Dział 10. Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka

Kombinatoryka: jak liczyć możliwości: teoria i zadania maturalne

Reguła mnożenia i dodawania, liczby o zadanych cyfrach, permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez oraz kombinacje i symbol Newtona.

Teoria

Reguła mnożenia

Jeśli wybór składa się z kilku etapów, a w etapach jest kolejno $n_1,n_2,\dots,n_k$ możliwości (niezależnie od wcześniejszych wyborów), to wszystkich możliwości jest

n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k.

Reguła mnożenia jako drzewko:

2

możliwości w pierwszym etapie i po

3

w drugim dają

2\cdot3=6

końcowych gałęzi.

Myśl „szufladkami”

Każde miejsce do obsadzenia to szufladka. Do każdej wpisujesz, ile możliwości tam pasuje, a potem mnożysz liczby ze wszystkich szufladek.

Przykład: ile jest liczb trzycyfrowych?

Trzy szufladki: setki, dziesiątki, jedności.
Setki: $9$ możliwości, bo na początku nie może stać zero.
Dziesiątki i jedności: po $10$ możliwości (cyfry od $0$ do $9$ ).

9\cdot10\cdot10=900

900

liczb trzycyfrowych

Reguła dodawania

Gdy rozpatrujesz rozłączne przypadki (np. „ostatnia cyfra to 0” albo „ostatnia cyfra to 2, 4, 6, 8”), liczby możliwości w przypadkach dodajesz.

Przykład: ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5?

Liczba podzielna przez $5$ kończy się na $0$ albo na $5$ : to dwa rozłączne przypadki.
Przypadek 1, na końcu $0$ : dziesiątki od $1$ do $9$ , czyli $9$ liczb.
Przypadek 2, na końcu $5$ : znowu $9$ liczb.

9+9=18

18

liczb

Zaczynaj od najtrudniejszej szufladki

Najpierw obsadź pozycje z ograniczeniami (pierwsza cyfra $\neq0$ , ostatnia parzysta itd.), dopiero potem pozostałe. Gdy dwa warunki „kolidują” (np. zero), rozbij na przypadki.

Ustawienia i wybory

sytuacja	ważna kolejność?	powtórzenia?	wzór
ustawienie $n$ elementów (permutacja)	tak	nie	$n!$
ciąg $k$ elementów z $n$ (wariacja bez powt.)	tak	nie	$\frac{n!}{(n-k)!}$
ciąg $k$ elementów z $n$ (wariacja z powt.)	tak	tak	$n^k$
podzbiór $k$ elementów z $n$ (kombinacja)	nie	nie	$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ (czytaj: $n$ silnia), a $0!=1$ .

Przykład: ile jest 4-cyfrowych kodów PIN?

Kolejność ważna ( $1234$ to inny kod niż $4321$ ), cyfry mogą się powtarzać: wariacja z powtórzeniami.
$n=10$ (cyfry do wyboru), $k=4$ (cyfry w kodzie).

W=n^k=10^4=10\,000

10\,000

kodów

Przykład: na ile sposobów ustawić 5 osób w kolejce?

Ustawiamy wszystkich, kolejność ważna: permutacja, $n=5$ .

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120

120

sposobów

Symbol Newtona

\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},\qquad\binom n0=\binom nn=1,\qquad\binom n1=n,\qquad\binom nk=\binom n{n-k}.

Przykład: oblicz

\binom{10}{3}

Skrót: na górze ułamka $k=3$ kolejne liczby od $n=10$ w dół, na dole $3!$ .

\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120

120

Kombinacja czy wariacja?

Z $10$ osób wybieramy komisję $3$ -osobową. Kolejność nieważna, więc kombinacja:

\binom{10}3=120

Wybieramy przewodniczącego, zastępcę i sekretarza. Funkcje są różne, kolejność ważna, więc wariacja:

10\cdot9\cdot8=720

Na maturze

Podstawa: reguła mnożenia i dodawania (liczby o zadanych własnościach, kody, flagi). Rozszerzenie: symbol Newtona, kombinacje w zadaniach z prawdopodobieństwem, zliczanie z przypadkami (zadanie otwarte z kodowaną odpowiedzią).

Wzory

Reguła mnożenia

n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k

Liczba wyników wyboru wieloetapowego.

Permutacje

P_n=n!

Ustawienie $n$ różnych elementów w kolejności.

Wariacje bez powtórzeń

V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

Ciągi $k$ różnych elementów z $n$ (kolejność ważna).

Wariacje z powtórzeniami

W_n^k=n^k

Ciągi długości $k$ , elementy mogą się powtarzać.

Kombinacje

C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Podzbiory $k$ -elementowe (kolejność nieważna).

Własności symbolu Newtona

\binom nk=\binom n{n-k},\quad\binom n0=1,\quad\binom n1=n

Przyspieszają rachunki.

Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład 1

Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach?

Ostatnia cyfra (parzysta) „koliduje” z pierwszą (nie może być zerem): rozbijamy na przypadki.
Przypadek 1: ostatnia cyfra $0$ . Pierwsza: $9$ możliwości (bez $0$ ), druga: $8$ , trzecia: $7$ : $\ 9\cdot8\cdot7=504$ .
Przypadek 2: ostatnia cyfra $2,4,6$ lub $8$ ( $4$ możliwości). Pierwsza: $8$ (bez $0$ i bez cyfry ostatniej), druga: $8$ (teraz zero dozwolone), trzecia: $7$ : $\ 4\cdot8\cdot8\cdot7=1792$ .
Suma (reguła dodawania): $504+1792=2296$ .

2296

liczb

Przykład 2

Z grupy $10$ osób wybieramy $3$ -osobową komisję. Na ile sposobów można to zrobić? A na ile, jeśli w komisji trzeba wskazać przewodniczącego?

Komisja: kolejność nieważna: $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120$ .
Z przewodniczącym: wybierz przewodniczącego ( $10$ sposobów), potem $2$ członków z pozostałych $9$ : $10\cdot\binom92=10\cdot36=360$ . (Albo: $120$ komisji $\cdot3$ wybory przewodniczącego.)

120

oraz

360

Zadania maturalne z rozwiązaniami

Zadanie 1 (1 pkt)

Liczb trzycyfrowych, których wszystkie cyfry są nieparzyste, jest

$60$
$125$
$100$
$15$

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Każda z trzech pozycji: $5$ możliwości: $5^3=125$ .

Odpowiedź B

Zadanie 2 (1 pkt)

Liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ jest

$180$
$200$
$90$
$100$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Setki: $9$ , dziesiątki: $10$ , jedności: $2$ : $180$ .

Odpowiedź A

Zadanie 3 (1 pkt)

Na ile sposobów można ustawić $5$ osób w kolejce?

$25$
$5$
$120$
$60$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Na pierwsze miejsce w kolejce może stanąć każda z $5$ osób, na drugie każda z pozostałych $4$ , na trzecie $3$ , na czwarte $2$ , a na ostatnie ta $1$ , która została.

5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!=120.

Odpowiedź C

Zadanie 4 (1 pkt)

Liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach jest

$90$
$72$
$100$
$81$

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$9\cdot9=81$ (jedności: $10$ cyfr minus użyta).

Odpowiedź D

Zadanie 5 (1 pkt)

Rzucamy dwiema kostkami sześciennymi (rozróżnialnymi). Liczba wszystkich możliwych wyników jest równa

$36$
$12$
$21$
$6$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Pierwsza kostka może dać $6$ wyników, a przy każdym z nich druga kostka też $6$ wyników. Mnożymy (reguła mnożenia):

6\cdot6=36.

Kostki są rozróżnialne, więc wynik $(1,2)$ i $(2,1)$ to dwa różne wyniki.

Odpowiedź A

Zadanie 6 (2 pkt)

Ile jest liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa $3$ ?

Odpowiedź: $6$

Rozwiązanie

Setki $1$ : $102,111,120$ ; setki $2$ : $201,210$ ; setki $3$ : $300$ . Razem $6$ .

6

Zadanie 7 (2 pkt)

Kod do szafki składa się z $3$ liter (spośród $26$ ) i następnie $2$ cyfr. Ile jest różnych kodów, jeśli litery nie mogą się powtarzać, a cyfry mogą?

Odpowiedź: $1\,560\,000$

Rozwiązanie

$26\cdot25\cdot24=15\,600$ ; razy $100$ : $1\,560\,000$ .

1\,560\,000

Zadanie 8 (1 pkt)

Sześć osób przywitało się, każda z każdą, uściskiem dłoni. Uścisków było

$36$
$30$
$15$
$12$

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Każdy uścisk to para osób, a kolejność w parze nie ma znaczenia. Liczymy pary z $6$ osób:

\binom62=\frac{6\cdot5}{2}=15.

Inaczej: każda z $6$ osób ściska $5$ dłoni, to $30$ , ale każdy uścisk policzyliśmy dwa razy, więc $30:2=15$ .

Odpowiedź C

Zadanie 9 (2 pkt)

Z klasy liczącej $12$ dziewcząt i $10$ chłopców wybieramy $4$ -osobową delegację, w której mają być dokładnie $2$ dziewczęta. Na ile sposobów?

Odpowiedź: $2970$

Rozwiązanie

$\binom{12}2=66$ , $\binom{10}2=45$ ; $66\cdot45=2970$ .

2970

Zadanie 10 (3 pkt)

Ile jest liczb siedmiocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry $5$ , a pozostałe cyfry są różne od $5$ ?

Odpowiedź: $1\,141\,614$

Rozwiązanie

A: pierwsza cyfra to $5$ . Drugą „piątkę” umieszczamy na jednym z $6$ pozostałych miejsc; pozostałe $5$ miejsc: dowolne cyfry poza $5$ ( $9$ możliwości): $6\cdot9^5=6\cdot59049=354\,294$ .
B: pierwsza cyfra $\neq5$ i $\neq0$ ( $8$ możliwości). Dwie piątki na $\binom62=15$ sposobów spośród pozostałych $6$ miejsc; pozostałe $4$ miejsca: $9$ możliwości: $8\cdot15\cdot9^4=120\cdot6561=787\,320$ .
Suma: $354\,294+787\,320=1\,141\,614$ .

1\,141\,614

Zadanie 11 (2 pkt)

Ile jest liczb pięciocyfrowych, w których zapisie występują wyłącznie cyfry $1$ i $2$ (każda co najmniej raz)?

Odpowiedź: $30$

Rozwiązanie

Wszystkie liczby z cyfr $1$ i $2$ : $2^5=32$ . Warunek „każda co najmniej raz” wyklucza $11111$ i $22222$ : $32-2=30$ .

30

Inne tematy: Prawdopodobieństwo klasyczne