2)^3=2^6$ .

\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4

4

Sprowadzaj do wspólnej podstawy

$4=2^2$ , $8=2^3$ , $16=2^4$ , $32=2^5$ , $9=3^2$ , $27=3^3$ , $25=5^2$ , $125=5^3$ , $\frac14=2^{-2}$ , $0{,}2=5^{-1}$ . Gdy wszystko ma tę samą podstawę, dodajesz i odejmujesz wykładniki.

Przykład: oblicz

4^3\cdot8

Zamieniamy na potęgi dwójki: $4^3=(2^2)^3=2^6$ i $8=2^3$ .

2^6\cdot2^3=2^9=512

512

Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a\ge0$ to taka liczba $b\ge0$ , że $b^2=a$ . Zawsze $\sqrt{a}\ge 0$ , np. $\sqrt{9}=3$ (a nie $\pm3$ ).

Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje także z liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-8}=-2$ , bo $(-2)^3=-8$ ; $\sqrt[5]{-32}=-2$ . Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w $\mathbb{R}$ .

\sqrt{x}

istnieje tylko dla

x\ge0

, a

\sqrt[3]{x}

dla każdej liczby, np.

\sqrt[3]{-8}=-2

Pierwiastek z kwadratu

$\sqrt{a^2}=|a|$ , np. $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$ . Przydaje się przy $\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1$ .

Działania na pierwiastkach ( $a,b\ge0$ )

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ , $\quad\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$ ( $b>0$ )
wyłączanie czynnika: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$ , $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}$
włączanie czynnika: $3\sqrt2=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}$ (przydatne przy porównywaniu liczb)
dodawać można tylko „podobne” pierwiastki: $2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$ , ale $\sqrt2+\sqrt3\neq\sqrt5$ !

Przykład: oblicz

\sqrt{50}+\sqrt{18}

Szukamy w każdej liczbie kwadratu: $50=25\cdot2$ , $18=9\cdot2$ .
Wyłączamy go przed pierwiastek: $\sqrt{50}=5\sqrt2$ , $\sqrt{18}=3\sqrt2$ .

5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2

8\sqrt2

Potęga o wykładniku wymiernym

Dla $a>0$ , $m\in\mathbb{Z}$ , $n\in\mathbb{N}$ , $n\ge2$ :

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m,\qquad a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}.

Przykład: oblicz

8^{\frac23}

Mianownik $3$ to stopień pierwiastka, licznik $2$ to potęga.

8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4

4

Przykład:

27^{-\frac13}

\sqrt2\cdot\sqrt[3]2

Minus odwraca: $27^{-\frac13}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac13$ .
Pierwiastki jako potęgi, wykładniki dodajemy: $\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}=2^{\frac12+\frac13}=2^{\frac56}$ .

Usuwanie niewymierności z mianownika

Mianownik $\sqrt{a}$ : mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt a$ : $\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$ .
Mianownik $\sqrt a\pm b$ : mnożymy przez sprzężenie $\sqrt a\mp b$ i korzystamy z $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ :

\frac{2}{\sqrt5-1}=\frac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\frac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{\sqrt5+1}{2}.

Notacja wykładnicza

Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^k$ , gdzie $1\le a<10$ i $k\in\mathbb{Z}$ .

Przykład: zapisz w notacji wykładniczej

$350\,000=3{,}5\cdot10^5$ : przecinek przesunięty o $5$ miejsc w lewo.
$0{,}00072=7{,}2\cdot10^{-4}$ : przecinek przesunięty o $4$ miejsca w prawo, więc wykładnik ujemny.
Mnożenie: liczby mnożymy, wykładniki dodajemy: $(2\cdot10^3)(4{,}5\cdot10^{-7})=9\cdot10^{-4}$ .

Monotoniczność potęgowania

Gdy $a>1$ : większy wykładnik $\Rightarrow$ większa potęga: $x<y\Rightarrow a^x<a^y$ . Np. $2^{1{,}4}<2^{\sqrt2}$ , bo $1{,}4<\sqrt2$ .
Gdy $0<a<1$ : odwrotnie: $x<y\Rightarrow a^x>a^y$ . Np. $\left(\frac12\right)^3<\left(\frac12\right)^2$ .

Dla podstawy

a>1

potęga

a^x

rośnie razem z wykładnikiem, a dla

0<a<1

maleje.

Typowe zadanie zamknięte

„Liczba $\frac{3^{20}\cdot 9^{-4}}{27^3}$ jest równa…”: zamień wszystko na potęgi $3$ : $\frac{3^{20}\cdot3^{-8}}{3^9}=3^{20-8-9}=3^3=27$ . Takie zadanie to pewny punkt, jeśli znasz prawa potęg.

Wzory

Iloczyn potęg o tej samej podstawie

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Podstawa musi być identyczna!

Iloraz potęg o tej samej podstawie

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

Dzieląc, odejmujemy wykładniki (licznik minus mianownik).

Potęga potęgi

\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

Potęgując potęgę, mnożymy wykładniki. Kluczowe przy zamianie $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$ .

Potęga iloczynu i ilorazu

(ab)^n=a^nb^n,\qquad\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

Potęgujemy każdy czynnik osobno. Uwaga: NIE działa dla sumy: $(a+b)^2\neq a^2+b^2$ .

Potęga o wykładniku ujemnym

a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^{n}

Ujemny wykładnik = odwrotność. Wynik NIE jest ujemny!

Potęga o wykładniku wymiernym

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0)

Zamiana między pierwiastkami a potęgami. Mianownik wykładnika = stopień pierwiastka.

Iloczyn i iloraz pierwiastków

\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}

Działa dla pierwiastków tego samego stopnia ( $a,b\ge0$ ).

Pierwiastek z kwadratu

\sqrt{a^2}=|a|

Pierwiastek kwadratowy zawsze jest nieujemny: stąd wartość bezwzględna.

Usuwanie niewymierności (sprzężenie)

\frac{c}{\sqrt a-b}=\frac{c(\sqrt a+b)}{a-b^2}

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika: znika pierwiastek z mianownika.

Notacja wykładnicza

x=a\cdot10^k,\quad 1\le a<10,\ k\in\mathbb{Z}

Zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb. Przy mnożeniu: mnożysz $a$ -ki, dodajesz wykładniki.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Oblicz $\dfrac{2^{10}\cdot 4^{-3}}{8^{2}}$ .

Krok 1: wspólna podstawa 2. $4=2^2$ , $8=2^3$ , więc

4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6},\qquad 8^2=(2^3)^2=2^6.

Krok 2: prawa potęg.

\frac{2^{10}\cdot2^{-6}}{2^{6}}=\frac{2^{4}}{2^{6}}=2^{4-6}=2^{-2}=\frac14.

Wynik:

\frac{1}{4}

Przykład 2

Usuń niewymierność z mianownika i uprość: $\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}$ .

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie $\sqrt5+1$ :

\frac{4}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}=\frac{4(\sqrt5+1)}{4}=\sqrt5+1.

W mianowniku skorzystaliśmy ze wzoru $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .

Wynik:

\sqrt5+1

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Liczba $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ jest równa

$-9$
$\frac19$
$9$
$-6$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$ . Ujemny wykładnik nie daje liczby ujemnej (A i D to pułapki).

Odpowiedź C:

9

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczba $\dfrac{5^{12}\cdot 25^{-4}}{125}$ jest równa

$5$
$25$
$\frac15$
$5^{7}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$25^{-4}=(5^2)^{-4}=5^{-8}$ , $125=5^3$ . Zatem

\frac{5^{12}\cdot5^{-8}}{5^3}=5^{12-8-3}=5^1=5.

Odpowiedź A:

5

Zadanie 3 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\sqrt{48}-\sqrt{27}$ jest równa

$\sqrt{21}$
$\sqrt3$
$3$
$7\sqrt3$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$ , $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$ .
$4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3$ . Odpowiedź A to typowy błąd: $\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}$ .

Odpowiedź B:

\sqrt3

Zadanie 4 (1 pkt)

Liczba $\sqrt[3]{-27}+\sqrt{16}$ jest równa

$7$
$1$
$-7$
wyrażenie nie ma sensu liczbowego

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$\sqrt[3]{-27}=-3$ , bo $(-3)^3=-27$ . $\sqrt{16}=4$ . Suma: $-3+4=1$ .

Odpowiedź B:

1

Zadanie 5 (1 pkt)

Liczba $8^{\frac{2}{3}}$ jest równa

$\frac{16}{3}$
$2$
$\sqrt{8^3}$
$4$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]8\right)^2=2^2=4$ .

Odpowiedź D:

4

Zadanie 6 (2 pkt)

Usuń niewymierność z mianowników i oblicz: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}$ .

Odpowiedź: $3\sqrt3-1$

Rozwiązanie

Pierwszy składnik: $\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$ .
Drugi składnik:

\frac{2}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{2(\sqrt3-1)}{3-1}=\sqrt3-1.

Suma: $2\sqrt3+\sqrt3-1=3\sqrt3-1$ .

Wynik:

3\sqrt3-1

Zadanie 7 (1 pkt)

Liczba $\dfrac{3^{40}+3^{40}+3^{40}}{3^{38}}$ jest równa

$27$
$9$
$3^{82}$
$81$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$3^{40}+3^{40}+3^{40}=3\cdot3^{40}=3^{41}$ . Wtedy

\frac{3^{41}}{3^{38}}=3^{3}=27.

Pułapka: dodawanie potęg NIE polega na dodawaniu wykładników.

Odpowiedź A:

27

Zadanie 8 (1 pkt)

Iloczyn $0{,}00042\cdot\left(5\cdot10^{7}\right)$ zapisany w notacji wykładniczej to

$2{,}1\cdot10^{3}$
$21\cdot10^{3}$
$2{,}1\cdot10^{4}$
$2{,}1\cdot10^{11}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$4{,}2\cdot10^{-4}\cdot5\cdot10^{7}=21\cdot10^{3}=2{,}1\cdot10^{1}\cdot10^3=2{,}1\cdot10^4$ .
Odpowiedź B to ta sama liczba, ale nie w notacji wykładniczej ( $21\ge10$ ).

Odpowiedź C

Zadanie 9 (2 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia $\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{84}$ .

Odpowiedź: $10$

Rozwiązanie

$(\sqrt7-\sqrt3)^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$ (bo $\sqrt7\cdot\sqrt3=\sqrt{21}$ ).
$\sqrt{84}=2\sqrt{21}$ . Suma: $10-2\sqrt{21}+2\sqrt{21}=10$ .

Wynik:

10

Zadanie 10 (1 pkt)

Która nierówność jest prawdziwa?

$(0{,}5)^{3}>(0{,}5)^{2}$
$2^{\sqrt2}<2^{1{,}5}$
$3^{-2}>3^{-1}$
$\left(\frac23\right)^{-1}<1$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

A: podstawa $0{,}5<1$ , więc większy wykładnik daje mniejszą potęgę: $0{,}125<0{,}25$ : fałsz.
B: podstawa $2>1$ i $\sqrt2\approx1{,}414<1{,}5$ , więc $2^{\sqrt2}<2^{1{,}5}$ : prawda.
C: $\frac19>\frac13$ : fałsz.
D: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32>1$ : fałsz.

Odpowiedź B

Zadanie 11 (2 pkt)

Wykaż, że $\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2$ .

Odpowiedź: $(\sqrt5-2)^2=5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5$ oraz $\sqrt5-2>0$ , więc teza zachodzi.

Rozwiązanie

Z definicji: $\sqrt{x}=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y\ge0$ i $y^2=x$ .
Krok 1: kwadrat prawej strony:

(\sqrt5-2)^2=(\sqrt5)^2-2\cdot2\sqrt5+4=5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5.

Krok 2: znak: $\sqrt5>\sqrt4=2$ , więc $\sqrt5-2>0$ .
Wniosek: $\sqrt5-2$ jest nieujemną liczbą, której kwadrat to $9-4\sqrt5$ , czyli $\sqrt{9-4\sqrt5}=\sqrt5-2$ . ∎
Uwaga: gdybyśmy nie sprawdzili znaku, równie dobrze „pasowałoby” $2-\sqrt5$ , które jest ujemne: dlatego krok 2 jest konieczny.

Zadanie 12 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\dfrac{2^{-1}+2^{-2}}{2^{-3}}$ jest równa

$1$
$6$
$\frac16$
$8$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

$2^{-1}+2^{-2}=\frac12+\frac14=\frac34$ , a $2^{-3}=\frac18$ .

\frac{3/4}{1/8}=\frac34\cdot8=6.

Pułapka: nie wolno „dodać wykładników” w liczniku, bo tam jest suma, nie iloczyn.

Odpowiedź B:

6

Inne tematy: Zbiory liczbowe, działania i podzielność · Logarytmy

Potęgi i pierwiastki: teoria i zadania maturalne

Teoria

Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym

Prawa działań na potęgach

Pierwiastki

Działania na pierwiastkach (a,b≥0a,b\ge0a,b≥0)

Potęga o wykładniku wymiernym

Usuwanie niewymierności z mianownika

Notacja wykładnicza

Monotoniczność potęgowania

Wzory

Iloczyn potęg o tej samej podstawie

Iloraz potęg o tej samej podstawie

Potęga potęgi

Potęga iloczynu i ilorazu

Potęga o wykładniku ujemnym

Potęga o wykładniku wymiernym

Iloczyn i iloraz pierwiastków

Pierwiastek z kwadratu

Usuwanie niewymierności (sprzężenie)

Notacja wykładnicza

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Przykład 2

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Zadanie 2 (1 pkt)

Zadanie 3 (1 pkt)

Zadanie 4 (1 pkt)

Zadanie 5 (1 pkt)

Zadanie 6 (2 pkt)

Zadanie 7 (1 pkt)

Zadanie 8 (1 pkt)

Zadanie 9 (2 pkt)

Zadanie 10 (1 pkt)

Zadanie 11 (2 pkt)

Zadanie 12 (1 pkt)

Działania na pierwiastkach ( $a,b\ge0$ )