Zbiory liczbowe, działania i podzielność: teoria i zadania maturalne

Poznasz rodzaje liczb, kolejność działań, ułamki okresowe, NWD i NWW, dzielenie z resztą oraz proste dowody podzielności, które regularnie pojawiają się na maturze.

Teoria

Rodzaje liczb

Wszystkie liczby, z którymi pracujesz na maturze, to liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$ . Dzielą się na kilka „warstw” zawartych jedna w drugiej:

Naturalne $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ : liczby do liczenia. Liczby naturalne dodatnie to $1,2,3,\dots$
Całkowite $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ : naturalne i liczby do nich przeciwne.
Wymierne $\mathbb{Q}$ : liczby, które da się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ , gdzie $p\in\mathbb{Z}$ , $q\in\mathbb{Z}$ , $q\neq 0$ . Ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone (np. $0{,}25$ ) albo nieskończone okresowe (np. $0{,}(3)=0{,}333\dots$ ).
Niewymierne: liczby rzeczywiste, które nie są wymierne. Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, np. $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ , $\sqrt[3]{5}$ .

Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna. Wymierne i niewymierne razem tworzą ℝ.

Pierwiastek nie zawsze jest niewymierny

$\sqrt{16}=4$ , $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ , $\sqrt[3]{-8}=-2$ : to liczby wymierne. Niewymierny jest pierwiastek, którego nie da się obliczyć dokładnie, np. $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ .

Kolejność wykonywania działań

Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego).
Potęgowanie i pierwiastkowanie.
Mnożenie i dzielenie: od lewej do prawej.
Dodawanie i odejmowanie: od lewej do prawej.

Dzielenie „od prawej”

$12:3\cdot 2$ to $4\cdot 2=8$ , a nie $12:6=2$ . Mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet: liczymy po kolei od lewej.

Ułamki zwykłe: przypomnienie

Dodawanie: sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$ .
Mnożenie: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$ .
Dzielenie: mnożymy przez odwrotność: $\frac{3}{5}:\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{2}{3}$ .

Zamiana ułamka okresowego na zwykły

Metoda „mnożenia przez 10”: oznacz liczbę przez $x$ , pomnóż przez taką potęgę 10, aby okres „przesunął się” za przecinek, i odejmij równania.

Zamiana

0{,}(36)

$x=0{,}3636\dots$ , więc $100x=36{,}3636\dots$ Odejmujemy: $99x=36$ , stąd $x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$ .

Szybki wzór

Okres zaczynający się zaraz po przecinku: $0{,}(a)=\frac{a}{9}$ , $0{,}(ab)=\frac{ab}{99}$ , $0{,}(abc)=\frac{abc}{999}$ . Np. $0{,}(7)=\frac{7}{9}$ , $0{,}(12)=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$ .

Podzielność i liczby pierwsze

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: $1$ i samą siebie ( $2,3,5,7,11,13,\dots$ ). Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona. Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można rozłożyć na czynniki pierwsze, np. $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ .

Liczba dzieli się przez	gdy…
2	ostatnia cyfra jest parzysta
3	suma cyfr dzieli się przez 3
4	liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4
5	ostatnia cyfra to 0 lub 5
6	dzieli się przez 2 i przez 3
9	suma cyfr dzieli się przez 9
10	ostatnia cyfra to 0

NWD i NWW

NWD (największy wspólny dzielnik): iloczyn wspólnych czynników pierwszych w najmniejszych potęgach. NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność): iloczyn wszystkich czynników w największych potęgach.

NWD i NWW liczb 72 i 60

$72=2^3\cdot 3^2$ , $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ . NWD $=2^2\cdot 3=12$ , NWW $=2^3\cdot 3^2\cdot 5=360$ . Sprawdzenie: $12\cdot 360=4320=72\cdot 60$ ✓.

Dzielenie z resztą

Dla liczby całkowitej $a$ i naturalnej dodatniej $b$ istnieją dokładnie jedne liczby całkowite $q$ (iloraz) i $r$ (reszta), takie że

a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r<b.

Przykład: $47=6\cdot 7+5$ , więc $47$ przy dzieleniu przez $6$ daje resztę $5$ . Uwaga: $-7=3\cdot(-3)+2$ , więc reszta z dzielenia $-7$ przez $3$ to $2$ (reszta nigdy nie jest ujemna).

47=6\cdot7+5

: od zera mieści się

7

pełnych „skoków” o

6

, a do

47

zostaje reszta

5<6

Dowody podzielności: schemat

Na maturze podstawowej pojawia się zadanie typu „Udowodnij, że…”. Klucz to zapis algebraiczny:

liczba parzysta: $2k$ , nieparzysta: $2k+1$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ),
kolejne liczby całkowite: $n,\ n+1,\ n+2$ ,
liczba dająca resztę $r$ przy dzieleniu przez $m$ : $mk+r$ ,
liczba podzielna przez $m$ : $m\cdot(\text{liczba całkowita})$ .

Przekształcasz wyrażenie tak, aby wyłączyć dzielnik przed nawias, np. $6n+9=3(2n+3)$ : to jest podzielne przez 3, bo $2n+3$ jest całkowite.

Iloczyny kolejnych liczb

Wśród $2$ kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, wśród $3$ kolejnych jedna dzieli się przez $3$ . Dlatego iloczyn $2$ kolejnych liczb dzieli się przez $2$ , iloczyn $3$ kolejnych: przez $6$ , a iloczyn $4$ kolejnych: przez $24$ .

Jak pisać dowód, żeby dostać 2 pkt

Wprowadź oznaczenia („Niech $n$ będzie liczbą całkowitą…”), zapisz wyrażenie, przekształć je do postaci $m\cdot(\dots)+r$ i napisz wniosek słowami: „Ponieważ $k^2+k$ jest liczbą całkowitą, liczba … jest podzielna przez …”. Brak wniosku często kosztuje punkt.

Wzory

Dzielenie z resztą

a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b

Opisuje każdą liczbę całkowitą przez dzielnik $b$ , iloraz $q$ i resztę $r$ . Podstawa wszystkich zadań „jaką resztę daje…”.

Liczba parzysta i nieparzysta

2k \qquad 2k+1,\quad k\in\mathbb{Z}

Uniwersalny zapis w dowodach. Dwie kolejne liczby nieparzyste to $2k+1$ i $2k+3$ .

Kolejne liczby całkowite

n,\ n+1,\ n+2,\ \dots

Służy do dowodów z kolejnymi liczbami. Wygodnie bywa też wziąć środkową: $n-1,\ n,\ n+1$ .

NWD i NWW

\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b

Pozwala szybko wyznaczyć NWW, gdy znasz NWD (lub odwrotnie).

Ułamek okresowy

0{,}(a)=\frac{a}{9},\quad 0{,}(ab)=\frac{ab}{99}

Zamiana ułamka okresowego (okres od razu po przecinku) na zwykły. W innych przypadkach użyj metody mnożenia przez 10.

Liczba wymierna

\frac{p}{q},\quad p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}

Definicja: jeśli liczbę da się tak zapisać, jest wymierna.

Wyłączanie wspólnego czynnika

m\cdot a+m\cdot b=m(a+b)

Najważniejsze narzędzie w dowodach podzielności: jeśli wyłączysz $m$ , a w nawiasie jest liczba całkowita, to wyrażenie dzieli się przez $m$ .

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Zamień ułamek okresowy $0{,}1(6)$ na ułamek zwykły.

Okres zaczyna się nie od razu po przecinku, więc stosujemy metodę mnożenia przez potęgi 10.
Niech $x=0{,}1666\dots$
Mnożymy przez 10: $10x=1{,}666\dots$
Mnożymy przez 100: $100x=16{,}666\dots$
Odejmujemy stronami (części po przecinku się redukują):

100x-10x=16{,}666\ldots-1{,}666\ldots\ \Rightarrow\ 90x=15

Stąd $x=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$ .

0{,}1(6)=\frac{1}{6}

Przykład 2

Udowodnij, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych przy dzieleniu przez $8$ daje resztę $2$ .

Oznaczenia. Dwie kolejne liczby nieparzyste to $2k+1$ i $2k+3$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Przekształcenia.

(2k+1)^2+(2k+3)^2=4k^2+4k+1+4k^2+12k+9=8k^2+16k+10

Chcemy wyłączyć 8: $8k^2+16k+10=8k^2+16k+8+2=8(k^2+2k+1)+2$ .
Wniosek. Liczba $k^2+2k+1$ jest całkowita, więc suma kwadratów ma postać $8\cdot(\text{liczba całkowita})+2$ , czyli przy dzieleniu przez $8$ daje resztę $2$ . ∎

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Która z poniższych liczb jest niewymierna?

$\sqrt{16}$
$0{,}(3)$
$\sqrt{12}$
$\frac{22}{7}$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$\sqrt{16}=4$ : liczba całkowita, więc wymierna.
$0{,}(3)=\frac{1}{3}$ : ułamek okresowy, wymierna.
$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$ : $\sqrt{3}$ jest niewymierne, a iloczyn liczby wymiernej $\neq0$ i niewymiernej jest niewymierny.
$\frac{22}{7}$ : ułamek zwykły, wymierna (to tylko przybliżenie $\pi$ , a nie $\pi$ !).

Odpowiedź C:

\sqrt{12}

Zadanie 2 (1 pkt)

Wartość wyrażenia $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}:\frac{3}{8}$ jest równa

$0$
$\frac{10}{9}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{1}{9}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Dzielenie ma pierwszeństwo przed odejmowaniem:

\frac{1}{4}:\frac{3}{8}=\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}

Teraz odejmowanie: $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$ .
Pułapka: liczenie od lewej „ $(\frac23-\frac14):\frac38$ ” daje $\frac{10}{9}$ (odpowiedź B): to błąd kolejności działań.

Odpowiedź A:

0

Zadanie 3 (1 pkt)

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $84$ i $120$ jest równa

$10080$
$12$
$420$
$840$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Rozkłady na czynniki pierwsze: $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ , $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ .
NWW bierze każdy czynnik w najwyższej potędze: $2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7=8\cdot105=840$ .
Kontrola: NWD $=2^2\cdot3=12$ i $12\cdot840=10080=84\cdot120$ ✓.

Odpowiedź D:

840

Zadanie 4 (2 pkt)

Zamień ułamek okresowy $2{,}(45)$ na ułamek zwykły nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac{27}{11}$

Rozwiązanie

Niech $x=2{,}4545\dots$ Okres ma dwie cyfry, więc mnożymy przez $100$ :

100x=245{,}4545\dots

Odejmujemy: $100x-x=245{,}4545\ldots-2{,}4545\ldots$ , czyli $99x=243$ .

x=\frac{243}{99}=\frac{27}{11}

(skróciliśmy przez $9$ ). Sposób 2: $2{,}(45)=2+\frac{45}{99}=2+\frac{5}{11}=\frac{27}{11}$ .

2{,}(45)=\frac{27}{11}

Zadanie 5 (1 pkt)

Liczba $2026$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$7\cdot 289=2023$ oraz $2026-2023=3$ . Zatem $2026=7\cdot289+3$ , a $0\le3<7$ .

Odpowiedź C: reszta

3

Zadanie 6 (1 pkt)

Liczba całkowita $n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ . Liczba $3n$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

$n=5k+2$ , $k\in\mathbb{Z}$ . Wtedy

3n=15k+6=15k+5+1=5(3k+1)+1.

Liczba $3k+1$ jest całkowita, więc reszta wynosi $1$ . (Odpowiedź D jest pułapką: $6\ge5$ , więc nie może być resztą.)

Odpowiedź C:

1

Zadanie 7 (2 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^3-n$ jest podzielna przez $6$ .

Odpowiedź: $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ : iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dzieli się przez $2$ i przez $3$ , czyli przez $6$ .

Rozwiązanie

Krok 1: rozkład na czynniki.

n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1).

Krok 2: obserwacja. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.

Wśród dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$ .
Wśród trzech kolejnych liczb dokładnie jedna dzieli się przez $3$ , więc iloczyn dzieli się przez $3$ .

Krok 3: wniosek. Liczba dzieli się przez $2$ i przez $3$ , a ponieważ $2$ i $3$ są względnie pierwsze, dzieli się przez $2\cdot3=6$ . ∎

Zadanie 8 (2 pkt)

Udowodnij, że jeżeli liczba całkowita przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$ , to jej kwadrat przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$ .

Odpowiedź: $(4k+3)^2=16k^2+24k+9=4(4k^2+6k+2)+1$ , więc reszta wynosi $1$ .

Rozwiązanie

Oznaczenie. Liczba dająca resztę $3$ przy dzieleniu przez $4$ ma postać $n=4k+3$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Kwadrat:

n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+9.

Rozbijamy $9=8+1$ , żeby wyłączyć $4$ :

16k^2+24k+8+1=4(4k^2+6k+2)+1.

Wniosek. $4k^2+6k+2$ jest liczbą całkowitą, więc $n^2=4\cdot(\text{liczba całkowita})+1$ : kwadrat daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$ . ∎

Zadanie 9 (1 pkt)

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{7}{12}$ to

$0{,}58(3)$
$0{,}5(83)$
$0{,}583$
$0{,}(583)$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

$7:12=0{,}58333\dots$ : cyfry $5$ i $8$ pojawiają się raz, a potem w nieskończoność powtarza się $3$ .
Zapis z okresem: $0{,}58(3)$ .

Odpowiedź A

Zadanie 10 (1 pkt)

Liczba trzycyfrowa $\overline{5a2}$ (gdzie $a$ to cyfra dziesiątek) jest podzielna przez $9$ . Zatem

$a=0$
$a=2$
$a=4$
$a=7$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Suma cyfr: $5+a+2=7+a$ . Musi być podzielna przez $9$ , a $a$ jest cyfrą ( $0\le a\le9$ ), więc $7+a\in\{7,\dots,16\}$ . Jedyna wielokrotność $9$ w tym zakresie to $9$ , stąd $a=2$ . Liczba to $522=9\cdot58$ ✓.

Odpowiedź B:

a=2

Zadanie 11 (3 pkt)

Udowodnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez $24$ .

Odpowiedź: Wśród 4 kolejnych liczb są dwie parzyste, z których jedna dzieli się przez 4 (czynnik $8$ ), oraz co najmniej jedna podzielna przez 3. Ponieważ $\mathrm{NWD}(8,3)=1$ , iloczyn dzieli się przez $24$ .

Rozwiązanie

Niech liczby to $n,\ n+1,\ n+2,\ n+3$ , $n\in\mathbb{N}$ . Ponieważ $24=8\cdot3$ i $\mathrm{NWD}(8,3)=1$ , wystarczy wykazać podzielność przez $8$ i przez $3$ .
Podzielność przez 8. Wśród czterech kolejnych liczb są dokładnie dwie parzyste i są to kolejne liczby parzyste, np. $2m$ i $2m+2=2(m+1)$ . Ich iloczyn to $4m(m+1)$ . Liczby $m$ i $m+1$ są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta: zatem $m(m+1)$ dzieli się przez $2$ , a $4m(m+1)$ przez $8$ .
Podzielność przez 3. Wśród trzech kolejnych liczb (a mamy aż cztery) jedna dzieli się przez $3$ .
Wniosek. Iloczyn dzieli się przez $8$ i przez $3$ , liczby względnie pierwsze, więc dzieli się przez $8\cdot3=24$ . ∎

Inne tematy: Potęgi i pierwiastki