Dział 10. Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo klasyczne: teoria i zadania maturalne

Zdarzenia losowe, klasyczna definicja prawdopodobieństwa, zdarzenie przeciwne, suma zdarzeń, tabela dla dwóch kostek i drzewko dla losowań wieloetapowych.

Teoria

Podstawowe pojęcia

doświadczenie losowe: np. rzut kostką; zdarzenie elementarne: pojedynczy wynik,
$\Omega$ : zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, $|\Omega|$ : ich liczba,
zdarzenie $A$ : podzbiór $\Omega$ (np. „wypadła liczba parzysta”).

Przykład: rzut kostką

Wszystkie wyniki: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ , więc $|\Omega|=6$ .
Zdarzenie „wypadła liczba parzysta”: $A=\{2,4,6\}$ , więc $|A|=3$ .

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne:

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.

Zawsze $0\le P(A)\le1$ ; $P(\varnothing)=0$ , $P(\Omega)=1$ .

Przykład: losujemy liczbę od 1 do 10. Jaka szansa na liczbę pierwszą?

Wszystkie wyniki: $|\Omega|=10$ .
Pasujące: $A=\{2,3,5,7\}$ , więc $|A|=4$ .
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{10}=\frac25$

\frac25

Własności

zdarzenie przeciwne: $P(A')=1-P(A)$ : używaj przy „co najmniej jeden”,
suma zdarzeń: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ,
dla zdarzeń wykluczających się ( $A\cap B=\varnothing$ ): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ .

Przykład: liczba od 1 do 20 podzielna przez 2 lub przez 5

$A$ : podzielne przez $2$ , jest ich $10$ . $B$ : podzielne przez $5$ , jest ich $4$ .
Część wspólna $A\cap B$ : $10$ i $20$ , czyli $2$ liczby. Odejmujemy ją raz:
$P(A\cup B)=\frac{10}{20}+\frac{4}{20}-\frac{2}{20}=\frac{12}{20}=\frac35$

\frac35

Dwie kostki: tabela

Sumy oczek na dwóch kostkach: 36 wyników, suma 7 pojawia się 6 razy (na przekątnej): P = 6/36 = 1/6.

Przykład: dwie kostki, suma oczek równa 7

Wszystkie wyniki to pola tabelki: $|\Omega|=6\cdot6=36$ .
Siódemki leżą na przekątnej: $|A|=6$ .
$P(A)=\frac{6}{36}=\frac16$

\frac16

„Co najmniej jeden”: licz przez przeciwne

Zadanie: co najmniej jedna szóstka w dwóch rzutach.
Przeciwne: „żadnej szóstki”, czyli $5\cdot5=25$ wyników z $36$ .
$P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Losowanie wieloetapowe: drzewko

Prawdopodobieństwo ścieżki = iloczyn prawdopodobieństw na gałęziach; prawdopodobieństwo zdarzenia = suma ścieżek, które do niego prowadzą. Uwaga na losowanie bez zwracania: liczby kul się zmieniają!

Dwie kule bez zwracania z urny (

3

białe,

2

czarne): na gałęziach prawdopodobieństwa, a ścieżkę mnożymy, np.

P(\text{obie białe})=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}

Przykład: dwie kule z urny (

3

białe,

2

czarne), obie białe

Pierwsza biała: $\frac35$ . Zostają $2$ białe na $4$ kule, więc druga biała: $\frac24$ .
Wzdłuż gałęzi mnożymy:
$P=\frac35\cdot\frac24=\frac{3}{10}$

\frac{3}{10}

Ze zwracaniem czy bez?

Bez zwracania druga kula ma już inne szanse: $\frac35\cdot\frac24=\frac{3}{10}$ .
Ze zwracaniem szanse się nie zmieniają: $\frac35\cdot\frac35=\frac{9}{25}$ .

Na maturze

Zadanie zamknięte i zadanie otwarte (2 pkt) z prawdopodobieństwa są praktycznie zawsze. W otwartym: opisz $\Omega$ , policz $|\Omega|$ i $|A|$ (wypisz zdarzenia lub użyj reguły mnożenia), podaj wynik jako ułamek nieskracalny.

Wzory

Klasyczna definicja

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

Liczba wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich (jednakowo prawdopodobnych).

Zdarzenie przeciwne

P(A')=1-P(A)

Najkrótsza droga dla „co najmniej jeden”.

Prawdopodobieństwo sumy

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Odejmujemy część wspólną liczoną dwa razy.

Zawieranie

A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)

Zdarzenie „mniejsze” nie ma większego prawdopodobieństwa.

Iloczyn na drzewku

P(\text{ścieżki})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots

Mnożymy wzdłuż gałęzi, dodajemy ścieżki sprzyjające.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Ze zbioru $\{1,2,3,\dots,30\}$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez $3$ lub przez $5$ .

$|\Omega|=30$ . $A$ : podzielne przez $3$ : $10$ liczb; $B$ : podzielne przez $5$ : $6$ liczb; $A\cap B$ : podzielne przez $15$ : $15,30$ , czyli $2$ .

Podzielne przez

3

(

A

10

liczb) i przez

5

(

B

6

liczb); część wspólna to

15

30

. Razem

8+2+4=14

liczb, więc

P=\frac{14}{30}=\frac7{15}

P(A\cup B)=\frac{10}{30}+\frac{6}{30}-\frac{2}{30}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}.

\frac{7}{15}

Przykład 2

Rzucamy dwa razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek będzie liczbą parzystą.

$|\Omega|=36$ . Iloczyn jest nieparzysty tylko, gdy obie liczby są nieparzyste: $3\cdot3=9$ wyników.
$P(\text{parzysty})=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=\frac34$ .

\frac34

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Rzucamy raz kostką. Prawdopodobieństwo otrzymania więcej niż $4$ oczek jest równe

$\frac12$
$\frac13$
$\frac23$
$\frac16$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Wszystkich wyników jest $6$ : liczby od $1$ do $6$ .

Więcej niż $4$ oczka to $5$ albo $6$ , czyli $2$ wyniki sprzyjające. (Sama czwórka się nie liczy, bo ma być więcej niż $4$ .)

P=\frac26=\frac13.

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Rzucamy dwiema kostkami. Prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa $7$ , wynosi

$\frac16$
$\frac{7}{36}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{5}{36}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$ . Pary z sumą $7$ wypisujemy:

(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1).

To $6$ wyników sprzyjających:

P=\frac{6}{36}=\frac16.

Kostki są rozróżnialne, więc $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno.

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

W urnie są $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

$\frac23$
$\frac14$
$\frac25$
$\frac35$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Wszystkich kul jest $4+6=10$ , białych $4$ . Każda kula ma taką samą szansę:

P=\frac{4}{10}=\frac25.

Pułapka: $\frac46=\frac23$ to stosunek białych do czarnych, a nie do wszystkich.

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Zdarzenia $A$ , $B$ spełniają: $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ . Wtedy $P(A\cup B)$ jest równe

$0{,}9$
$0{,}2$
$0{,}1$
$0{,}7$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Odejmujemy część wspólną, bo dodając $P(A)$ i $P(B)$ , policzyliśmy ją dwa razy.

P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7.

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Losujemy jedną liczbę dwucyfrową. Prawdopodobieństwo, że będzie ona kwadratem liczby naturalnej, jest równe

$\frac{1}{15}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{6}{99}$
$\frac{7}{90}$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Liczb dwucyfrowych jest $90$ (od $10$ do $99$ ).

Kwadraty liczb naturalnych wśród nich: $16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81$ , czyli $6$ liczb ( $4^2$ do $9^2$ ).

P=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.

Pułapka: liczb dwucyfrowych jest $90$ , a nie $99$ .

Odpowiedź A

Zadanie 6 (2 pkt)

Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej dwóch orłów.

Odpowiedź: $\frac12$

Rozwiązanie

$|\Omega|=8$ . Sprzyjające: OOR, ORO, ROO, OOO: $4$ . $P=\frac48=\frac12$ .

\frac12

Zadanie 7 (2 pkt)

Z urny zawierającej $3$ kule białe i $2$ czarne losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą białe.

Odpowiedź: $\frac{3}{10}$

Rozwiązanie

$\frac35\cdot\frac24=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ . (Kombinatorycznie: $\frac{\binom32}{\binom52}=\frac{3}{10}$ .)

\frac{3}{10}

Zadanie 8 (2 pkt)

Rzucamy dwa razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

Odpowiedź: $\frac{11}{36}$

Rozwiązanie

$P(A')=\frac{25}{36}$ , $P(A)=\frac{11}{36}$ .

\frac{11}{36}

Zadanie 9 (1 pkt)

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe $0{,}3$ . Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do $A$ jest równe

$0{,}3$
$0{,}7$
$-0{,}3$
$1{,}3$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Zdarzenie przeciwne $A'$ zachodzi zawsze wtedy, gdy nie zachodzi $A$ . Razem dają pewność, czyli $1$ :

P(A')=1-P(A)=1-0{,}3=0{,}7.

Odpowiedź B

Zadanie 10 (3 pkt)

Ze zbioru $\{1,2,\dots,9\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta.

Odpowiedź: $\frac{41}{81}$

Rozwiązanie

$|\Omega|=81$ . Obie nieparzyste: $5\cdot5=25$ ; obie parzyste: $4\cdot4=16$ ; razem $41$ .

\frac{41}{81}

Zadanie 11 (2 pkt)

Ze zbioru liczb $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy jedną liczbę $a$ , a następnie ze zbioru $\{1,2,3\}$ jedną liczbę $b$ . Oblicz prawdopodobieństwo, że $a>b$ .

Odpowiedź: $\frac23$

Rozwiązanie

$|\Omega|=18$ . $b=1$ : $5$ par; $b=2$ : $4$ pary; $b=3$ : $3$ pary. Razem $12$ . $P=\frac{12}{18}=\frac23$ .

\frac23

Inne tematy: Kombinatoryka: jak liczyć możliwości · Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i schemat Bernoulliego